1、*3.3 垂径定理垂径定理 1理解垂径定理和推论的内容，并会 证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题； (重点) 2利用垂径定理及其推论解决实际问 题(难点) 一、情境导入 如图某公园中央地上有一些大理石 球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚 20cm 的砖塞在球的两侧(如图所示)， 他量 了下两砖之间的距离刚好是 80cm，聪明的 你能算出大石头的半径吗？ 二、合作探究 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦 的长度 如图所示， O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD 6cm，则直径 AB 的长是( ) A2 3cm B3 2cm C4
2、2cm D4 3cm 解析：直径 ABDC，CD6，DP 3.连接 OD，P 是 OB 的中点，设 OP 为 x，则 OD 为 2x，在 RtDOP 中，根据勾股 定理列方程32x2(2x)2， 解得x 3.OD 2 3，AB4 3.故选 D. 方法总结：我们常常连接半径，利用半 径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形， 然后应用勾股定理解决问题 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段 圆弧(图中的AB )，点 O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OCAB，垂足为 D，AB 300m，CD50m，则这段弯路
3、的半径是 _m. 解析：本题考查垂径定理，OCAB， AB300m， AD150m.设半径为 R， 根据 勾股定理可列方程 R2(R50)21502，解 得 R250.故答案为 250. 方法总结：将实际问题转化为数学问 题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理 等知识进行解答 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 垂径定理的综合应用 如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直 于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于 点 F，且 CFAD.(1)请证明：点 E 是 OB 的 中点；(2)若 AB8，求 CD 的长 解析：(1)要证明 E 是 OB 的
4、中点，只要 求证 OE1 2OB 1 2OC， 即OCE30； (2) 在直角OCE 中，根据勾股定理可以解得 CE 的长，进而求出 CD 的长 (1)证明：连接 AC，如图，直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，AC AD ，AC AD.过圆心 O 的直线 CFAD，AF DF，即 CF 是 AD 的垂直平分线，AC CD，ACADCD，即ACD 是等边三 角形，FCD30.在 RtCOE 中，OE 1 2OC， OE 1 2OB， 点 E 为 OB 的中点； (2)解：在 RtOCE 中，AB8，OC OB1 2AB4.又BEOE， OE2， CE OC2OE2 1642 3，CD 2CE
5、4 3. 方法总结：解此类题一般要把半径、弦 心距、弦的一半构建在一个直角三角形里， 运用勾股定理求解 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 探究点二：垂径定理的推论 【类型一】 利用垂径定理的推论求角 的度数 如图所示，O 的弦 AB、AC 的 夹角为 50，M、N 分别是AB 、AC 的中点， 则MON 的度数是( ) A100 B110 C120 D130 解析：已知 M、N 分别是AB 、AC 的中 点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的 弦”得 OMAB、ONAC，所以AEO AFO90，而BAC50，由四边形 内角和定理得MON360AEO AFOBAC36
6、090 90 50 130 .故选 D. 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 利用垂径定理的推论求边 的长度 如图， 点 A、B 是O 上两点， AB 10cm，点 P 是O 上的动点(与 A、B 不 重合)， 连接 AP、 BP， 过点 O 分别作 OEAP 于 E，OFPB 于 F，求 EF 的长 解析：运用垂径定理先证出 EF 是 ABP 的中位线， 然后运用三角形中位线性 质把要求的 EF 与 AB 建立关系，从而解决 问题 解：在O 中，OEAP，OFPB， AEPE，BFPF，EF 是ABP 的中 位线，EF1 2AB 1 2105(cm)
7、方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但 也不是孤立的， 它常和三角形等知识综合来 解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在 解决问题时才能得心应手 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 动点问题 如图， O 的直径为 10cm， 弦 AB 8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的 长度范围 解析：当点 P 处于弦 AB 的端点时， OP 最长， 此时 OP 为半径的长； 当 OPAB 时， OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得 此时 OP 的长 解： 作直径 MN弦 AB， 交 AB 于点 D， 由垂径定理，得 ADDB1 2AB4cm.又 O 的
8、直径为 10cm，连接 OA，OA 5cm.在 RtAOD 中，由勾股定理，得 OD OA2AD23cm.垂线段最短， 半径最 长，OP 的长度范围是 3cmOP5cm. 方法总结： 解题的关键是明确 OP 最长、 最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容 易出错的地方是不能确定最值时的情况 三、板书设计 垂径定理 1垂径定理 2垂径定理的推论 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定 理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容 易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操 作的教学方法， 课前布置所有同学制作一张 圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是 轴对称图形， 并进一步利用圆的轴对称性探 究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学 生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.
