1、第二十四章：圆 培优单元试题一选择题（共 10 小题）1下列说法：（1）长度相等的弧是等弧， （2）相等的圆心角所对的弧相等， （3）劣弧一定比优弧短， （4）直径是圆中最长的弦其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图， O 为圆心， AB 是直径， C 是半圆上的点， D 是 上的点若 BOC40，则 D的大小为（ ）A1 l0 B120 C130 D1403如图， AB 是 O 的直径， C、 D 是 O 上两点， AOC130，则 D 等于（ ）A65 B35 C25 D154如图， AB 是 O 的直径， CD 切 O 于点 C，若 BCD25，则 B 等于（ ）
2、A25 B65 C75 D905如图，等边三角形 ABC 的边长为 2， CD AB 于 D，若以点 C 为圆心， CD 为半径画弧，则图形阴影部分的面积是（ ）A B2 C2 D2 6如图，已知 O 的直径 AE10 cm， B EAC，则 AC 的长为（ ）A5 cm B5 cm C5 cm D6 cm7若 A 的半径为 5，圆心 A 的坐标是（1，2） ，点 P 的坐标是（5，2） ，那么点 P 的位置为（ ）A在 A 内 B在 A 上 C在 A 外 D不能确定8已知 O 的直径为 13cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 8cm，则直线 l 与 O 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C
3、相离 D相交或相切9如图，四边形 ABCD 内接于 O，点 I 是 ABC 的内心， AIC124，点 E 在 AD 的延长线上，则 CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D7810如图，矩形 ABCD 中， E 是 BC 上一点，连接 AE，将矩形沿 AE 翻折，使点 B 落在 CD 边F 处，连接 AF，在 AF 上取点 O，以 O 为圆心， OF 长为半径作 O 与 AD 相切于点 P若AB6， BC3 ，则下列结论： F 是 CD 的中点 ； O 的半径是2； AE CE； S 阴影 其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4二填空题（共 6 小题）11如图，四边形 ABCD
4、 内接于 O， AD、 BC 的延长线相交于点 E， AB、 DC 的延长线相交于点 F，设 A，则 E+ F （用含 的式子表示） 12如图， A、 B、 C、 D 均在 O 上， E 为 BC 延长线上的一点，若 A102，则 DCE 13如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中， BAD45， BE AD 于点 E，以 B 为圆心， BE 为半径画弧，分别交 AB、 CB 于点 F、 G，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）14如图， AB 是半圆 O 的直径，点 D， E 在半圆上， DOE100，点 C 在 上，连接CD， CE，则 DCE 等于 度15在 ABC 中， AB AC2
5、 ， BC4， P 是 AB 上一点，连接 PC，以 PC 为直径作 M 交BC 于 D，连接 PD，作 DE AC 于点 E，交 PC 于点 G，已知 PD PG，则 BD 16如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，若 O 半径为 3， AC 长为 2，则 BC 三解答题（共 7 小题）17已知 AB 是 O 的直径， AP 是 O 的切线， A 是切点， B P 与 O 交于点 C（1）如图，若 P35，求 ABP 的度数；（2）如图，若 D 为 AP 的中点 ，求证：直线 CD 是 O 的切线18如图， BC 是 O 的直径， AB 是 O 的弦，半径 OF AC 交 AB
6、于点 E（1）求证： ；（2）若 AB6 ， EF3求半径 OB 的长19如图，已知 AC 是 O 的直径， B 为 O 上一点， D 为 的中点，过 D 作 EF BC 交 AB的延长线于点 E，交 AC 的延长线于点 F（）求证： EF 为 O 的切线；（）若 AB2， BDC2 A，求 的长20如图，在 O 中， AB 是直径， CD 是弦， AB CD 于点 E， BF OC，连接 BC 和 CF， CF 交AB 于点 G（1）求证： OCF BCD；（2）若 CD4，tan OCF ，求 O 半径的长21如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中， AOB90，点 C 是弧 AB 上的一
7、个动点（不与点A、 B 重合） OD BC， OE AC，垂足分别为 D、 E（1）当 时，求线段 OD 的长；（2）在 DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出是哪条边，并求其长度；如果不存在，请说明理由22如图，点 O 是 ABC 的边 AB 上一点，以 OB 为半径的 O 交 BC 于点 D，过点 D 的切线交 AC 于点 E，且 DE AC（1）证明： AB AC；（2）设 AB cm， BC2 cm，当点 O 在 AB 上移动到使 O 与边 AC 所在直线相切时，求 O 的半径23如图， AD 的圆 O 的切线，切点为 A， AB 是圆 O 的弦过点 B 作 BC AD，
8、交圆 O 于点C，连接 AC，过点 C 作 CD AB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且 BCP ACD（1）判断直线 PC 与圆 O 的位置关系，并说明理由（2）若 AB9， BC6，求圆 O 的半径和 PC 的长参考答案一选择题1解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有 1 个，故选： A2解： BOC40， AOC18040140， D 110，故选： A3解： BOC180
9、AOC， AOC130， BOC50， D BOC25，故选： C4解：连接 OC，如图， CD 切 O 于点 C， OC CD， OCD90， OCB90 BCD902565， OB OC， B OCB65故选： B5解： ABC 是等边三角形，且 CD AB， AD AB1， ACB60，由勾股定理得： CD ， S 阴影 S ABC S 扇形 CEF ABCD 2 ，故选： A6解：连接 EC，由圆周角定理得， E B， ACE90， B EAC， E EAC， CE CA， AC AE5 （ cm） ，故选： B7解：圆心 A 的坐标是（1，2） ，点 P 的坐标是（5，2） ， AP
10、 45，点 P 在 A 内，故选： A8解： O 的半径为 6.5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 8cm，6.58，直线 l 与 O 相离故选： C9解：点 I 是 ABC 的内心， BAC2 IAC、 ACB2 ICA， AIC124， B180（ BAC+ ACB）1802（ IAC+ ICA）1802（180 AIC）68，又四边形 ABCD 内接于 O， CDE B68，故选： C10解： AF 是 AB 翻折而来， AF AB6，四边形 ABCD 是矩形，AD BC3 ， DF 3， F 是 CD 中点；正确；连接 OP， O 与 AD 相切于点 P， OP AD， AD DC
11、， OP CD， ，设 OP OF x，则 ，解得： x2，正确；Rt ADF 中， AF6， DF3， DAF30， AFD60， EAF EAB30， AE2 EF； AFE90， EFC90 AFD30， EF2 EC， AE4 CE，错误；连接 OG，作 OH FG， AFD60， OF OG， OFG 为等边三角形；同理 OPG 为等边三角形； POG FOG60， OH ， S 扇形 OPG S 扇形 OGF， S 阴影 （ S 矩形 OPDH S 扇形 OPG S OGH）+（ S 扇形 OGF S OFG） S 矩形 OPDH S OF G2 正确；其中正确的结论有：，3 个；
12、故选： C二填空题（共 6 小题）11解：四边形 ABCD 内接于 O， ADC+ ABC180， ECD A， BCF A， EDC+ FBC180， E+ F36018021802，故答案为：180212解：连接 OB， OD， DOB 与 A 都对 ， DOB（大于平角的角）与 BCD 都对 ， DOB2 A， DOB（大于平角的角）2 BCD， DOB+ DOB（大于平角的角）360， A+ BCD180， DCE+ BCD180， DCE A102，故答案为：10213解：在边长为 8 的菱形 ABCD 中， BAD45， BE AD， AE BE， BEA90， BE AE BE
13、AE4 ，图中阴影部分的面积是：（ ）2（164）2328，故答案为：32814解：补全 O，在 O 上 AB 的下方取一点 M，连接 DM， EM M DOE50， M+ DCE180， DCE130，故答案为 13015解：如图，作 AH BC 于 H AB AC2 ， AH BC， B ACD， BH CH2， AH 4， PC 是直径， PDC90 DE AC， CDP CED90， PD PG， PDG PGD CGE， PDG+ CDE90， CDE+ ECD90， PDG ECD B EGC， PDB DEC AHB90， PDB DEC CEG AHB，设 BD a，则有 PD
14、 PG2 a， CD4 a， EC ， CG ， PC PG+CG ，在 Rt PCD 中， PD2+CD2 PC2，4 a2+（4 a） 2（ ） 2，解得 a 或 4（舍弃） ， BD 故答案为 16解：如图， AB 是 O 的直径， C90， O 半径为 3， AC 长为 2，由勾股定理知： BC 4 故答案是：4 三解答题（共 7 小题）17 （1）解： AB 是 O 的直径， AP 是 O 的切线， AB AP， BAP90；又 P35， AB903555（2）证明：如图，连接 OC， OD、 AC AB 是 O 的直径， ACB90（直径所对的圆周角是直角） ， ACP90；又 D
15、 为 AP 的中点， AD CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ；在 OAD 和 OCD 中， OAD OCD（ SSS） ， OAD OCD（全等三角形的对应角相等） ；又 AP 是 O 的切线， A 是切点， AB AP， OAD90， OCD90，即直线 CD 是 O 的切线18 （1）证明： AB 是直径， A90， OF AC， OEB A90， OF AB， （2）解：设 OB r ， OF AB， ，在 Rt OBE 中， OB2 OE2+EB2， r2（ r3） 2+（3 ） 2， r6，即 OB619 （）证明：连接 OD， OB D 为 的中点， BOD COD
16、OB OC， OD BC， OGC90 EF BC， ODF OGC90，即 OD EF， OD 是 O 的半径， EF 是 O 的切线；（）解：四边形 ABDC 是 O 的内接四边形， A+ BDC180，又 BDC2 A， A+2 A180， A60， OA OB， OAB 等边三角形， OB AB2，又 BOC2 A120， 20 （1）证明： AB 是直径， AB CD， ， BCD BFC， BF OC OCF BFC， OCF BCD；（2）解： AB CD， CE CD2， OCF BCDtan OCFtan BCD ， CE2 BE1，设 OC OB x，则 OE x1，在 R
17、t OCE 中， x2（ x1） 2+22，解得 x ，即 O 半径的长为 21解：（1） OD BC， BD BC ， OD ；（2） DE 的长保持不变，理由如下：连接 AB，由勾股定理得， AB ， OD BC， OE AC， BD CD， AE EC， DE AB 22 （1）证明：连接 OD DE 是 O 的切线， DE OD， AC DE， OD AC， ODB C， OB OD， B ODB， B C， AB AC（2）设 AC 与 O 相切于点 F，连接 OF，作 AH BC 于 H设半径为 r AB AC， AH BC， BH CH1， AH 2，tan C 2， OFE O
18、DE DEF90，四边形 ODEF 是矩形， OD OF，四边形 ODEF 是正方形， EF DE r，tan C 2， EC ， AF r r r，在 Rt AOF 中， OA2 AF2+OF2，（ r） 2 r2+（ r） 2，解得 r 23解：（1）直线 PC 与圆 O 相切，理由是：如图 1，连接 CO 交延长，交 O 于点 N，连接 BN， AB CD， BAC ACD， BAC BNC， BNC ACD， BCP ACD， BNC BCP， CN 是 O 的直径， CBN90， BNC+ BCN90， BCP+ BCN90， PCO90，即 PC OC，点 C 在 O 上，直线 PC 与圆 O 相切；（5 分）（2） AD 是 O 的切线， AD OA，即 OAD90， BC AD， OMC180 OAD90，即 OM BC， MC MB， AB AC，在 Rt AMC 中， AMC90， MC BC3，由勾股定理得： AM 6 ，设 O 的半径为 r，在 Rt OMC 中， OMC90， OM AM AO6 r， MC3， OC r，由勾股定理得： OM2+MC2 OC2，即 ，解得： r ， OMC OCP， MOC COP， OMC OCP， ， ， PC （11 分）
