1、专题类型突破专题四 几何变换综合题类型一 涉及一个动点的几何问题(2018长春中考)如图，在 RtABC 中，C90，A30，AB4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动过点 P 作 PDAC 于点 D(点 P 不与点 A，B 重合)，作DPQ60，边 PQ交射线 DC 于点 Q.设点 P 的运动时间为 t 秒(1)用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；(2)当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；(3)设PDQ 与ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；(4)当线段 PQ 的垂直平分线经过ABC 一边中点时，直接写出
2、 t 的值【分析】 (1)先求出 AC，用三角函数求出 AD，即可得出结论；(2)利用 ADDQAC，即可得出结论；(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；来源:学+科+网(4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论【自主解答】1(2018江西中考)在菱形 ABCD 中，ABC60，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化(1)如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE，BP 与 CE 的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是 ；(2)当点 E 在菱形 ABCD 外部时，(1)中
3、的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB2 ，BE23，求四边形 ADPE 的面积19类型二 涉及两个动点的几何问题(2018青岛中考)已知：如图，四边形 ABCD，ABDC，CBAB，AB16 cm，BC6 cm，CD8 cm，动点 P 从点 D 开始沿 DA 边匀速运动，动点 Q 从点A 开始沿 AB 边匀速运动，它们的运动速度均为 2 cm/s.点 P 和点 Q 同时出发，以 QA，QP 为边作平行四边形 AQPE，设运动的时间为 t(s)，0t
4、5.根据题意解答下列问题：(1)用含 t 的代数式表示 AP；(2)设四边形 CPQB 的面积为 S(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式；(3)当 QPBD 时，求 t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 E 在ABD 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】 (1)作 DHAB 于点 H，则四边形 DHBC 是矩形，利用勾股定理求出 AD的长即可解决问题；(2)作 PNAB 于 N，连接 PB，根据 SS PQB S BCP 计算即可；(3)当 QPBD 时，PQNDBA90，QPNPQN90，推出QPNDBA，由此利用三角函数即可解决问题；(4
5、)连接 BE 交 DH 于点 K，作 KMBD 于点 M.当 BE 平分ABD 时，KBHKBM，推出 KHKM.作 EFAB 于点 F，则AEFQPN，推出EFPN，AFQN，由 KHEF 可得 ，由此构建方程即可解决问题KHEF BHBF【自主解答】2(2018黄冈中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边 OA 在x 轴正半轴上，点 B，C 在第一象限，C120，边长 OA8.点 M 从原点 O出发沿 x 轴正半轴以每秒 1 个单位长的速度作匀速运动，点 N 从 A 出发沿边ABBCCO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动，过点 M 作直线 MP 垂直于 x轴并交折
6、线 OCB 于 P，交对角线 OB 于 Q，点 M 和点 N 同时出发，分别沿各自路线运动，点 N 运动到原点 O 时，M 和 N 两点同时停止运动(1)当 t2 时，求线段 PQ 的长；(2)求 t 为何值时，点 P 与 N 重合；(3)设APN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取 值范围类型三 图形的平移变换(2017扬州中考)如图，将ABC 沿着射线 BC 方向平移至ABC，使点 A落在ACB 的外角平分线 CD 上，连接 AA.(1)判断四边形 ACCA的形状，并说明理由；(2)在ABC 中，B90，AB24， cosBAC ，求 CB的长1213【分析】 (1)根
7、据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形 ACCA是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形 ACCA是菱形(2)通过解直角ABC 得到 AC，BC 的长度，由(1)中菱形 ACCA的性质推知ACAA，由平移的性质得四边形 ABBA是平行四边形，则 AABB，所以 CBBBBC.【自主解答】平移变换命题的呈现形式主要有：(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题；(2)涉及基本图形平移的几何问题；(3)利用平移变换作为工具解题其解题思路：(1)特殊点法：解题的关键是学会运用转化的思想，如坐标系中图象的平移问题，一般是通过图象上一个关键(特殊)点的平
8、移来研究整个图象的平移；(2)集中条件法：通过平移变换添加辅助线，集中条件，使问题获 得解决；(3)综合法：已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时，要注意找准对应点，看清对应边，注意变换性质的理解和运用3(2018安徽中考)如图，直线 l1，l 2都与直线 l 垂直，垂足分别为M，N，MN1.正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC 在直线 l 上，且点 C 位于2点 M 处将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N 重合为止记点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD 的边位于 l1，l 2之间部分的长度和为 y，则 y 关于x 的函数图象大致为( )4如图
9、，在平面直角坐标系中，AOB 的顶点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(4，0)，点 B 的坐标为(0，1)，点 C 为边 AB 的中点，正方形 OBDE 的顶点 E 在x 轴的正半轴上，连接 CO，CD，CE.(1)线段 OC 的长为 ；(2)求证：CBDCOE；(3)将正方形 OBDE 沿 x 轴正方向平移得到正方形 O1B1D1E1，其中点 O，B，D，E的对应点分别为点 O1，B 1，D 1，E 1，连接 CD1，CE 1，设点 E1的坐标为(a，0)，其中 a2，CD 1E1的面积为 S.当 1a2 时，请直接写出 S 与 a 之间的函数解析式；在平移过程中，当 S 时，请直接写出
10、a 的值14类型四 图形的旋转变换(2017潍坊中考)边长为 6 的等边ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DEAB，EC2 .3(1)如图 1，将DEC 沿射线 EC 方向平移，得到DEC，边 DE与 AC的交点为 M，边 CD与ACC的角平分线交于点 N.当 CC多大时，四边形MCND为菱形？并说明理由(2)如图 2，将DEC 绕点 C 旋转(0AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由(3)深入探究：如图 3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究，向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE.其他条件不变，试判断GMN 的形状，并给予证明【分析】
11、(1)利用 SAS 判断出AEBACD，得出 EBCD，AEBACD，进而判断出 EBCD，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出 MGNG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【自主解答】8(2018日照中考)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三 角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图 1，在 RtABC 中，ACB90，ABC30，则AC AB.12探究结论：小明同学对以上结论作了进一步探究(1)如图 1，连接 AB 边上中线 CE，由于 CE AB，易得结论：A
12、CE 为等边12三 角形；BE 与 CE 之间的数量关系为 ；(2)如图 2，点 D 是边 CB 上任意一点，连接 AD，作等边ADE，且点 E 在ACB的内部，连接 BE.试探究线段 BE 与 DE 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；(3)当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段 BE 与 DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ；拓展应用：如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为( ，1)，点3B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等边ABC.当 C 点在第一象限内，且B(2，0)时，求 C 点的坐标参考答案类型一【例 1
13、】 (1)在 RtABC 中，A30，AB4，AC2 .3PDAC，ADPCDP90.在 RtADP 中，AP2t，DPt，AD t，CDACAD2 t(0t2)3 3 3(2)在 RtPDQ 中，DPQ60，PQD30A，PAPQ.PDAC，ADDQ.点 Q 和点 C 重合，ADDQAC，2 t2 ，t1.3 3(3)当 0t1 时，SS PDQ DQDP tt t2.12 12 3 32如图，当 1t2 时，CQAQAC2ADAC2 t2 2 (t1)3 3 3在 RtCEQ 中，CQE30，CECQ tanCQE2 (t1) 2(t1)，333SS PDQ S ECQ tt 2 (t1)
14、2(t1)12 3 12 3 t24 t2 ，3 32 3 3S 32t2（ 0t 1） ， 3 32t2 4 3t 2 3（ 1t2） .)(4)如图，当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，PGF90，PG PQ12APt，AF AB2.12 12AAQP30，FPG60，PFG30，PF2PG2t，APPF2t2t2，t .12如图，当 PQ 的垂直平分线过 AC 的中点 N 时，QMN90，AN AC ，12 3QM PQ APt.12 12在 RtNMQ 中，NQ t.来源:学科网 ZXXKMQcos 302 33ANNQAQ， t2 t，32 33 3t .34如图，当 P
15、Q 的垂直平分线过 BC 的中点 F 时，BF BC1，12PE PQt，H30.12ABC60，BFH30H，BHBF1.在 RtPEH 中，PH2PE2t.AHAPPHABBH，2t2t5，t .54即当线段 PQ 的垂直平分线经过ABC 一边中点时，t 的值为 或 或 .12 34 54变式训练1解：(1)BPCE CEAD提示：如图，连接 AC.四边形 ABCD 是菱形，ABC60，ABC，ACD 都是等边三角形，ABDCBD30，ABAC.又APE 是等边三角形，APAE，BACPAE60，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30.延长 CE 交 AD 于点 H.CAH
16、60，CAHACH90，AHC90，即 CEAD.(2)结论仍然成立理由：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，设 CE 交 AD 于点 H.四边形 ABCD 是菱形，ABC60，ABC，ACD 都是等边三角形，ABDCBD30，ABAC.APE 是等边三角形，APAE，BACPAE60，BAPCAE，BAPCAE，BPCE， ABPACE30.CAH60，CA HACH90，AHC90，即 CEAD.也可选用图 3 进行证明，方法同上(3)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CE 交 AD 于点 H，由(2)可知 ECAD，CEBP.在菱形 ABCD 中，ADBC，ECBC.BCAB
17、2 ，BE2 ，3 19在 RtBCE 中，EC 8，（ 2 19） 2 （ 2 3） 2BPCE8.AC 与 BD 是菱形的对角线，ABD ABC30，ACBD，12BD2BO2AB cos 306，OA AB ，DPBPBD862，12 3OPODDP5.在 RtAOP 中，AP 2 ，AO2 OP2 7S 四边形 ADPES ADP S AEP 2 (2 )28 .12 3 34 7 3类型二【例 2】 (1)如图，作 DHAB 于点 H，则四边形 DHBC 是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD 10，DH2 AH2APADDP102t.(2)如图，作 PNAB 于点 N
18、，连接 PB.在 RtAPN 中，PA102t，PNPA sinDAH (102t)，35ANPA cosDAH (102t)，45BN16AN16 (102t)，45SS PQB S BCP (162t) (102t) 616 (102t)12 35 12 45 t2 t72.65 545(3)当 QPBD 时，PQNDBA90.QPNPQN90，QPNDBA， tanQPN ，QNPN 34 ，45（ 10 2t） 2t35（ 10 2t） 34解得 t .3527经检验，t 是分式方程的解，且符合题意，3527当 t 时，QPBD.3527(4)存在理由如下：如图，连接 BE 交 DH
19、于点 K，作 KMBD 于点 M.当 BE 平分ABD 时，KBHKBM，KHKM，BHBM8.BD 10，CD2 BC2DM2.设 KHKMx，在 RtDKM 中，(6x) 22 2x 2，解得 x .83如图，作 EFAB 于点 F，则AEFQPN，EFPN (102t)，AFQN (102t)2t.35 45BF16 (102t)2t45KHEF， ，KHEF BHBF ，8335（ 10 2t） 816 45（ 10 2t） 2t解得 t .2518经检验，t 是分式方程的解，且符合题意，2518当 t 时，点 E 在ABD 的平分线上2518变式训练2解：(1)当 t2 时，OM2，
20、在 RtOPM 中，POM60，PMOM tan 602 .3在 RtOMQ 中，QOM30，QMOM tan 30 ，2 33PQPMQM2 .32 33 4 33(2)当 t4 时，ANPO2OM2t，t4 时，P 到达 C 点，N 到达 B 点，点 P，N 在边 BC 上相遇设 t 秒时，点 P 与 N 重合，则(t4)2(t4) 8，解得 t ，即 t 秒时，点 P 与 N 重合203 203(3)当 0t4 时，S 2t4 4 t.12 3 3当 4t 时，S 8(t4)(2t8)4 来源:学+科+网203 12 340 6 t.3 3当 t8 时，S (t4)(2t8)84203
21、12 36 t40 .3 3当 8t12 时，SS 菱形 ABCOS AON S ABP S CPN32 (242t)4 8(t4)312 3 124 (t4) (2t16)312 32 t212 t56 .32 3 3综上所述，S 与 t 的函数关系式为S4 3t（ 0t 4） ，40 3 6 3t（ 4t 203） ，6 3t 40 3（ 203t 8） ， 32t2 12 3t 56 3（ 8t 12） .)类型三【例 3】 (1)四边形 ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到 ACAC，且 ACAC，则四边形 ACCA是平行四边形，ACCAAC.又CD 平分ACB 的外角，即 CD
22、平分ACC，易证 CD 也平分AAC，四边形 ACCA是菱形(2)在ABC 中，B90，AB24， cosBAC ，1213 cosBAC ，即 ，AC26，ABAC 1213 24AC 1213由勾股定理知 BC 10.AC2 AB2 262 242又由(1)知，四边形 ACCA是菱形，ACAA26.由平移的性质得到 ABAB，ABAB，则四边形 ABBA是平行四边形，AABB26，CBBBBC261016.变式训练3A4解：(1)172(2)AOB90，点 C 是 AB 的中点，OCBC AB，CBOCOB.12四边形 OBDE 是正方形，BDOE，DBOEOB90，CBDCOE.在CBD
23、 和COE 中， CB CO， CBD COE，BD OE， )CBDCOE( SAS)(3)S a1. a 或 .12 32 52类型四【例 4】 (1)当 CC 时，四边形 MCND为菱形3理由：由平移的性质得 CDCD，DEDE.ABC 为等边三角形，BACB60，ACC18060120.CN 是ACC的角平分线，NCC60.ABDE，DEDE ，ABDE，DECB60，DECNCC，DECN，四边形 MCND为平行四边形MECMCE60，NCCNCC60，MCE和NCC为等边三角形，MCCE，NCCC.又EC2 ，CC ，CECC ，3 3 3MCCN，四边形 MCND为菱形(2)AD
24、BE.理由：当 180时，由旋转的性质得ACDBCE.由(1)知 ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE.当 180时，ADACCD，BEBCCE，即 ADBE.综上可知，ADBE.如图，连接 CP，在ACP 中，由三角形三边关系得APACCP，当 A，C，P 三点共线时 AP 最大此时，APACCP.在DCE中，由 P 为 DE中点得 APDE，PD ，3CP3，AP639.在 RtAPD中，由勾股定理得AD 2 .AP2 PD 2 92 （ 3） 2 21变式训练5(1)解：菱形(2)证明：点 F 是 CC的中点，CFFC.FGAF，四边形 ACGC是平行四边形在 RtABC 和 Rt
25、ACD 中，BACACB90，ACBDAC，BACDAC90.又B，A，D 三点在同一条直线上，CAC90，四边形 ACGC是矩形ACAC，四边形 ACGC是正方形(3)解：在 RtABC 和 RtBCD 中，BCBD 2 .42 22 3 RtABC RtBCD，DBCBAC90，BHA90，BCAC.在 RtABC 中，ACBHBCAB，即 4BH22 ，3BH ，CHBCBH4 .3 3在 RtABH 中，AH 1，A B2 BH2 22 （ 3） 2CH413， tanCCH ，C HCH 4 33 tanCCH 的值为 .4 33类型五【例 5】 (1)折叠纸片使 B 点落在边 AD
26、 上的 E 处，折痕为 PQ，点 B 与点 E 关于 PQ 对称，PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP，EPF EFP，EPEF，BPBFFEEP，四边形 BFEP 为菱形(2)如图 1，图 1四边形 ABCD 为矩形，BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90.点 B 与点 E 关于 PQ 对称，CEBC5 cm.在 RtCDE 中，DE 2CE 2CD 2，即 DE25 23 2，DE4 cm，AEADDE541( cm)在 RtAPE 中，AE1，AP3PB3PE，EP 21 2(3EP) 2，解得 EP cm，53菱形 BFEP 的边长为 cm.53图 2当点
27、Q 与点 C 重合时，如图 1，点 E 离 A 点最近，由知，此时 AE1 cm.当点 P 与点 A 重合时，如图 2，点 E 离 A 点最远，此时四边形 ABQE 为正方形，AEAB3 cm，点 E 在边 AD 上移动的最大距离为 2 cm.变式训练6(1)证明：根据折叠的性质知DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF 是等腰三角形(2)解：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，FDBG.又DGBE，四边形 BFDG 是平行四边形DFBF，四边形 BFDG 是菱形AB6，AD8，BD10，OB BD5.12假设 DFBFx，则 AFADDF8x，在 RtABF 中
28、，AB 2AF 2BF 2，即 62(8x) 2x 2，解得 x ，即 BF ，254 254FO ，BF2 OB2 (254)2 52 154FG2FO .152类型六【例 6】 (1)如图，过点 A 作 APEF，交 CD 于点 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于点 Q，交 AP于点 T.四边形 ABCD 是矩形，ABDC，ADBC，四边形 AEFP 和四边形 BHGQ 都是平行四边形，APEF，GHBQ.GHEF，APBQ，QATAQT90.四边形 ABCD 是矩形，DABD90，DAPDPA90，AQTDPA，PDAQAB， ， .APBQ ADBA EFGH ADAB(2) .
29、1115提示：EFGH，AMBN，由(1)结论可得 ， ，EFGH ADAB BNAM ADAB .BNAM EFGH 1115(3)如图，过 D 作 AB 的平行线，交 BC 的延长线于 E，作 AFAB 交 ED 延长线于点 F.BAFBE90，四边形 ABEF 是矩形连接 AC，由已知条件得ADCABC，ADCABC90，1290.又2390，13，ADFDCE， .DEAF DCAD 510 12设 DEx，则 AF2x，DF10x.在 RtADF 中，AF 2DF 2AD 2，即(2x) 2(10x) 2100，解得 x14，x 20(舍去)，AF2x8， .DNAM AFAB 81
30、0 45变式训练7 (1)证明：EHAB，BAC90，EHCA，BHEBAC， .BEBC HEAC ， ，DCBE ACBC BEBC DCAC ，HEDC.HEAC DCACEHDC，四边形 DHEC 是平行四边形证明： ，BAC90，ACAB.ACBC 22 ，HEDC， .DCBE 22 HEBE 22BHE90，BHHE.HEDC，BHCD，AHAD.DMAE，EHAB，EHAAMF90，HAEHEAHAEAFM90，HEAAFD.EHAFAD90，HEAAFD，AEDF.(2)解：如图，过点 E 作 EGAB 于点 G.CAAB，EGCA，EGBCAB， ， .EGCA BEBC EGBE CABC 35 ，EGCD.CDBE 35设 EGCD3x，AC3y，BE5x，BC5y，BG4x，AB4y.EGAA MF90 ，GEAEAGEAGAFM，AFMAEG.FADEGA90，FADEGA，
