1、专题类型突破专题二 探索规律问题类型一 数式规律命题角度 数字规律探索(2018泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】 依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可 找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可【自主解答】解数式规律型问题的一般方法(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶 数列还是正整数列经过平方、平方加 1 或减 1 等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后
2、分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第 n 项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果1(2017百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，4，9，16，25，则第 11 个数是( )A121 B100 C100 D1212(2017十堰中考)如图 ，10 个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如 ，表示 a1a 2a 3，则 a1的最小值为( )A32 B36 C38 D403(2018枣庄中考)将从 1
3、开始的连续自然数按如下规律排列：则 2 018 在第 行命题角度 数字循环类规律探索(2018成都中考)已知a0，S 1 ，S 2S 11，S 3 ，S 4S 31，S 5 ，(即当 n 为大于1a 1S2 1S41 的奇数时，S n ；当 n 为大于 1 的偶数时，S nS n1 1)，按此规律，1Sn 1S2 018 【分析】 根据 Sn数的变化找出 Sn的值每 6 个一循环，结合 2 01833662，此题得解【自主解答】数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第 n 个数用含 n 的式子表示，用 n 除以循环出现的
4、数的个数，找出余数即可找到对应的结果4(2017岳阳中考)观察下列等式：212，2 24，2 38，2 416，2 532，2 664，根据这个规律，则212 22 32 42 2 017的末位数字是( )A0 B2 C4 D65(2016枣庄中考改编)一列数 a1，a 2，a 3，满足条件：a 1 ，a n12(n2，且 n 为整数)，则 a2 019 11 an 1命题角度 等式规律探索(2018滨州中考)观察下列各式：1 ，1 112 122 1121 ，1 122 132 1231 ，来源:学+科+网 Z+X+X+K1 132 142 134请利用你所发现的规律，计算 ，其结果1 11
5、2 122 1 122 132 1 132 142 1 192 1102为 【分析】 直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案【自主解答】探索等式规律的一般步骤(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第 n 个等式，并进行检验6(2018黔南州中考)根据下列各式的规律，在横线处填空： 1 ， ， ， ， 11 12 12 13 14 12 112 15 16 13 130 17 18 14 156
6、 12 017 12 018_ .12 0172 0187(2018安徽中考)观察以下等式：第 1 个等式： 1，来源:Z_xx_k.Com11 02 11 02第 2 个等式： 1，12 13 12 13第 3 个等式： 1，13 24 13 24第 4 个等式： 1，14 35 14 35第 5 个等式： 1，15 46 15 46按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第 6 个等式： ；(2)写出你猜想的第 n 个等式： (用含 n 的等式表示)，并证明类型二 点的坐标规律(2018东营中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A 2，A 3，和点B1，B 2，B 3，分别在直线 y x
7、b 和 x 轴上OA 1B1，B 1A2B2，15B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果点 A1(1，1)，那么点 A2 018的纵坐标是 .【分析】 因为每个 A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则延长直线交 x 轴、y轴于点 N，M，构造直角三角形 MNO，作出各点 A 垂直于 x 轴，利用三角函数值求出各点 A 的纵坐标，找出规律可求解【自主解答】 根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化 解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形
8、的变换规律分别求出第 1 个点，第 2个点，第 3 个点的坐标，找出点的坐标与序号之间 的关系，归纳得出第 M 个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第 M 个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为 n，用 Mnq(0qn)，则第 M 次变换与每个循环中第 q 次变换相同，再根据(2)中得到的第 M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第 M 个点的坐标8(2018广州中考)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1 m其行走路线如图所
9、示，第 1 次移动到 A1，第 2 次移动到 A2，第 n 次移动到 An.则OA 2A2 018的面积是( )A504 m2 B. m21 0092C. m2 D1 009 m21 01129(2018威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为(1，2)，以点 O 为圆心，以 OA1长为半径画弧，交直线 y x 于点 B1.过 B1点作 B1A2y 轴，12交直线 y2x 于点 A2，以点 O 为圆心，以 OA2长为半径画弧，交直线 y x 于12点 B2；过点 B2作 B2A3y 轴，交直线 y2x 于点 A3，以点 O 为圆心，以 OA3长为半径画弧，交直线 y x 于点 B3
10、；过 B3点作 B3A4y 轴，交直线 y2x 于点12A4，以点 O 为圆心，以 OA4长为半径画弧，交直线 y x 于点 B4，按照如12此规律进行下去，点 B2 018的坐标为 _ 类型三 图形累加型变化规律(2017潍坊中考)如图，自左至右，第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11 个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个图由 3 个正六边形、16 个正方形和 14 个等边三角形组成；按照此规律，第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个【分析】 根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论【自主
11、 解答】找图形累加型变化规律的一般步骤(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，n”；(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数 n 的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数10(2018重庆中考)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有 3 张黑色正方形纸片，第个图中有 5 张黑色正方形纸片，第个图中有 7 张黑色正方形纸片，按此规律排列下去第个图中黑色
12、正方形纸片的张数为( )A11 B13 C15 D1711(2018自贡中考)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 018 个图形共有 个.类型四 图形成倍递变型变化规律来源:学科网 ZXXK(2017绥化中考)如图，顺次连接腰 长为 2 的等腰直角三角形各边中点得到第 1 个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第 2 个小三角形，如此操作下去，则第 n 个小三角形的面积为 【分析】 记原来三角形的面积为 S，第一个小三角形的面积为 S1，第二个小三角形的面积为 S2，求出 S1，S 2，S 3，探究规律后即可解决问题【自主解答】对于求面积规律探索
13、问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积 S；(2) 通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第 M 次变换后图形的面积来源:学#科#网 Z#X#X#K12(2017内江中考)如图，过点 A0(2，0)作直线 l：y x 的垂线，垂足33为点 A1，过点 A1作 A1A2x 轴，垂足为点 A2，过点 A2作 A2A3l，垂足为点A3，这样依次下去，得到一组线段：A 0A1，A 1A2，A 2A3， ，则线段 A2 016A2 017的长为( )
14、A( )2 015 B( )2 016 C( )2 017 D( )2 01832 32 32 3213(2018潍坊中考)如图，点 A1的坐标为(2，0)，过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l：y x 于点3B1，以原点 O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2作x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，以 OB2的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3；.按此作法进行下去，则 A2 019B2 018的长是 参考答案类型一【例 1】 观察“田”字中各数之间的关系得：左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为 2 的整数指数幂；右下角数字则为左上角
15、与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与 1 的差故此，可知a2 8256，b15256271，c2711270.故答案为 270.变式训练1B 2.D 3.45【例 2】 S 1 ，S 2S 11 1 ，S 3 ，S 4S 311a 1a a 1a 1S2 aa 11 ，S 5 (a1)，S 6S 51(a1)1a，S 7 aa 1 1a 1 1S4 1S6，1aS n的值每 6 个一循环2 01833662，S 2 018S 2 .a 1a故答案为 .a 1a变式训练4B 5.1【例 3】 1 112 122 1 122 132 1 132 1421 192 11021 1 1 11
16、12 123 134 1910191 12 12 13 13 14 19 110911109 .910故答案为 9 .910变式训练6. 11 0097解：(1) 116 57 16 57(2)根据题意，第 n 个分式分母分别为 n 和 n1，分子分别为 1 和 n1，故答案为 1.1n n 1n 1 1n n 1n 1证明： 1，1n n 1n 1 1n n 1n 1 n 1 n（ n 1） （ n 1）n（ n 1） n2 nn（ n 1）等式 成立类型二【例 4】 A 1(1，1)在直线 y xb 上，15b ，直线解析式为 y x .45 15 45设直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分
17、别为点 N，M.当 x0 时，y ；45当 y0 时， x 0，来源:学科网15 45解得 x4，点 M，N 的坐标分别为 M(0， )，N(4，0)，45 tanMNO .MONO 454 15如图，作 A1C1x 轴于点 C1，A 2C2x 轴于点 C2，A 3C3x 轴于点 C3.A 1(1，1)，OB 12A 1C12， tanMNO ，A2C2NC2 A2C2NO OB1 A2C2 A2C24 2 A2C2 15A 2C2 .32同理，A 3C3 ( )2，A 4C4 ( )3，94 32 278 32依此类推，点 A2 018的纵坐标是( )2 017.32故答案为( )2 017
18、.32变式训练8A 9.(2 2 018，2 2 017)类型三【例 5】 第 1 个图由 6 个正方形和 6 个等边三角形组成，正方形和等边三角形的个数之和为 661293；第 2 个图由 11 个正方形和 10 个等边三角形组成，正方形和等边三角形的个数之和为 111021923；第 3 个图由 16 个正方形和 14 个等边三角形组成，正方形和等边三角形的个数之和为 161430933；第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n3.故答案为 9n3.变式训练10B 11.6 055类型四【例 6】 记原来三角形的面积为 S，第一个小三角形的面积为 S1，第二个小三角形的面积为 S2，.S 1 S S，S 2 S S，14 122 14 14 124S3 S，126S n S 22 .故答案为 .122n 122n 12 122n 1 122n 1变式训练12B 13.22 0193
