1、1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1回顾矩形的性质及判定方法 2矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点),学习目标,问题1: 矩形有哪些性质？,是轴对称图形; 四个角都是直角; 对角线相等且平分.,导入新课,定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形,问题2: 矩形有判定方法有哪些？,例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.,分析：由在矩形ABCD中，AEBD于
2、E，BE：ED=1：3，易证得OAB是等边三角形，继而求得BAE的度数，由OAB是等边三角形，求出ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.,典例精析,讲授新课,解：四边形ABCD是矩形， OB=OD，OA=OC，AC=BD， OA=OB， BE：ED=1：3， BE：OB=1：2， AEBD， AB=OA，OA=AB=OB， 即OAB是等边三角形， ABD=60，ADE=90-ABD=30， AE= AD=3.,【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.,例2：已知：如图，在ABC中，AB=AC，AD是AB
3、C的一条角平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.,（1）证明：在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ADBC，BAD=CAD， ADC=90， AN为ABC的外角CAM的平分线， MAN=CAN， DAE=90， CEAN， AEC=90， 四边形ADCE为矩形；,（1）求证：四边形ADCE为矩形；,分析：由在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得ADBC，BAD=CAD，又由AN为ABC的外角CA
4、M的平分线，可得DAE=90，又由CEAN，即可证得：四边形ADCE为矩形；,解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE 又AB=AC，BD=CD， AB=DE，AE=BD， 四边形ABDE是平行四边形；,（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；,分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知ABDE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；,解：DFAB，DF= AB理由如下： 四边形ADCE为矩形， AF=CF， BD=CD， DF是ABC的中位线， DFAB，DF=
5、 AB,（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.,分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是ABC的中位线，则可得DFAB，DF= AB.,【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.,例3：如图，在ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：ADCECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.,证明：（1）ABC是等腰三角形, B=ACB. 又四边形ABDE是平行四边形, B=EDC,AB=DE
6、, ACB=EDC, ADCECD.,(2)AB=AC,BD=CD, ADBC,ADC=90. 四边形ABDE是平行四边形, AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, 四边形ADCE是平行四边形. 而ADC=90, 四边形ADCE是矩形.,例4：如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由,解：(1)BDCD.理由如下： AFBC， AFEDCE. E是AD的中点， AEDE. 在AEF和DEC中，AEFD
7、EC(AAS)， AFDC. AFBD， BDDC；,分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”证明AEF和DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AFCD，再利用等量代换即可得BDCD；,(2)当ABC满足ABAC时，四边形AFBD是矩形理由如下： AFBD，AFBD， 四边形AFBD是平行四边形 ABAC，BDDC， ADB90. 四边形AFBD是矩形,【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键,分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个
8、角是直角的平行四边形是矩形”可知ADB90.由等腰三角形三线合一的性质可知ABC满足的条件必须是ABAC.,例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CMCN； (2)若CMN的面积与CDN的面积比 为31，求 的值,典例精析,(1)求证：CMCN；,解：四边形ABCD是矩形， ADBC， ANMCMN， 由折叠知CNMANM， CNMCMN， CNCM,(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求 的值,解：ADBC，SCMNSCDN31，CMDN31， 设DNx，则CM3x， 过点N作NKBC于点
9、K， DCBC，NKDC， 又ADBC，CKDNx，MK2x， 由(1)知CNCM3x， NK2CN2CK2(3x)2x28x2，,当堂练习,1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D3S12S2,B,2如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AHBC于点H，连接EH，若DF10 cm，则EH等于( ) A8 cm B10 cm C16 cm D24 cm,B,3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于点E
10、，若CAE15，则BOE_度,75,4如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果OAB30，那么点C的坐标为 ,5.如图，点D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC. (1)求证：CDAN； (2)若AMD2MCD， 求证：四边形ADCN是矩形,证明：(1)证AMDCMN得ADCN， 又ADCN， 四边形ADCN是平行四边形， CDAN.,(2)若AMD2MCD， 求证：四边形ADCN是矩形,证明： AMD2MCD，AMDMCDMDC， MCDMDC， MDMC， 由(1)知四边形ADCN是平行四边形， MDMNMAMC， ACDN，ADCN是矩形.,与全等三角形的结合,矩形的性质与判定,课堂小结,与平面直角坐标系的结合,折叠问题,
