1、2.7 二次根式,第二章 实数,第1课时 二次根式及其化简,八年级数学北师版,学习目标,1.了解二次根式的定义及最简二次根式;(重点) 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.(难点),导入新课,(1)如左图所示,礼盒的上面是正方形,其面积为5,则它的边长是 .如果其面积为S,则它的边长是 .,(2)如左图所示,一个长方形的围 栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为 m.,观察与思考,(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t 为 .,问题:如图,正方形ABCD的边长为2,
2、它的对角 线AC的长是多少?,乙同学:,甲同学:,由此可见:,=,O,讲授新课,问题1 上面问题的结果分别是 ,它们表示一些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢?,我们知道,负数没有平方根.因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是正数或0.,问题2 上面问题的结果分别是 ,分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点?,含有“ ”,被开方数a 0,归纳总结,二次根式的定义,一般地,我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号,a叫做被开方数.,要点提醒,例1 下列各式是二次根式吗?,典例精析,是,不是,不是,(x,y异号),不是,不是,是,不是,不含二次根号,被开方数是负数,当
3、m0时被开方数是负数,xy0,非负数+正数恒大于零,根指数是3,解:由x-20,得,x2.,例2 (1)当x取何值时, 在实数范围内有意义?,当x2时, 在实数范围内有意义.,当x=9时,,A. x1 B. x-1 C. x 1 D. x -1,A,(2)当x=0,9时,求二次根式 的值.,(3)要使式子 有意义,则x的取值范围是( ),当x=0时,x-2=-20,此时二次根式无意义;,要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数0,列不等式求解即可.若二次根式处在分母的位置,应同时考虑分母不为零.,想一想: 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 呢?,前者x为全体实数;后者x为正数
4、和0.,思考: 二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式 ,我们知道:,(1)a为被开方数,为保证其有意义,可知a0; (2) 表示一个数或式的算术平方根,可知 0.,(2)设 ,试求2x+y的值.,例3(1)若 ,求a -b+c的值.,解:,(1)由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4,所以a-b+c=2-3+4=3;,(2)由题意知,1-x0,且x-10,联立解得x=1.从而知y=2017,所以2x+y=21+2017=2019.,多个非负数的和为零,则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式
5、.,(1), ,, ;, ,, ;, ,, ;, ,, ,6,6,20,20,填一填,有何发现?, ,,6.480, ;,(2)用计算器计算:, ,, ,6.480,0.9255,0.9255,有何发现?,要点归纳,(a0, b0),商的算术平方根等于算术平方根的商,积的算术平方根等于算术平方根的积,例4:化简,解:(1) (2)(3),典例精析,(1) ;(2) ;(3) .,最简二次根式:,一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.,要点归纳,例5:化简:,解:,例6. 化简:,解:,最简二次根式的条件:,是二次根式;,被开方数中不含分母;,
6、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,要点归纳,当堂练习,2.式子 有意义的条件是 ( ),A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.若 是整数,则自然数n的值有 ( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个,D,1. 下列式子中,不属于二次根式的是( ),C,A,4.当x_, 在实数范围内有意义,解析:要使在实数范围内有意义,必须同时满足被开方数x30和分母x10,解得x3且x1.,方法总结:使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况:一是分母不为零,二是偶次方根的被开方数是非负数,三是零次幂的底数不为零,6. 设 ,化简下列二次根式.,解:,解:原式= +1-3=3+1-3=1.,5.计算:,能力提升,化简:,解:,二次根式,二次根式的定义:形如(a0)的式子,课堂小结,二次根式的性质,最简二次根式,