1、2018-2019 学年四川省成都九年级（上）月考数学试卷（9 月份）一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑，每小题 3 分，共 30 分）1在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D2若 ab ，则下列式子正确的是（ ）A 4a4b B a b C4a4b Da 4b 43如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）Ax 1 或 x3 Bx 1 或 x3 C1x3 D1x34若凸 n 边形的内角和为 1260，则 n 的值是（ ）A9 B10 C11 D125反比例函数 的图象位于（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第二、四象限 D第三、四象限6若
2、 ax25x+3=0 是一元二次方程，则不等式 3a+60 的解集是（ ）Aa 2 Ba2 且 a0 Ca Da 27方程 x2kx1=0 根的情况是（ ）A方程有两个不相等的实数根B方程有两个相等的实数根C方程没有实数根D方程的根的情况与 k 的取值有关8下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）A2a 2b2=（a+b） （a b）+a 2 B2a（b+c ）=2ab +2acC x32x2+x=x（x1） 2 D （x 1） （y1）=xy xy+19一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则下列结论：当 x3 时，y 10；当x3 时，y 20；当 x3 时，y 1y
3、2 中，正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D310甲、乙两名工人加工某种零件，已知甲每天比乙多加工 5 个零件，甲加工 80 个零件和乙加工 70 个零件所用的天数相同设甲每天加工 x 个零件，则根据题意列出的方程是（ ）A B C D二填空题（每小题 4 分，共 20 分）11函数 y= 的自变量 x 取值范围是 12x 210x+21 可以分解为（x +n） （x7） ，则 n= 13已知点 P（2a，3a）在第四象限，那么 a 的取值范围是 14如图所示，DE 为ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB=90 ，若 AB=5，BC=8 ，则 EF 的长为 15在平行四边形 AB
4、CD 中，AEBC 于 E，AFCD 于 F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD 的周长为 40，则平行四边形 ABCD 的面积为 三、解答题：（16 题每小题 18 分，17、18 每题 6 分，19 题 10 分，20 题 10 分）16 （1）解不等式组（2）分解因式（x1） （x3）8（3）解方程： = +17当 +|b+2|+c2=0 时，求 ax2+bx+c=0 的解18先化简，后求值 ，其中 x 为 0、1、2、4 中的一个数19如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是（ 3，1） （1）先将ABC 沿 y 轴正方向
5、向上平移 3 个单位长度，再沿 x 轴负方向向左平移 1 个单位长度得到A 1B1C1，画出 A 1B1C1，点 C1 坐标是 ；（2）将A 1B1C1 绕点 B1 逆时针旋转 90，得到A 2B1C2，画出A 2B1C2，并求出点 C2的坐标是 ；（3）我们发现点 C、C 2 关于某点中心对称，对称中心的坐标是 20如图 1，四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 BC 的垂线交 CB 的延长线于点 E，过点 C作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 F（1）说明AEBCFD 的理由；（2）连接 AC、BD，AC 与 DB 交于点 O（如图 2） ，若 BE=1当 DC=2 时，求 FC 的
6、长度；当 CD 是ACF 的平分线时，求 DB 的长度与菱形 ABCD 的边长一填空题（每题 4 分，共 20 分）21如果 a+b=8，ab=15，则 a2b+ab2 的值为 22关于 x 的方程 的解是非正数，则 m 的取值范围是 23如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB，AC 上，DE BC ，点 G 在边 BC 上，AG 交DE 于点 H，点 O 是线段 AG 的中点，若 AD：DB=3：1，则 AO：OH= 24已知 =k，则 k= 25如图，OAOB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，ECD=45 ，将三角形CDE 绕点 C 逆时针旋转 75，点 E 的对应点
7、 N 恰好落在 OA 上，则 的值为 二解答题（26 题 8 分，27 题 10 分，28 题 12 分，共 20 分）26某商店如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可销售 200 件，通过一段时间摸索，该店主发现这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件（1）将售价定为多少元的时候，使每天利润为 700 元吗？（2）当售价定为 x 元时，这天所获利润为 y，请写出 y 与 x 的关系式（3）根据（2）问中的关系式，求出这天所获利润 y 的最大值？27如图 1，在正方形 ABCD 中，BD 是对角线，点 E 在 BD 上，BEG 是等腰直角三角形，且BEG=90，点
8、 F 是 DG 的中点，连结 EF 与 CF（1）求证：EF=CF；（2）求证：EFCF ；（3）如图 2，若等腰直角三角形BEG 绕点 B 按顺时针旋转 45，其他条件不变，请判断CEF 的形状，并证明你的结论28在矩形 OABC 中，OA=4，OC=2，以点 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系（1）将矩形 OABC 绕点 C 逆时针旋转至矩形 DEFC，如图 1，DE 经过点 B，求旋转角的大小和点 D，F 的坐标；（2）将图 1 中矩形 DEFC 沿直线 BC 向左平移，如图 2，平移速度是每秒 1 个单位长度经过几秒，直线 EF 经过点 B；设两矩形重叠部分的面
9、积为 S，运动时间为 t，写出重叠部分面积 S 与时间 t 之间的函数关系式2018-2019 学年四川省成都九年级上月考数学试卷（9 月份）参考答案与试题解析一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑，每小题 3 分，共 30 分）1在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故选：C【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称
10、图形的认识，熟记概念是解题的关键2若 ab ，则下列式子正确的是（ ）A 4a4b B a b C4a4b Da 4b 4【分析】根据不等式的性质（不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变）逐个判断即可【解答】解：A、ab，4a 4b，故本选项错误；B、ab， a b，故本选项错误；C、 ab，a b，4 a 4b，故本选项错误；D、ab， a4b4，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了对不等式的性质的应用，主要考查学生的辨析能力，是一道比较典型的题目，难度适中3如图
11、，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）Ax 1 或 x3 Bx 1 或 x3 C1x3 D1x3【分析】不等式的解集表示1 与 3 之间的部分，其中不包含 1，而包含 3【解答】解：由图示可看出，从1 出发向右画出的折线且表示 1 的点是空心圆，表示x1 ；从 3 出发向左画出的折线且表示 3 的点是实心圆，表示 x3所以这个不等式组为1 x3故选：D【点评】此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数
12、一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”， “”要用实心圆点表示； “”， “”要用空心圆点表示4若凸 n 边形的内角和为 1260，则 n 的值是（ ）A9 B10 C11 D12【分析】根据多边形内角和定理列式计算即可【解答】解：由题意得， （n 2）180=1260 ，解得，n=9，故选：A【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形内角和定理：（n2）180 （n3）且 n 为整数）是解题的关键5反比例函数 的图象位于（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第二、四象限 D第三、四象限【分析】因为 k=20，根据反比例函数性质，可知图象在一、三象限【解答】解：
13、k=20，图象在一、三象限故选：B【点评】对于反比例函数 （k0） ， （1）k0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内6若 ax25x+3=0 是一元二次方程，则不等式 3a+60 的解集是（ ）Aa 2 Ba2 且 a0 Ca Da 2【分析】由于 ax25x+3=0 是一元二次方程，故 a0；再解不等式即可求得 a 的取值范围；这样即可求得不等式的解集【解答】解：不等式移项，得3a6，系数化 1，得a 2；又ax 25x+3=0 是一元二次方程，且 a0；所以，a2 且 a0 ；故选：B【点评】一元二次方程必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数，未知数
14、的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程同时解不等式时，两边同时乘或除一个负数时，不等号的方向要改变7方程 x2kx1=0 根的情况是（ ）A方程有两个不相等的实数根B方程有两个相等的实数根C方程没有实数根D方程的根的情况与 k 的取值有关【分析】求出方程的判别式后，根据判别式与 0 的大小关系来判断根的情况【解答】解：方程的=k 2+40，故方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根8下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）A2a 2b2=（
15、a+b） （a b）+a 2 B2a（b+c ）=2ab +2acC x32x2+x=x（x1） 2 D （x 1） （y1）=xy xy+1【分析】根据把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案【解答】解：x 32x2+x=x（x1） 2，C 是因式分解，故选：C【点评】本题考查了因式分解，因式分解的关键是把多项式转化成几个整式积的形式9一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则下列结论：当 x3 时，y 10；当x3 时，y 20；当 x3 时，y 1y 2 中，正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据一次函数图象的位置进行判断，从函数图象来看，就是确定直线
16、y=kx+b是否在在 x 轴上（或下）方【解答】解：根据图象可知：当 x3 时，一次函数 y1=kx+b 的图象在 x 轴上方，故 y10；当 x3 时，一次函数 y2=x+a 的图象一部分在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方，故y2 0 或 y2=0 或 y20；当 x3 时，一次函数 y1=kx+b 的图象在一次函数 y2=x+a 的图象的下方，故 y1y 2，所以正确的有和故选：C【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围10甲、乙两名工人加工某种零件，已知甲每天比乙多加工 5 个
17、零件，甲加工 80 个零件和乙加工 70 个零件所用的天数相同设甲每天加工 x 个零件，则根据题意列出的方程是（ ）A B C D【分析】根据题意列出乙每天加工零件的个数 x5，由等量关系式甲加工 80 个零件和乙加工 70 个零件所用的天数相同，列出方程即可【解答】解：据题意列出方程得， ，故选：D【点评】解决此题的关键是：找对等量关系二填空题（每小题 4 分，共 20 分）11函数 y= 的自变量 x 取值范围是 x 4 且 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：根据题意得，x30 且 4x0，解得 x3 且 x4故函数 y= 的自变量 x 取
18、值范围是 x4 且 x3故答案为：x4 且 x3【点评】本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数12x 210x+21 可以分解为（x +n） （x7） ，则 n= 3 【分析】先多项式 x210x+21 分解因式可得 n 的值【解答】解：x 210x+21=（x 3） （x 7） ，x 210x+21 可以分解为（x+n） （x7） ，n=3，故答案为：3【点评】本题考查了因式分解与原多项式的关系，解决此类问题，由于多项式因式分解是恒等变形，根据相同项的系数相等，得到方程并求出其解13已知点 P（2a，3a）在第四象限，那么 a 的取值
19、范围是 0a2 【分析】根据点所在的象限，列不等式组，求解即可【解答】解：点 P（2a，3a）在第四象限， ，由得 a2，由得 a0，a 的取值范围是 0a2，故答案为 0a2【点评】本题考查了象限内点的符号特点，以及不等式组的解法，是基础知识比较简单14如图所示，DE 为ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB=90 ，若 AB=5，BC=8 ，则 EF 的长为 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出 DF 的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出 DE 的长，进而求出 EF的长【解答】解：AFB=90 ，D 为 AB 的中点，DF= A
20、B=2.5，DE 为ABC 的中位线，DE= BC=4，EF=DEDF=1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半15在平行四边形 ABCD 中，AEBC 于 E，AFCD 于 F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD 的周长为 40，则平行四边形 ABCD 的面积为 48 【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为 20，设 BC 为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得 BC 长，乘以 4 即为平行四边形的面积【解答】解：平行四边
21、形 ABCD 的周长为 40，BC +CD=20，设 BC 为 x，S 平行四边形 ABCD=BCAE=CDAF，4x=（20x ）6，解得 x=12，平行四边形 ABCD 的面积为 124=48故答案为 48【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，面积等于底高三、解答题：（16 题每小题 18 分，17、18 每题 6 分，19 题 10 分，20 题 10 分）16 （1）解不等式组（2）分解因式（x1） （x3）8（3）解方程： = +【分析】 （1）先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可；（2）先化简整理多项式，再根据十字相乘法进行因式分解即可；（
22、3）解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论【解答】解：（1）解不等式，可得x2，解不等式，可得x3.5，不等式组的解集为：2x3.5；（2） （x1） （x3）8=x24x+38=x24x5=（ x5） （x+1） ；（3） = +方程两边同乘（x+2） （x2 ） ，可得（x2） 2=（x+2 ） 2+16，解得 x=2，检验：当 x=2 时， （x +2） （x2）=0，x=2 是原方程的增根，原方程无解【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，因式分解以及解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为 0，所以应检验17当 +|b+2|+c
23、2=0 时，求 ax2+bx+c=0 的解【分析】先根据算术平方根、绝对值和平方的非负性可得 a、b 、c 的值，代入方程解出即可【解答】解；当 +|b+2|+c2=0 时，则 ， ，4x 22x=0，2x2x=0，x（2x 1）=0 ，x1=0，x 2=【点评】本题考查了算术平方根、绝对值和平方的非负性和利用因式分解解一元二次方程，熟练掌握算术平方根、绝对值和平方的非负性是关键18先化简，后求值 ，其中 x 为 0、1、2、4 中的一个数【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式= = ，当
24、 x=0 时，原式=1 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键19如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是（ 3，1） （1）先将ABC 沿 y 轴正方向向上平移 3 个单位长度，再沿 x 轴负方向向左平移 1 个单位长度得到A 1B1C1，画出 A 1B1C1，点 C1 坐标是 （ 2，1） ；（2）将A 1B1C1 绕点 B1 逆时针旋转 90，得到A 2B1C2，画出A 2B1C2，并求出点 C2的坐标是 （5，0） ；（3）我们发现点 C、C 2 关于某点中心对称，对称中心的坐标是 （ 3，1） 【分
25、析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用关于点对称的性质得出对称中心即可【解答】解：（1）如图所示：A 1B1C1，即为所求，点 C1 坐标是：（2，1） ；故答案为：（2，1） ；（2）如图所示：A 2B1C2，即为所求，点 C2 坐标是：（5，0） ；故答案为：（5，0） ；（3）点 C、C 2 关于某点中心对称，对称中心的坐标是：（ 3，1） 故答案为：（3，1） 【点评】此题主要考查了旋转变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键20如图 1，四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 BC 的垂线交
26、 CB 的延长线于点 E，过点 C作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 F（1）说明AEBCFD 的理由；（2）连接 AC、BD，AC 与 DB 交于点 O（如图 2） ，若 BE=1当 DC=2 时，求 FC 的长度；当 CD 是ACF 的平分线时，求 DB 的长度与菱形 ABCD 的边长【分析】 （1）首先这两个三角形是直角三角形，可根据菱形的性质四边相等，对边平行，可得到 AB=DC，AE=CF ；（2）因为三角形 AEB 是直角三角形，可根据勾股定理求解；（3）用角平分线上的点到两边的距离相等的性质以及勾股定理可求出 DB 的长度与菱形 ABCD 的边长【解答】证明：（1）四边形 A
27、BCD 是菱形，AB=CD，ADBC，又AECE， CFAF，AE=CF，在直角三角形 AEB 和直角三角形 CFD 中 ，AEBCFD；（2）AEBCFD，DF=BE=1，FC= = ，当 CD 是ACF 的平分线时DOC=90，CFD=90，DO=DF=1，DB=2，CD 是ACF 的平分线，ECA=DCA=DCF=30，BCD=60，BCD 是等边三角形，菱形 ABCD 的边长为 2【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理以及角平分线上的点到两边的距离相等，和直角三角形全等的判定，关键是熟记这些性质定理和判定定理一填空题（每题 4 分，共 20 分）21如果 a+b=8，ab=15，则 a2
28、b+ab2 的值为 120 【分析】把所求的代数式整理为和所给代数式相关的式子，代入求值即可【解答】解：a 2b+ab2=ab（a+b ）=15 8=120【点评】本题考查因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解22关于 x 的方程 的解是非正数，则 m 的取值范围是 m 【分析】先解方程求得 x，然后根据 x0，求出 m 的取值范围即可【解答】解：去分母得，2（x+m）3（2x1）=6m，去括号得，2x+2m6x+3=6m，移项合并得，4x=4m 3，系数化为 1 得，x= ，关于 x 的方程 的解是非正数， 0，m 故答案为：m 【点评】本题考查了解一元一次方
29、程以及一元一次不等式，是一道综合题，难度不大23如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB，AC 上，DE BC ，点 G 在边 BC 上，AG 交DE 于点 H，点 O 是线段 AG 的中点，若 AD：DB=3：1，则 AO：OH= 2：1 【分析】根据平行线分线段成比例定理求出 ， ，推出AO= AG，OH=OG HG= AG AG，代入求出即可【解答】解：DEBC，AD：DB=3：1， = = = ， = = ，OH=OGHG= AG AG，点 O 是线段 AG 的中点，OA=OG= AG，AO：OH= （ AG）：（ AG AG）=2：1，故答案为：2：1【点评】本题考查学生对平行线分
30、线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理24已知 =k，则 k= 2 或 1 【分析】先根据比例的性质得出 bk=a+c，ck=b+a，ak=c+b，再将这三个式子相加，整理得出（a+b+c）k=2（a+ b+c） 然后分 a+b+c0 与 a+b+c=0 两种情况，分别求出 k的值即可【解答】解： =k，bk=a+c ，ck=b+a ，ak=c +b，bk+ck+ak=a+c+b+a+c+b，（a +b+c）k=2（a+b+c） 如果 a+b+c0，那么 k=2；如果 a+b+c=0，那么 a+c=b，k= =1故答案为 2 或1【点评】本题考查了比例的
31、基本性质：两内项之积等于两外项之积即若 a：b=c：d，则 ad=bc分情况讨论是解题的关键25如图，OAOB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，ECD=45 ，将三角形CDE 绕点 C 逆时针旋转 75，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，则 的值为 【分析】根据旋转得出NCE=75，求出NCO，设 OC=a，则 CN=2a，根据CMN 也是等腰直角三角形设 CM=MN=x，由勾股定理得出 x2+x2=（2a） 2，求出 x= a，得出 CD= a，代入求出即可【解答】解：将三角形 CDE 绕点 C 逆时针旋转 75，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，ECN=7
32、5，ECD=45，NCO=1807545=60，AOOB，AOB=90，ONC=30，设 OC=a，则 CN=2a，等腰直角三角形 DCE 旋转到 CMN ，CMN 也是等腰直角三角形，设 CM=MN=x，则由勾股定理得：x 2+x2=（2a） 2，x= a，即 CD=CM= a， = = ，故答案为： 【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度二解答题（26 题 8 分，27 题 10 分，28 题 12 分，共 20 分）26某商店如果将进货价
33、为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可销售 200 件，通过一段时间摸索，该店主发现这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件（1）将售价定为多少元的时候，使每天利润为 700 元吗？（2）当售价定为 x 元时，这天所获利润为 y，请写出 y 与 x 的关系式（3）根据（2）问中的关系式，求出这天所获利润 y 的最大值？【分析】 （1）如果设每件商品提高 x 元，用 x 表示出单件的利润以及每天的销售量，然后根据总利润=单价利润 销售量列出关于 x 的方程，进而求出未知数的值（2）首先设应将售价提为 x 元时，才能使得所赚的利润最大为 y 元，根据题意可得：y=（ x8）200
34、 20（x10 ）；（3）将（2）中关系式化简配方，即可得 y=20（x14） 2+720，即可求得答案【解答】解：（1）设每件商品提高 x 元，则每件利润为（10+x8）=（x +2）元，每天销售量为（20020x）件，依题意，得：（x+2） （200 20x）=700 整理得：x 28x+15=0解得：x 1=3， x2=5把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元；（2）设利润为 y：则 y=（x8） 20020（x10）=20x2+560x3200；（3）y= 20x2+560x3200，=20（x 14） 2+720，则当售价定为 14 元时，获得最大利润；最大
35、利润为 720 元【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式27如图 1，在正方形 ABCD 中，BD 是对角线，点 E 在 BD 上，BEG 是等腰直角三角形，且BEG=90，点 F 是 DG 的中点，连结 EF 与 CF（1）求证：EF=CF；（2）求证：EFCF ；（3）如图 2，若等腰直角三角形BEG 绕点 B 按顺时针旋转 45，其他条件不变，请判断CEF 的形状，并证明你的结论【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=DF= DG，CF=DF=DG，从而得证；（2）根据等边对等角可得F
36、DE=FED ，FCD=FDC ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出EFC=2BDC，然后根据正方形的对角线平分一组对角求出BDC=45，求出 EFC=90 ，从而得证；（3）延长 EF 交 CD 于 H，先求出 EGCD ，再根据两直线平行，内错角相等求出EGF=HDF，然后利用“角边角” 证明EFG 和HFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EG=DH，EF=FH，再求出 CE=CH，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可【解答】 （1）证明：BEG=90，点 F 是 DG 的中点，EF=DF= DG，正方形 ABCD 中，BCD=90，点 F 是 DG 的中点，
37、CF=DF= DG，EF=CF；（2）证明：EF=DF，CF=DF，FDE= FED，FCD=FDC，EFC=EFG+CFG=FDE +FED+FCD+FDC=2FDE +2FDC=2BDC ，在正方形 ABCD 中，BDC=45，EFC=245=90 ，EF CF；（3）解：CEF 是等腰直角三角形理由如下：如图，延长 EF 交 CD 于 H，BEG=90，BCD=90，BEG=BCD，EGCD，EGF=HDF，点 F 是 DG 的中点，DF=GF，在EFG 和HFD 中，EFGHFD（ASA） ，EG=DH，EF=FH，BE=EG，BC=CD，BC EB=CDDH，即 CE=CH，EF C
38、F（等腰三角形三线合一） ，CF=EF= EH，CEF 是等腰直角三角形【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定，熟记各性质是解题的关键，（3）作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键28在矩形 OABC 中，OA=4，OC=2，以点 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系（1）将矩形 OABC 绕点 C 逆时针旋转至矩形 DEFC，如图 1，DE 经过点 B，求旋转角的大小和点 D，F 的坐标；（2）将图 1 中矩形 DEFC 沿直线 BC 向左平移，如图 2，平移速度是每秒 1
39、个单位长度经过几秒，直线 EF 经过点 B；设两矩形重叠部分的面积为 S，运动时间为 t，写出重叠部分面积 S 与时间 t 之间的函数关系式【分析】 （1）根据 OA=4， OC=2，BC=OA，因而就可求得 BC=2CD，则可以求出BCD=60，则旋转角即可求得；作 DMCB 于点 M，FNCB 于点 N，根据三角函数即可求得：DM，CM 的长，从而求得 D 的坐标，在 RtCFN 中，根据三角函数即可求得 CN， FN 的长，即得 F 的坐标；（2）HB 即为直线 EF 经过点 B 时移动的距离在 RtCDH 中利用三角函数即可求得DH，从而得到 HE，再在 HEB 中，利用三角函数求得
40、BH，即可求得时间重合的部分可能是四边形，也可能是三角形，应分两种情况进行讨论【解答】解：（1）如图 1在矩形 OABC 中，OA=4，OC=2，所以在 RTBCD 中，BC=2CD ，即所以BCD=60所以旋转角 OCD=30作 DMCB 于点 M，FN CB 于点 N在 RTCDM 中，CM=CDcos60=1，DM=CDsin60= 所以点 D 到 x 轴的距离为 在 RTCFN 中， ，所以点 F 到 x 轴的距离为 4故 D（1， ） ，F（2）如图 2，HB即为直线 EF 经过点 B 时移动的距离在 RTCDH 中， ，所以 在 RTBEH 中，HE=BHcos30，则 所以直线 EF 经过点 B 时所需的时间 秒过点 D 作 DMBC 于点 M在 RTDMC中，CM= 在 RTDHC 中，CD=CHcos60=2 当 0t1 时，重叠部分面积为四边形 DGCH，如图 2，CC=t，CG=CCtan60= t当 1t4 时，重叠部分的面积为 GCH，如图 3，所以重叠部分的面积S= CGCH= （4t） （4t）= t2 t+ 【点评】本题是三角函数与图形的旋转相结合的题目，注意旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变得到相等关系是解决本题的关键
