1、课题 16 利用二次函数解决实际问题A 组 基础题组一、选择题1.(2018 邢台模拟)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m,水面宽 4 m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )A.y=-2x2 B.y=2x2C.y=-0.5x2 D.y=0.5x22.(2017 沧州模拟)治理环境污染刻不容缓,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为 100 m,则池底的最大面积是( )A.600 m2 B.625 m2 C.650 m2 D.675 m23.(2018 保定一模)某品牌钢笔进价 8 元,按 10 元
2、1 支出售时每天能卖出 20 支,市场调查发现如果每支每涨价 1 元,每天就少卖出 2 支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( )A.4 元 B.12 元 C.13 元 D.14 元4.(2018 北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看做是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)近似满足函数关系 y=ax2+bx+c(a0).如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m二、填空
3、题5.(2017 唐山古冶一模)烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h=- t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处52引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 s. 6.(2018 贺州中考)某种商品每件进价为 20 元,调查表明:在某段时间内若以每件 x 元(20x30,且 x 为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 元. 7.(2016 保定模拟)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下
4、表:温度 t/ -4 -2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想,推测出 l 与 t 之间是二次函数关系,由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 . 8.将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各围成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2. 9.(2018 武汉中考)飞机着陆后滑行的距离 y(单位:m)关于滑行时间 t(单位:s)的函数解析式是 y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后 4 s 滑行的距离是 m. 32三、解答题10.(2018 盘锦中考)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为 60 元,每星期可卖
5、 100 件,为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价 1 元,每星期可多卖 10 件.已知该款童装每件成本 30 元.设该款童装每件售价 x 元,每星期的销售量为 y 件.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不求自变量的取值范围);(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少?(3)当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得 3 910 元的利润?若该店每星期想要获得不低于 3 910 元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件?B 组 提升题组一、选择题1.(2017 廊坊模拟)如图,用长 10 m 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框(包括窗棱
6、 CD),若使此窗户的透光面积最大,则最大透光面积为( )A.50 m 2 B. m2504+C. m2D. m2508+ 5016+2.(2016 唐山模拟)军事演习时发射一颗炮弹,经 x s 后炮弹的高度为 y m,且时间 x(s)与高度 y(m)之间的函数关系式为 y=ax2+bx(a0),若炮弹在第 8 秒与第 14 秒时的高度相等,则在下列哪一个时间炮弹的高度是最高的( )A.第 9 秒 B.第 11 秒C.第 13 秒 D.第 15 秒二、填空题3.(2018 沈阳中考)如图,一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着,并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF分开.已知篱笆的总长为 900
7、m(篱笆的厚度忽略不计),当 AB= m 时,矩形土地 ABCD的面积最大. 4.(2018 秦皇岛模拟)小迪同学以二次函数 y=2x2+8 的图象为灵感设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若 AB=4,DE=3,则杯子的高 CE 为 . 三、解答题5.旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数.发现每天的运营规律如下:当 x 不超过 100元时,观光车能全部租出;当 x 超过 100 元时,每辆车的日租金每增加 5 元,租出去的观光车就会减少 1 辆.已知所有观光车每天的管理费是 1 100 元.(1)
8、优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?6.(2018 秦皇岛模拟)投资 1 万元围一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造.墙长 24 m,平行于墙的边的费用为 200 元/m,垂直于墙的边的费用为 150 元/m,设平行于墙的边长为 x m.(1)设垂直于墙的一边长为 y m,直接写出 y 与 x 之间的函数关系式;(2)若菜园面积为 384 m2,求 x 的值;(3)求菜园的最大面积.答案精解精析A 组 基础题组一、选择题1.C 根据题意,设
9、抛物线解析式为 y=ax2,且抛物线过(2,-2)点,故-2=a2 2,解得 a=-0.5,抛物线解析式为 y=-0.5x2.故选 C.2.B 3.D 设利润为 w,由题意得,每天利润为 w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40=-2(x-4)2+72.当涨价 4 元(即售价为 14 元)时,每天利润最大,最大利润为 72 元.故选 D.4.B 根据题意知,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点(0,54.0),(40,46.2),(20,57.9),则 =54.0,1 600+40+=46.2,400+20+=57.9,解得 =-0.019 5,=0.585,=54.0, x
10、=- =- =15(m).故选 B.2 0.5852(-0.019 5)二、填空题5. 答案 4解析 h=- t2+20t+1=- (t-4)2+41,当 t=4 秒时,礼炮达到最高点引爆 .52 526. 答案 25解析 设利润为 w 元,则 w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25,20x30,当 x=25 时,二次函数有最大值 25,故答案是 25.7. 答案 -1解析 由函数的对应值(-2,49),(0,49)可知抛物线的对称轴为直线 t=-1,故最适合这种植物生长的温度为-1 .8. 答案 12.5解析 设铁丝的长度为 x cm,则另一段长度为(20-x)cm, 设两个正
11、方形面积之和为 S cm2,则 S= + = x2+ (20-x)2= (x-10)2+12.5,当 x=10 时,S 最小,S 最小值 =12.5.(14)2(20-4 )2116116 189. 答案 216解析 根据抛物线的对称性可知,飞机在开始 4 秒和最后 4 秒的滑行的距离相等.当 t=4 时,飞机滑行的距离为 y=604- 42=240-24=216 (m),故答案为 216.32三、解答题10. 解析 (1)y=100+10(60-x)=-10x+700.(2)设每星期利润为 W 元,则 W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4 000.x=50 时,W
12、最大值 =4 000.每件售价定为 50 元时,每星期的销售利润最大,最大利润 4 000 元.(3)由题意:-10(x-50) 2+4 000=3 910解得:x=53 或 47,当每件童装售价定为 53 元或 47 元时,该店一星期可获得 3 910 元的利润.由题意,得-10(x-50) 2+4 0003 910,解得 47x53.y=100+10(60-x)=-10x+700.170y230,每星期至少要销售该款童装 170 件.B 组 提升题组一、选择题1.C 设半圆的半径为 x m,则 CD=2x m,AD= .10-(4+)2半圆面积为 x 2 m2,矩形面积为 ABBC=-(4
13、+)x 2+10xm2,12可设总透光面积为 y m2,则 y= x2+10x-(4+)x 22=- x2+10x,(4+2)最大值为 = ,-1024-(4+2) 508+最大透光面积为 m2.508+2.B x 取 8 和 14 时 y 的值相等,抛物线 y=ax2+bx(a0)的对称轴为直线 x=8+ =11,易14-82知此抛物线开口向下,顶点为其最高点,故炮弹达到最大高度时的时间是第 11 秒.二、填空题3. 答案 150解析 (1)设 AB=x m,则 BC= (900-3x),由题意可得 S=ABBC=x (900-3x)=- (x2-300x)12 12 32=- (x-150
14、)2+33 750,当 x=150 时,S 取得最大值,此时 S=33 750,AB=150 m.324. 答案 11解析 由题意可得:D 点坐标为(0,8).AB=4,B 点的横坐标为 2,故 x=2 时,y=24+8=16,即 B(2,16).CD=16-8=8,CE=CD+DE=3+8=11.三、解答题5. 解析 (1)由题意知,若观光车能全部租出,则 00,解得 x22,x 是 5 的倍数,每辆车的日租金至少应为 25 元.(2)设每天的净收入为 y 元,当 0100 时,y 2= x-1 100=- x2+70x-1 100=- (x-175)2+5 025.(50-1005 ) 1
15、5 15当 x=175 时,y 2的值最大,最大值为 5 025.5 0253 900,当每辆车的日租金为 175 元时,每天的净收入最多.6. 解析 (1)根据题意,得,y= =- x+ .10 000-200215023 1003墙的长度为 24 m, ,解得 00-23+1003024 y 与 x 之间的函数关系式为 y=- x+ ,x 的取值范围为 0x24.23 1003(2)根据矩形面积公式,得x=384,(-23+1003)解得:x=18 或 x=32(不合题意,舍去).x 的值为 18.(3)设菜园的面积是 S,则S= x=- x2+ x(-23+1003) 23 1003=- (x-25)2+ ,23 1 2503- 0,23当 x25 时,S 随 x 的增大而增大,0x24,当 x=24 时,S 取得最大值,最大值为- (24-25)2+ =416.23 1 2503答:菜园的最大面积为 416 m2.
