1、课题33 与圆有关的位置关系,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 点和圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种,分别是 点在圆外 , 点在圆上 和 点在圆内 . 如图,设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 (1)点在圆外 dr ,如点A; (2)点在圆上d=r,如点 B ; (3)点在 圆内 dr,如点 C .,基础知识梳理,考点二 直线与圆的位置关系 设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线l与O 的位置关系如表所 示:,1.切线的概念和性质 (1)切线的定义:直线和圆只有 一个 公共点时,这条直线叫圆的切线,这 个公共点叫做切点. (2)切线的性质:圆的切
2、线 垂直 于过切点的半径. 其中,“过切点的半径”也可理解为过切点的直径或过切点和圆心的直线.,考点三 切线的性质和判定,2.切线的判定 判定切线有以下三种方法: (1)经过半径外端并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线. (2)到圆心的距离 等于 半径的直线是圆的切线. (3)和圆只有 一个 公共点的直线是圆的切线.,考点四 切线长定理及三角形的外接圆、内切圆 1.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角.,2.三角形的外接圆:三角形的三个顶点在同一个圆上,这个圆叫做三角形的外 接圆,外接圆的圆心是三角形三边 垂直平分线 的交点,叫做三角形的外
3、心.不在同一条直线上的三点确定一个圆.,3.三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的 圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的 内心 .,题型一 考查点与圆的位置关系 该题型主要考查点与圆的位置关系,主要内容有:根据点到圆心的距离与半径 之间的关系判断点与圆的位置关系,或根据点与圆的位置关系进行线段的计 算等.,中考题型突破,典例1 (2018泰安中考)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M 上的任意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关 于原点O对称,则AB的最小值为 ( C )A.3 B.4 C.6 D.8,答案
4、C 连接OP,PAPB,APB=90. AO=BO,AB=2PO. 若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值. 连接OM,交M于点P,当点P位于P位置时,OP取得最小值,如图所示.,过点M作MQx轴于点Q,则OQ=3,MQ=4. 根据勾股定理,得OM=5. 又MP=2,OP=3. AB=2OP=6.,名师点拨 本题主要考查点与圆的位置关系,其关键是找到能使AB最小时 点P的位置,为此需利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行 线段的转化,即根据“两点之间,线段最短”求PO的最小值,即可得到AB的最 小值.,变式训练1 (2018沧州模拟)在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置 如
5、图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心,OA为半 径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为 ( A ),A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F,答案 A 设图中小正方形的边长为1,则OA= = . 观察可知,OE=OF=2 ,点H在O外,则树H不需要被移除.,题型二 考查直线与圆的位置关系 该题型主要考查直线与圆的位置关系,它是圆的重点内容,主要包括:根据圆 心到直线的距离与半径之间的关系,判断直线与圆的位置关系,利用切线的性 质计算或证明,根据切线的判定定理判定一条直线是不是圆的切线等.,典例2 (2018宜宾中考)
6、如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线 上一点,且BC=CD,CEAD于点E. (1)求证:直线EC为圆O的切线; (2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知PCF=CBF,PC=5, PF=4,求sinPEF的值.,答案 (1)证明:CEAD于点E,DEC=90. BC=CD, C是BD的中点. 又O是AB的中点,OC是BDA的中位线. OCAD. OCE=CED=90. OCCE. 又点C在圆上,CE是圆O的切线. (2)连接AC,如图所示.,AB是直径,点F在圆上,AFB=PFE=90=CEA. EPF=EPA, PEFPAE. PE2=PFPA.,CB
7、F=PCF=CAF,CPF=CPA, PCFPAC. PC2=PFPA. PE=PC. 在RtPEF中,sinPEF= = .,名师点拨 在证明一条与圆有公共点的直线是圆的切线时,作出过该公共点 的半径,然后证明这条半径与直线垂直,这种证明方法可简记为“作半径、证 垂直、得切线”.,变式训练2 (2017河北中考)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与 点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧 于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP. (1)求证:AP=BQ; (2)当BQ=4 时,求优弧 的长(结果保留); (3)若APO的外心在
8、扇形COD的内部,求OC的取值范围.,答案 (1)证明:连接OQ. AP,BQ分别与优弧 相切,OPAP,OQBQ,即APO=BQO=90. 又OA=OB,OP=OQ, RtAPORtBQO. AP=BQ. (2)BQ=4 ,OB= AB=8,BQO=90, sinBOQ= .BOQ=60. OQ=8cos 60=4,优弧 的长为 = .,(3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中心, OM=4. 当点M在扇形COD的内部时,OMOC,4OC3, 点P在ABC的外部,如图.,PD=R-AD= -3= . SABC= 83= (5+5+8)r,r=QD= , PQ=PD+QD= + = .
9、故P,Q两点之间的距离为 .,易错一 盲目套用“d=r直线与圆相切”而导致错解,易混易错突破,典例1 (2018唐山模拟)如果直线l上一点M与圆O的圆心的距离等于圆O的 半径,那么这条直线与圆O的位置关系是 ( C ) A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.以上都不正确,易错警示 在判断直线与圆的位置关系时,不要一看到距离,就把这个距离误 认为是d,因为直线上一点与一个圆的圆心的距离不一定是圆心到直线的距 离,圆心到直线的距离应小于或等于这个距离.,解析 设圆的半径为r,过点O作OPl,垂足为P,当点P与点M重合时,点O到直 线l的距离等于r,则直线l与O相切;当点P与点M不重合时,点O到直
10、线l的距 离小于r,则直线l与O相交. 综上所述,直线l与O相切或相交. 答案 C,典例2 (2017衡水模拟)如图所示,OA、OB是O的两条半径,下列有关O 的切线的判定:经过点A的直线是O的切线;垂直于OA的直线是O的 切线;经过点A且垂直于OB的直线是O的切线;经过点A且垂直于OA的 直线是O的切线.其中,正确的有 ( B )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,易错二 对切线的判定定理不理解而导致错解,易错警示 本题的易错之处是对切线的判定定理不理解,因此不能做出正确 的判断,应注意圆的切线需要同时具备两个条件:第一,过切点;第二,与过切点 的半径垂直.,解析 因为经过A点的直线有无
11、数条,而经过A点的切线只有一条,所以不 正确;因为垂直于OA的直线有无数条,只有经过点A且垂直于OA的直线才是 O的切线,所以不正确;因为半径OB不经过点A,所以不正确;根据切线 的判定定理可知正确,故选B. 答案 B,易错三 考虑问题不全面而出现丢解等错误 典例3 (2017廊坊模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的P的圆心 坐标为(-3,0),将P沿x轴正方向平移,使P与y轴相切,则平移的距离为 ( B )A.1 B.1或5 C.3 D.5,易错警示 本题的易错之处是考虑问题不全面,只考虑到圆在y轴左侧时与y 轴相切,而忽略了圆在y轴右侧时与y轴相切的情况,因而出现选A的错误.解
12、析 当P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当P位于y轴 的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.故选B. 答案 B,1.若O的面积是25 cm2,点A到点O的距离为4 cm,那么点A与O的位置关 系是 ( C ) A.点A在O外 B.点A在O上 C.点A在O内 D.点A不在O内,随堂巩固检测,2.如图,AB是O的弦,BC与O相切于点B,连接OA,OB,若ABC=65,则 A等于 ( B )A.20 B.25 C.35 D.75,3.如图所示,AOB=30,P为OA上一点,且OP=5 cm,若以P为圆心,r为半径的 圆与OB相切,则半径r为 ( C )A.5 cm B. cm C. c
13、m D. cm,4.(2018眉山中考)如图所示,AB是O的直径,PA切O于点A,线段PO交O 于点C,连接BC,若P=36,则B等于 ( A )A.27 B.32 C.36 D.54,5.如图,PA、PB是O的切线,切点分别为A、B,点C是O上不与点A、B重 合的任意一点,如果P=40,那么ACB的度数是 ( D )A.140 B.110 C.70 D.70或110,6.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆的半径分别为2 cm和3 cm,OM直线 m于点M,设OM=d,当m与两个同心圆均无公共点时,d的取值范围是 d3 cm ;当m与两个同心圆只有2个公共点时,d的取值范围是 2 cmd3 cm ;当m 与两个同心圆有4个公共点时,d的取值范围是 0 cmd6),则OG=r-6. 在RtAOG中,AO2=OG2+AG2, r2=(r-6)2+82,解得r= , 即O的半径为 .,
