1、第三章 函 数第六节 二次函数的应用姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟1(2018衡阳中考)如图，已知直线 y2x4 分别交 x轴、y 轴于点A，B，抛物线经过 A，B 两点，点 P是线段 AB上一动点，过点 P作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D.(1)若抛物线的表达式为 y2x 22x4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB于点N.求点 M，N 的坐标；是否存在点 P，使四边形 MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点 P的横坐标为 1时，是否存在这样的抛物线，使得以 B，P，D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由2(2018衢州中考)某游
2、乐园有一个直径为 16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3米处达到最高，高度为 5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为 x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后
3、喷水池水柱的最大高度3(2018黄冈中考)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量 y(万件)与月份 x(月)的关系为 y每件产品的利润 z(元)与月份 x(月)x 4（ 1 x 8， x为 整 数 ） ， x 20（ 9 x 12， x为 整 数 ） ， )的关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10(1)请你根据表格求出每件产品利润 z(元)与月份 x(月)的关系式；(2)若月利润 w(万元)当月销售量 y(万件)当月每件产品的利润 z(元)，求月利润 w(万元)与月份
4、 x(月)的关系式；(3)当 x为何值时，月利润 w有最大值，最大值为多少？4(2018随州中考)如图 1，抛物线 C1：yax 22axc(a0)与 x轴交于A，B 两点，与 y轴交于点 C.已知点 A的坐标为(1，0)，点 O为坐标原点，OC3OA，抛物线 C1的顶点为 G.(1)求出抛物线 C1的表达式，并写出点 G的坐标；(2)如图 2，将抛物线 C1向下平移 k(k0)个单位，得到抛物线 C2，设 C2与 x轴的交点为 A，B，顶点为 G，当ABG是等边三角形时，求 k的值；(3)在(2)的条件下，如图 3，设点 M为 x轴正半轴上一动点，过点 M作 x轴的垂线分别交抛物线 C1，C
5、 2于 P，Q 两点，试探究在直线 y1 上是否存在点N，使得以 P，Q，N 为顶点的三角形与AOQ 全等，若存在，直接写出点 M，N的坐标：若不存在，请说明理由5(2018枣庄中考)如图 1，已知二次函数 yax 2 xc(a0)的图象与 y32轴交于点 A(0，4)，与 x轴交于点 B，C，点 C坐标为(8，0)，连接 AB，AC.(1)请直接写出二次函数 yax 2 xc 的表达式；32(2)判断ABC 的形状，并说明理由；(3)若点 N在 x轴上运动，当以点 A，N，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 N的坐标；(4)如图 2，若点 N在线段 BC上运动(不与点 B，C 重
6、合)，过点 N作 NMAC，交 AB于点 M，当AMN 面积最大时，求此时点 N的坐标图 1图 2参考答案1解：(1)如图，y2x 22x42(x )2 ，12 92顶点 M的坐标为( ， )12 92当 x 时，y2 43，12 12则点 N的坐标为( ，3)12不存在理由如下：MN 3 .92 32假设存在点 P，设 P点坐标为(m，2m4)，则 D(m，2m 22m4)，PD2m 22m4(2m4)2m 24m.PDMN，当 PDMN 时，四边形 MNPD为平行四边形，即2m 24m ，解得 m1 (舍去)，m 2 ，32 12 32此时 P点坐标为( ，1)32PN ，（ 12 32）
7、 2 （ 3 1） 2 5PNMN，平行四边形 MNPD不为菱形，不存在点 P，使四边形 MNPD为菱形(2)存在如图，OB4，OA2，则 AB 2 .22 42 5当 x1 时，y2x42，则 P(1，2)，PB .12 （ 2 4） 2 5设抛物线的表达式为 yax 2bx4，把 A(2，0)代入得 4a2b40，解得 b2a2，抛物线的表达式为 yax 22(a1)x4.当 x1 时，yax 22(a1)x4a2a242a，则 D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA，当 时，PDBBOA，即 ，PDBO PBBA a4 52 5解得 a2，此时抛物线的表达式为 y2x 22
8、x4.当 时，PDBBAO，即 ，PDBA PBBO a2 5 54解得 a ，52此时抛物线的表达式为 y x23x4.52综上所述，满足条件的抛物线的表达式为 y2x 22x4 或y x23x4.522解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 ya(x3)25(a0)，将(8，0)代入 ya(x3) 25，解得 a ，15水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y (x3) 25(0x8)15(2)当 y1.8 时，有 (x3) 251.8，15解得 x11(舍去)，x 27，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心 7米以内(3)当 x0 时，y (
9、x3) 25 .15 165设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y x2bx .15 165该函数图象过点(16，0)，0 16216b ，解得 b3，15 165改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y x23x (x )2 ，15 165 15 152 28920扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米289203解：(1)根据表格可知当 1x10(x 为整数)时，zx20，当 11x12(x 为整数)时，z10，z 与 x的关系式为z x 20（ 1 x 10， x为 整 数 ） ，10（ 11 x 12， x为 整 数 ） . )(2)当 1x8 时，w(x2
10、0)(x4)x 216x80；当 9x10 时，w(x20)(x20)x 240x400；当 11x12 时，w10(x20)10x200，w 与 x的关系式为w x2 16x 80（ 1 x 8， x为 整 数 ） ，x2 40x 400（ 9 x 10， x为 整 数 ） ， 10x 200（ 11 x 12， x为 整 数 ） .)(3)当 1x8 时，wx 216x80(x8) 2144，x8 时，w 有最大值为 144万元；当 9x10 时，wx 240x400(x20) 2，w随 x的增大而减小，x9 时，w 有最大值为 121万元； 当 11x12 时，w10x200，w随 x的
11、增大而减小，x11 时，w 有最大值为 90万元90121144，x8 时，w 有最大值为 144万元4解：(1)点 A的坐标为(1，0)，OA1.OC3OA，点 C的坐标为(0，3)将 A，C 点坐标代入 yax 22axc 得解得a 2a c 0，c 3， ) a 1，c 3， )抛物线 C1的表达式为 yx 22x3(x1) 24，点 G的坐标为(1，4)(2)设抛物线 C2的表达式为 yx 22x3k，即 y(x1) 24k.如图，过点 G作 GDx 轴于点 D，设 BDm.ABG为等边三角形，GD BD m，3 3则点 B的坐标为(m1，0)，点 G的坐标为(1， m)3将点 B，G
12、的坐标代入 y(x1) 24k 得 m2 4 k 0，4 k 3m， )解得 (舍去)或m1 0，k1 4) m2 3，k2 1， )k1.(3)存在M 1( ，0)，N 1( ，1)；M 2( ，0)，N 2(1，1)；1 132 13 1 132M3(4，0)，N 3(10，1)；M 4(4，0)，N 4(2，1)5解：(1)y x2 x4.14 32提示：二次函数 yax 2 xc 的图象与 y轴交于点 A(0，4)，与 x轴交于32点 B，C，点 C坐标为(8，0)， 解得c 4，64a 12 c 0， ) a 14，c 4， )抛物线的表达式为 y x2 x4.14 32(2)ABC
13、 是直角三角形理由如下：令 y0，则 x2 x40，14 32解得 x18，x 22，点 B的坐标为(2，0)在 RtABO 中，AB 2BO 2AO 22 24 220，在 RtAOC 中，AC 2AO 2CO 24 28 280.又BCOBOC2810，在ABC 中，AB 2AC 2208010 2BC 2，ABC 是直角三角形(3)A(0，4)，C(8，0)，AC 4 .42 82 5以 A为圆心，以 AC长为半径作圆，交 x轴于点 N，此时 N的坐标为(8，0)；以 C为圆心，以 AC长为半径作圆，交 x轴于点 N，此时 N的坐标为(84 ，0)或(84 ，0)；5 5作 AC的垂直平
14、分线，交 x轴于点 N，此时 N的坐标为(3，0)综上所述，若点 N在 x轴上运动，当以点 A，N，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N的坐标分别为(8，0)，(84 ，0)，(84 ，0)，(3，0)5 5(4)设点 N的坐标为(n，0)，则 BNn2.如图，过点 M作 MDx 轴于点 D，MDOA，BMDBAO， .BMBA MDOAMNAC， ， .BMBA BNBC MDOA BNBCOA4，BC10，BNn2，MD (n2)25S AMN S ABN S BMN BNOA BNMD12 12 (n2)4 (n2) 212 12 25 (n3) 25，15当 n3 时，S AMN 最大，当AMN 面积最大时，N 点坐标为(3，0)
