1、第 2 课时 垂径定理知识点 1 垂径定理1.如图 27129，在O 中， OCAB ，连结 AC，BC，由垂径定理可得AE _， _ ，则 AC_，AOC _.AC 图 271292如图 27130，O 的半径为 13，弦 AB 的长是 24，ONAB，垂足为 N，则ON 等于 ( )图 27130A5 B7 C9 D113如图 27131，已知O 的直径 AB弦 CD 于点 E，则下列结论中一定正确的是( )图 27131AAEOE BCEDEC. DAOCDAC BC 4如图 27132，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点求证：ACBD.图 27132知识点
2、 2 垂径定理的推论5下列说法正确的是( )A垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B平分弦的直径垂直于弦C垂直于直径的弦平分这条直径D弦的垂直平分线经过圆心6如图 27133，O 的弦 AB8，M 是 AB 的中点，且 OM3，则O 的半径等于( )图 27133A8 B4C10 D57如图 27134，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是 的中点，AC OE 交弦 AC 于点 D.若 AC8 cm，DE 2 cm，求 OD 的长图 27134知识点 3 垂径定理的应用8一条排水管的截面如图 27135 所示，已知排水管的半径 OB10，水面宽AB 16，则截面圆心 O 到水面
3、的距离 OC 是( )图 27135A4 B5 C6 D639某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图 27136 所示的数据，水面宽度 AB60 cm，水面到管顶的距离为 10 cm，那么修理工人应准备内径为_cm 的管道图 27136102017古冶区期中如图 27137，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 AB60 米，拱高 PD18 米(1)求圆弧所在的圆的半径；(2)若拱顶离水面只有 4 米，即 PE4 米时，求水面的跨度 AB.图 2713711如图 27138，在等边三角形 ABC 中，AB，AC 都是O 的弦，OMAB，ON AC ，垂足分别为 M，
4、N，如果 MN1，那么ABC 的周长为( )图 27138A3 B4C5 D6122016绍兴如图 27139 ，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为 A，B，AB40 cm，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为 10 cm，则该脸盆的半径为_cm.图 2713913.一条排水管的截面如图 27140 所示，已知排水管的半径 OA1 m，水面宽AB 1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2 m，则此时排水管水面宽 CD 等于_m.图 2714014如图 27141，四边形 ABDC 的四个顶点均在O 上，AB 是O 的直径，ODBC 于点 E.(
5、1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若 BE4，AC6，求 DE 的长图 2714115如图 27142，已知O 的半径 OD 垂直于弦 AB，交 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，若 AB8，CD2，试求BCE 的面积. 图 2714216某风景区内有一座圆弧形拱桥，桥下水面的宽度为 7.2 米，拱桥最高处离水面 2.4米，现有一艘宽 3 米、顶部为长方形并高出水面 1.8 米的船要经过这里，请通过计算说明这艘船是否可以从桥下顺利通过详解详析1BE BC BOCBC 2A 3.B4证明：过点 O 作 OHAB 于点 H，如图，则 AHBH，CHDH，AHCHBHDH，即
6、ACBD.5D 解析 A 选项中没有说直线过圆心，故得不到这条直线平分弦所对的两条弧；B 选项中被平分的弦必须不是直径；C 选项中垂直于直径的弦可能平分直径也可能不平分直径；D 选项正确故选 D.6D 解析 如图，连结 OA.M 是 AB 的中点，OMAB ，且 AM AB 4.12在 RtOAM 中，由勾股定理可求得 OA5.故选 D.7解：E 为 的中点，AC OEAC，AD AC4 cm.12在 RtOAD 中，OA 2OD 2AD 2，即 OA2(OEDE) 2AD 2，又知 OAOE ，解得 OE5(cm) ，ODOE DE 3 cm.8D 解析 OCAB，OC 过圆心 O，BCAC
7、 AB 168.在 RtOCB12 12中，由勾股定理，得 OC 6.故选 D.OB2 BC2 102 829100 解析 过点 O 作 ODAB 于点 D，如图所示设半径为 R，则有AO2DO 2AD 2，即 R2(R 10) 230 2，解得 R50.故修理工人应准备内径为502100(cm )的管道故答案为：100.10解析 (1)连结 OA，设圆弧所在的圆的半径为 r 米，利用 r 表示出 OD 的长，在Rt ADO 中根据勾股定理求出 r 的值即可；(2)连结 OA，在 RtAEO 中，由勾股定理得出 AE 的长，进而可得出 AB的长解：(1)连结 OA，设圆弧所在的圆的半径为 r
8、米由题意得 AD AB30 米，OD(r18) 米12在 RtADO 中，由勾股定理得 r230 2(r18) 2，解得 r34.故圆弧所在的圆的半径为 34 米(2)连结 OA，OEOPPE 30 米，在 RtAEO 中，由勾股定理得 AE2OA 2OE 2，即 AE234 230 2，解得 AE16(米)，AB32 米11D 解析 OM AB，ONAC，M ，N 分别是 AB，AC 的中点，MN 是等边三角形 ABC 的中位线MN 1，ABACBC 2MN2，ABC 的周长为236.故选 D.1225131.6 解析 连结 OD，OB，过点 O 作 OEAB，垂足为 E，与 CD 交于点
9、F.由题意，易知 OB1 m，EB0.6 m，根据勾股定理得 OE0.8 m，因为 EF0.2 m，则 OF0.6 m在 RtODF 中，OF 0.6 m，OD1 m，得 FD0.8 m，因此 CD1.6 m故答案为 1.6.14解：(1)不同类型的正确结论有 BE BC， ，BED90，BDCD，12 BD CD BOD 是等腰三角形，BDE CDE，OB 2OE 2BE 2 等( 答案不唯一，任意写出四个即可)(2)AB 是O 的直径，OAOB.ODBC 于点 E，BECE，OE 为ABC 的中位线，OE AC 63.12 12在 RtOBE 中，由勾股定理，得OB 5，OE2 BE2 3
10、2 42ODOB5，DEOD OE532.15解：设 OCx，则 OAODx2.ODAB 于点 C，AC BC AB4.12在 RtOAC 中，OC 2AC 2OA 2，即 x24 2(x2) 2，解得 x3，即 OC3.OC 为ABE 的中位线，BE2OC6，BEOC，BEAB，即B90 ，S BCE BCBE 4612.12 1216.解：如图， 为桥拱，EF 为船宽，设 AB，EF 的中点为 D，弧的最高点为 C，连AB 结 CD，过点 E 作 EGAB，交 于点 G，过点 F 作 FHAB，交 于点 H，连结 GHAB AB 交 CD 于点 P，则 GHEF3 米设 所在圆的半径为 r 米，圆心为 O，连结 OD，则AB O，D，C 在一条直线上，OD (r2.4)米，AD3.6 米，连结 OA，OH，由勾股定理可得OA2AD 2OD 2，即 r23.6 2(r 2.4) 2，解得 r3.9.在 RtOHP 中，有OH2PH 2OP 2，即 OP 3.6( 米)，所以 FHDPOPOD3.6(3.9 2.4)3.92 1.522.1(米 )1.8 米，所以这艘船可以从桥下顺利通过
