1、第 23 讲 与圆有关的计算A 组 基础题组一、选择题1.(2017 广东广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形,若圆锥的底面圆半径是 ,则圆锥的母线长为 ( )5A. B.2 C.3 D.55 5 52.(2018 浙江衢州)如图,AB 是圆锥的母线,BC 为底面半径,已知 BC=6 cm,圆锥的侧面积为 15 cm 2,则 sinABC 的值为( )A. B. C. D.34 35 45 533.(2017 临沂)如图,AB 是O 的直径,BT 是O 的切线,若ATB=45,AB=2,则阴影部分的面积是( )A.2 B. - 3214C.1 D. + 12144.(201
2、7 甘肃兰州)如图,正方形 ABCD 内接于半径为 2 的O,则图中阴影部分的面积为( )A.+1 B.+2C.-1 D.-25.(2018 四川绵阳)蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为 25 m 2,圆柱高为 3 m,圆锥高为 2 m 的蒙古包,则需要毛毡的面积是 ( )A.(30+5 ) m 229B.40 m 2C.(30+5 ) m 221D.55 m 26.(2018 东营)如图所示,圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是( )A.3 B.31+ 2C. D.334+22
3、1+27.如图,AB 为半圆的直径,且 AB=4,半圆绕点 B 顺时针旋转 45,点A 旋转到 A的位置,则图中阴影部分的面积为( )A. B.2C.3 D.4二、填空题8.一块等边三角形的木板边长为 1,将木板沿水平翻滚如图所示,那么 B 点从开始到结束所经过的路线长为 . 9.(2017 湖南永州)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为 12 cm 的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是 cm 2(结果保留 ). 10.(2018 甘肃兰州)如图,ABC 的外接圆圆 O 的半径为3,ACB=55,则劣弧 的长是 .( 结果保留 ) 11.(201
4、7 烟台)如图 1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB.已知 OA=6,取 OA 的中点 C,过点 C 作 CDOA 交于点 D,点 F 是 上一点.若将扇形 BOD 沿 OD 翻折,点 B 恰好与点 F 重合,用剪刀沿着线段 BD,DF,FA 依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 . 三、解答题12.(2018 湖南衡阳)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,BAC的平分线交O 于点 D,过点 D 作 DEAC 分别交 AC、AB 的延长线于点 E、F.(1)求证:EF 是O 的切线;(2)若 AC=4,CE=2,求 的长.(结果保留 )B
5、组 提升题组一、选择题1.若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )A.90 B.120 C.150 D.1802.(2018 山西)如图,正方形 ABCD 内接于O,O 的半径为 2,以点 A为圆心,AC 长为半径画弧交 AB、AD 的延长线于点 E、F,则图中阴影部分的面积为( )A.4-4 B.4-8C.8-4 D.8-8二、填空题3.(2018 广东)如图,矩形 ABCD 中,BC=4,CD=2,以 AD 为直径的半圆 O与 BC 相切于 E,连接 BD,则阴影部分的面积为 .(结果保留) 4.(2017 盘锦)如图,O 的半径 OA=3,OA
6、 的垂直平分线交O 于 B,C两点,连接 OB,OC,用小扇形 OBC 围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 . 5.(2017 德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆 O的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G 为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1 m,根据设计要求,若EOF=45,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为 . 6.(2017 江苏无锡)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆
7、O1和半圆 O2,一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F,且 EF=2(EF 与 AB 在圆 O1和 O2的同侧),则由 ,EF, ,AB 所围成图形(图中阴影部分)的面积 等于 . 三、解答题7.已知,圆锥底面半径为 10 cm,高为 10 cm.15(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点 A 出发绕圆锥一周回到 SA 上一点 M 处,且 SM=3AM,求它所走的最短距离.第 23 讲 与圆有关的计算A 组 基础题组一、选择题1.C 圆锥的侧面展开图是扇形,且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径长等于圆锥的母线长,即 =2 ,解得 l=3 .故120
8、180 5 5选 C.2.C 设圆锥的母线长为 R cm,由题意得15=3R,解得 R=5.即 AB=5 cm,又 BO= BC=3 cm,12AO=4 cm,sinABC= = ,45故选 C.3.C 设 AT 交O 于 D,连接 BD.AB 是O 的直径,ADB=90,而ATB=45,BT 是O 的切线,ADB,BDT 都是等腰直角三角形,AD=BD=TD= AB= ,22 2弓形 AD 的面积等于弓形 BD 的面积,阴影部分的面积=S BTD = =1.故选 C.12 2 24.D 连接 AC,OD,则 AC=4,正方形 ABCD 的边长为 2 ,正方形2ABCD 的面积为 8.由题意可
9、知,O 的面积为 4.根据图形的对称性,知 S 阴影 = -SOAD =-2.故选 D.扇形 5.A 圆柱和圆锥的底面积为 25 m 2,圆柱和圆锥的底面半径为 5 m.圆锥的高为 2 m,圆锥的母线长为 m,29毛毡的面积=圆柱的侧面积+圆锥的侧面积=253+5 29=30+5 29=(30+5 )(m 2),故选 A.296.C 圆柱的侧面展开图如下,由题意可知 AB=3,BB=3,AC= = = = .故选 C.2+2 32+(32)2 9+92434+227.B 根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形 ABA的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即 S 阴影 =S 扇形 ABA+S 半圆 -
10、S 半圆 =S 扇形 ABA=2.故选 B.4542360二、填空题8.答案 43解析 ABC 是等边三角形,ACB=BAC=60,两次旋转的角度都是 180-60=120,B 点从开始到结束所经过的路线长=2 = .1201180439.答案 65解析 PB= =13(cm).做这个玩具所需纸板的面积等于展(102)2+122开后扇形的面积,S= 1013=65.1210.答案 116解析 根据圆周角定理可得AOB=2ACB,ACB=55,AOB=110,所以劣弧 的长为 = . 110318011611.答案 36-108解析 如图,CDOA,DCO=AOB=90,OA=OD=OB=6,O
11、C= OA= OD,12 12ODC=BOD=30.作 DEOB 于点 E,则 DE= OD=3,12S 弓形 BD=S 扇形 BOD-SBOD = - 63=3-9,306236012则剪下的纸片面积之和为 43(3-9)=36-108.三、解答题12.解析 (1)证明:如图,连接 OD,交 BC 于点 P,OA=OD,OAD=ODA,AD 平分EAF,DAE=OAD,DAE=ODA,ODAE,AEEF,易知 OD 为O 的半径,ODEF,易知 OD 为O 的半径,EF 是O 的切线.(2)AB 是O 的直径,ACB=90,又E=PDE=90,四边形 CEDP 是矩形,PD=CE=2.又OD
12、AE,点 O 是 AB 的中点,OP 是ACB 的中位线,OP= AC= 4=2,12 12OD=OB=2+2=4.在 RtOPB 中,OP=2,OB=4,POB=60, 的长= = . 60418043B 组 提升题组一、选择题1.D 设正圆锥的底面半径是 r,则母线长是 2r,底面周长是 2r.设正圆锥的侧面展开图的圆心角是 n,则 =2r,解得 n=180.2180故选 D.2.A 四边形 ABCD 为正方形,BAD=90,因为圆和正方形是中心对称图形,S 阴影 =S 扇形 AEF-SABD = - = - =4-4,故选 A.90423602 9042360242二、填空题3.答案 解
13、析 连接 OE.阴影部分的面积=S BCD -(S 正方形 OECD-S 扇形 OED)= 24-12=.(22-1422)4.答案 2 2解析 连接 AB,AC.BC 为 OA 的垂直平分线,OB=AB,OC=AC,OB=AB=OA,OC=OA=AC,OAB 和AOC 都是等边三角形,BOA=AOC=60,BOC=120,设圆锥的底面半径为 r,则 2r= ,1203180解得 r=1,这个圆锥的高为 =2 .32-12 25.答案 2(+2)8解析 设O 与矩形 ABCD 的另一个切点为 M,连接 OM,OG,则 M,O,E 共线.由题意得MOG=EOF=45,FOG=90,且 OF=OG
14、=1 m,S 透明区域 = +2 11= +1(m2).18012360 12 2过 O 作 ONAD 于 N,ON= FG= ,12 22AB=2ON=2 = ,22 2S 矩形 =2 =2 ,2 2 = = .透光区域 矩形 2+122 2(+2)86.答案 3- -534 6解析 如图,连接 AE,BF,延长 FE 交 AD 于 G,则 EGAD.AB=3,EF=2,EG= .12AD=2,O 1A=O1E=1.AO 1E=30.O 1G= .32AG=1- = .322-32弓形 AE 的面积=扇形 AO1E 的面积-O 1AE 的面积= -3012360O1AEG12= - 1121
15、2 12= - ,1214图中阴影部分的面积=梯形 AEFB 的面积-2弓形 AE 的面积= (EF+AB)AG-212 (12-14)= (2+3) - +12 2-32 612= - +52 2-32 612= + -10-534 246=3- - .534 6三、解答题7.解析 (1)圆锥的母线长 SA= = =40(cm),2+2 102+(1015)2圆锥侧面展开图扇形的弧长 l=2OA=210=20(cm),S 侧 = lSA= 2040=400(cm 2),12 12又 S 底 =OA 2=10 2=100(cm 2),S 表 =S 底 +S 侧 =500(cm 2).(2)沿母线 SA 将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段 AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知 SA=40(cm),弧 AA的长=20(cm),ASA=90.又 SA=SA=40(cm),SM=3AM,SM= SA=30(cm),34在 RtASM 中,AM= = =50(cm),2+2 402+302蚂蚁所走的最短距离是 50 cm.
