1、第22讲 与圆有关的位置关系,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点四 三角形的外接圆和内切圆,知识点一 与圆有关的位置关系,1.与圆有关的位置关系,温馨提示 点与圆的位置关系可通过d(点到圆心的距离)和r(圆 的半径)之间的大小关系进行判断;直线与圆的位置关系可通过d (圆心到直线的距离)和r(圆的半径)之间的大小关系进行判断.,2.过同一直线上的三点不能作圆,不在同一直线上的三点确定一个圆.,知识点二 切线的判定和性质 1.切线的判定 (1)和圆 只有一个 公共点的直线是圆的切线; (2)到圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线; (3)经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆
2、的切线.,2.切线的性质 (1)切线的性质定理:圆的切线 垂直于经过切点 的半径. (2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 . (3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 . 温馨提示 (1)要证的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线”来证明.口诀“见半径、证垂直”. (2)给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则连接公 共点和圆心,根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线”来证明.口诀“连半径、证垂直”.,(3)当直线与圆的公共点不明确时,则过圆心作该直线的垂线,然 后根据
3、“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切 线”来证明.口诀是“作垂直、证相等”.,知识点三 切线长定理 1.切线长的定义:过圆外一点引圆的切线,这一点到切点之间线段 的长叫做这点到圆的 切线长 .,2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的长 相等 ,圆心和这一点的连线 平分 这两条切线的夹角.,知识点四 三角形的外接圆和内切圆,温馨提示 锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外 心在斜边的中点处;钝角三角形的外心在三角形的外部.所有三角 形的内心都在三角形的内部.,知识点五 正多边形与圆 1.正多边形的相关概念 (1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
4、(2)正多边形的中心:一个正多边形 外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心. (3)正多边形的半径:正多边形外接圆的 半径 叫做正多边形的半径. (4)正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角. (5)正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的 边心距 .,2.正多边形和圆的有关计算 如果把正n边形的有关元素:中心角、半径、边长、边心距、周 长、面积分别用n、R、an、rn、Pn、Sn表示,那么: (1)n= ;(2)R2= + ;(3)Pn=nan;(4)Sn= nrnan= rnPn .,泰安考点聚焦,考点一 点与圆的位置关系 例1
5、如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个 格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的 格点中 恰好有3个在圆内,则r的取值范围为( B ),A.2 r B. r3 C. r5 D.5r,解析 如图,连接P1A,P2A,P8A.根据勾股定理得P1A=5,P2A=3 ,P3A= ,P4A=5,P5A= ,P6A=,P7A=5,P8A=2 , P8AP3A=P6AP2AP1A=P4A=P7AP5A, 除点A外恰好有三个格点在圆内, 这三个格点为P3,P6,P8, 5, 则m=0;若d=5,则m=1;若1d5,则m=3;若d=1,则m=2;若d 5时,m=0,故正
6、确; 当d=5时,m=1,故正确; 当1d5时,m=2,故错误; 当d=1时,m=3,故错误; 当dr(圆的半径)时,相离;d=r时, 相切;dr时,相交.,考点三 切线的性质 中考解题指导 熟练掌握切线的性质定理及两个推论,以及常用 辅助线的作法.,例3 如图,I是ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E, F,DEF=50,则A= 80 .,解析 连接DI,FI,如图所示. DEF=50, DIF=2DEF=100, I是ABC的内切圆, ADI=AFI=90, A=360-ADI-AFI-DIF=80.,变式3-1 (2018泰安)如图,BM与O相切于点B,若MBA=140,
7、 则ACB的度数为 ( A )A.40 B.50 C.60 D.70,解析 连接OA,OB,BM与O相切于点B, OBM=90. MBA=140, OBA=50. OA=OB,OAB=OBA=50, AOB=80, ACB=40,故选A. 方法技巧 已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,则需要 连接切点与圆心构造直角三角形,利用勾股定理、锐角三角函数 等知识进行解答.,考点四 切线的判定 例4 (2017济宁)如图,已知O的直径AB=12,弦AC=10,D是 的 中点,过点D作DEAC,交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是O的切线; (2)求AE的长.,解析 (1)证明:连接OD. D
8、为 的中点, 的长= 的长. BOD=BAE,ODAE. DEAC,交AC的延长线于点E, ODDE, 则DE为O的切线. (2)过点O作OFAC, AC=10,AF=CF= AC=5, OFE=DEF=ODE=90, 四边形OFED为矩形,FE=OD= AB, AB=12,FE=6, 则AE=AF+FE=5+6=11.,变式4-1 (2018潍坊)如图,BD为ABC外接圆O的直径,且 BAE=C. (1)求证:AE与O相切于点A; (2)若AEBC,BC=2 ,AC=2 ,求AD的长.,解析 (1)证明:连接OA交BC于点F,则OA=OD,D=DAO, D=C,C=DAO, BAE=C,BA
9、E=DAO, BD是O的直径, DAB=90,即DAO+OAB=90, BAE+OAB=90,即OAE=90, AEOA, AE与O相切于点A.(2)AEBC,AEOA, OABC, 的长= 的长,FB= BC, AB=AC, BC=2 ,AC=2 , BF= ,AB=2 .,在RtABF中,AF= =1, 在RtOFB中,OB2=BF2+(OA-AF)2, 即OB2=BF2+(OB-AF)2, OB=4,BD=8, 在RtABD中,AD= = = =2 . 方法技巧 证明圆的切线有三种思路:有过切点的半径,证明垂 直;有切点,无半径,连半径,证明垂直;无切点,作垂直,证明相等.,一、选择题
10、1.若A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为 ( A ) A.在A内 B.在A上 C.在A外 D.不确定,随堂巩固训练,2.如图,两个圆的圆心都是点O,AB是大圆的直径,大圆的弦BC所 在直线与小圆相切于点D.则下列结论不一定成立的是 ( C )A.BD=CD B.ACBC C.AB=2AC D.AC=2OD,3.(2017日照)如图,AB是O的直径,PA切O于点A,连接PO并延 长交O于点C,连接AC,AB=10,P=30,则AC的长度是 ( A )A.5 B.5 C.5 D.,4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下 列问题“今有勾八步,
11、股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是 “今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15 步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少?” ( C ) A.3步 B.5步 C.6步 D.8步,5.(2018烟台)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心, AIC=124,点E在AD的延长线上,则CDE的度数为 ( C )A.56 B.62 C.68 D.78,6.如图,O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一 个动点,PB切O于点B,则PB的最小值是 ( B )A. B. C.3 D.2 二、填空题,7.已知正六边形的边心距为 ,则它的周长是 1
12、2 . 解析 如图,连接OA,OB,作OHAB于H.六边形ABCDEF是正六边形, AOB= 360=60, OA=OB,OAB是等边三角形, OAH=60, OHAB,OH= ,OA= =2,AB=OA=2, 该正方形的周长是26=12.,8.如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O 的直径,若P=4 6,则BAC= 23 度.,解析 PA,PB是O的切线, PA=PB,又P=46, PAB=PBA= =67, 又PA是O是切线,AO为半径, OAAP, OAP=90, BAC=OAP-PAB=90-67=23.,9.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形外接圆的半径 是
13、10或8 . 解析 当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形外接圆的半径 为8;当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长= =20,因此这个三角形外接圆的半径为10.综上所述,这个三角形外接圆的半径等于8或10.,10.如图,APB=30,圆心在边PB上的O半径为1 cm,OP=3 cm, 若O沿BP方向移动,当O与PA相切时,圆心O移动的距离为 1或5 cm.,解析 如图,设O移动到O1,O2位置时与PA相切.,当O移动到O1时,O1DP=90. APB=30,O1D=1 cm,PO1=2 cm. OP=3 cm,OO1=1 cm; 当O移动到O2时,O2EP=90.,APB=3
14、0,O2E=1 cm, O2PE=30,PO2=2 cm. OP=3 cm,OO3=5 cm. 综上所述,当O与PA相切时,圆心O移动的距离为1或5 cm.,三、解答题 11.(2017德州)如图,已知RtABC,C=90,D为BC的中点,以AC 为直径的O交AB于点E. (1)求证:DE是O的切线; (2)若AEEB=12,BC=6,求AE的长.,解析 (1)证明:连接OE,EC.AC是O的直径, AEC=BEC=90, D为BC的中点,ED=DC=BD, 1=2. OE=OC,3=4,1+3=2+4, 即OED=ACB. ACB=90,OED=90, DE是O的切线. (2)由(1)知:BEC=90, 在RtBEC与RtBCA中, B=B,BEC=BCA, BECBCA, = ,BC2=BEBA, AEEB=12,设AE=x,则BE=2x,BA=3x, BC=6,62=2x3x, 解得x= (舍负), 即AE= .,
