1、第21讲 圆的有关性质,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 圆的有关概念,1.圆的两种定义 (1)在一个平面内,线段OA绕它 固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其固定的端点O叫做 圆心 ,线段OA叫做 半径 . (2)在同一平面上到定点的距离等于 定长 的所有点的集合叫做圆.,2.弦和弧 (1)弦:连接圆上 任意两点 的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做 直径 ,直径是圆中最长的弦. (2)弧:圆上 任意两点间的部分 叫做圆弧,简称弧.弧可分为 劣弧 、半圆和优弧. 3.同心圆和等圆:圆心相同的圆叫做同心圆;半径相等的圆叫做等 圆.,4.圆心角和圆周角:顶点在
2、圆心上 的角叫做圆心角;顶点在圆上,并且 两边都与圆相交 的角叫做圆周角. 5.弦心距:圆心到弦的距离叫做 弦心距 ,即由圆心向弦作垂线段,则这条垂线段的长度叫做弦心距.,知识点二 圆的有关性质 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形, 任何一条直径所在的直线 都是圆的对称轴; (2)圆是中心对称图形,对称中心是 圆心 .,2.垂径定理及其推论 (1)定理:垂直于弦的直径平分 弦 ,并且平分 弦所对的两条弧 . (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 温馨提示 (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的
3、任意两条成立,那么其 他的结论也成立.,3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧 相等,所对的 弦 相等,所对的弦的弦心距相等. (2)推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条 弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相 等.,4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,都等于它所对 圆心角的 一半 . (2)推论: 同弧或等弧 所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90的圆周角所对是 直径 . 温馨提示 (1)同一条弧所对的圆周角相等,同一条弦所对的圆周角相等或互补;(2)当已
4、知条件中有直径时,常常作直径所对的圆 周角,这是圆中常作的辅助线;(3)等弧只存在于同圆或等圆中,是 指能够完全重合的弧,而不是弧长相等或者所对圆心角相等的弧.,知识点三 圆内接四边形 1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角 互补 .,泰安考点聚焦,考点一 垂径定理及其推论 中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点 的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.,例1 (2017泰安一模)如图,AB是O的直径,点D平分弧AC,AC=5, DE=1.5,则OE= .,解析 OD为O半径
5、,点D平分弧AC,AC=5, ODAC,AE=CE=2.5. 设OE=x, DE=1.5,OA=OD=x+1.5. 在RtAEO中,AE2+OE2=AO2, 即2.52+x2=(x+1.5)2,解得x= .,变式1-1 一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排 水管水面宽CD等于 1.6 m.,解析 如图,作OEAB于点E,交CD于点F,连接OC. AB=1.2 m,OEAB, 由垂径定理知AE=0.6 m. OA=1 m,OE=0.8 m. 水管水面上升了0.2 m, EF=0.2 m, OF=0.8 m-
6、0.2 m=0.6 m, CF= = =0.8(m),CD=1.6 m.,考点二 圆心角、弧、弦的关系 例2 如图,D,E分别是O的半径OA,OB上的点,CDOA,CE OB,CD=CE,则 与 的大小关系是 = .,解析 CDOA,CEOB, CDO=CEO=90, 又CD=CE,CO=CO, CODCOE.COD=COE, = .,变式2-1 (2017甘肃兰州)如图,在O中, 的长= 的长,点D在 O上,CDB=25,则AOB= ( B )A.45 B.50 C.55 D.60,解析 连接OC.CDB=25, COB=50.又 = , AOB=COB=50,故选B.,变式2-2 如图,A
7、B是半圆的直径,点D是弧AC的中点,ABC=50, 则DAB等于 ( C )A.55 B.60 C.65 D.70,解析 连接BD,如图.点D是弧AC的中点,即 的长= 的长, ABD=CBD,又ABC=50, ABD= 50=25, AB是半圆的直径, ADB=90,DAB=90-25=65.故选C.,方法技巧 熟记并能灵活运用圆心角、弧、弦之间的关系的 定理及推论是解决此类问题的关键.,考点三 圆周角定理及其推论 例3 (2017泰安)如图,ABC内接于O,若A=,则OBC等于 ( D )A.180- B.2 C.90+ D.90-,解析 连接OC,则BOC=2A=2, OB=OC, OB
8、C=OCB= (180-2)=90-.,变式3-1 (2016泰安)如图,ABC内接于O,AB是O的直径, B=30,CE平分ACB交O于E,交AB于点D,连接AE,则SADES CDB= ( D ),A.1 B.1 C.12 D.23,解析 如图所示,连接OE.,AB是O的直径,ACB=90. 在RtACB中,B=30, 设AC=x,则AB=2x,BC= x, OA=x.,CE平分ACB, ACE=BCE= ACB=45, BAE=BCE=45, AOE=2ACE=90, AOE为等腰直角三角形, AE= x, BAE=BCE,ADE=BDC, ADECDB, SADESCDB= = =23
9、.故选D.,变式3-2 (2018泰安)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为 4 .,解析 连接OB,OC, A=45,BOC=90. OB=OC, BOC为等腰直角三角形. BC=4,OB=OC=2 , 圆的直径为2 2=4 .,方法技巧 求圆周角的度数,可以转化为求同弧所对的圆心角 的度数,同理,求圆心角的度数,可以转化为求同弧所对的圆周角 的度数.,考点四 圆内接四边形的性质 中考解题指导 圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的外 角等于它的内对角,此知识点较为简单,但也是非常容易忽略的, 当碰到圆与四边形结合的题目时,要优先考虑圆内接四边形的性 质和推论.,例4
10、(2017泰安)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点 C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若ABC=55,则ACD等 于 ( A )A.20 B.35 C.40 D.55,解析 连接OC,CM所在直线为O的切线,CMOC.CMAM,OCAM, DAC=ACO. 又OA=OC,OAC=ACO, DAC=OAC. AB为O的直径,ACB=90, ABC=55,CAO=DAC=35.,四边形ABCD为O的内接四边形, ADC+ABC=180,ADC=125, ACD=180-DAC-ADC=180-35-125=20.,变式4-1 如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行 四
11、边形,则ADC的大小为 ( C )A.45 B.50 C.60 D.75,解析 设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边 形,B=AOC.四边形ABCD是O的内接四边形,B+ D=180,x+2x=180,x=60.ADC=60.故选C.,变式4-2 如图,A,B,C三点在O上,且CBD=60,那么AOC= 120 .,解析 如图,在优弧AC上取一点E,连接AE,CE,则四边形ABCE为 圆的内接四边形,且AOC=2AEC,AEC+ABC=180, CBD+ABC=180, AEC=CBD=60. AOC=2AEC=120. 方法技巧 通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之
12、,方法技巧 通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之 间的转化,这是解决此类问题的关键.,一、选择题 1.(2018济宁)如图,点B,C,D在O上,若BCD=130,则BOD的 度数是 ( D )A.50 B.60 C.80 D.100,随堂巩固训练,2.在半径为13的O中,弦ABCD,弦AB和CD的距离为7,若AB=2 4,则CD 的长为 ( D ) A.10 B.4 C.10或4 D.10或2,3.(2018湖北武汉)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后 刚好经过AB的中点D.若O的半径为 ,AB=4,则BC的长是( B )A.2 B.3 C. D.,二、填空题 4.如图,将半径
13、为4 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则 折痕AB的长为 4 cm.,解析 连接AO,过O作ODAB,交 于点D,交弦AB于点E., 折叠后恰好经过圆心O, OE=DE. O的半径为4 cm,OE= OD= 4=2 cm, 由ODAB,知AB=2AE, 在RtAOE中, AE= = =2 cm, AB=2AE=4 cm.,三、解答题 5.如图,以ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交 点分别为D,E,且 = . (1)试判断ABC的形状,并说明理由; (2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sinABD的值.,解析 (1)ABC为等腰三角形.理由如下:连接AE,如图所示. 的长= 的长,DAE=BAE,即AE平分BAC. AB为直径,AEB=90, AEBC,AB=AC, ABC为等腰三角形. (2)由(1)知ABC为等腰三角形,AEBC, BE=CE= BC= 12=6.,在RtABE中, AB=10,BE=6,AE=8. AB为直径,ADB=90, AEBC=BDAC, BD= =81210=9.6. 在RtABD中,AB=10,BD=9.6,根据勾股定理得AD= = =2.8, sinABD= = = .,
