1、第17讲 相似三角形,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 成比例线段 1.线段的比:在 同一单位长度 下,两条线段的长度比叫做这两条线段的比. 2.比例线段:在同一单位下,四条线段长度为a、b、c、d,如果有 = ,那么a、b、c、d这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.,3.比例的性质 (1)基本性质: = ad=bc(a,b,c,d都不等于0),其中b、c叫做比例内项,a、d叫做比例外项.特殊地, = b2=ac,b叫做a、c的比例中项; (2)合比性质:如果 = ,那么 = (bd0); (3)等比性质:如果 = = (bdn0,且b+d+n0),那么 = .,4.平行线分
2、线段成比例 (1)平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得 对应线段 成比例 .如图,当l3l4l5时,有 = , = , = 等;,(2)平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截 其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.,知识点二 相似三角形 1.相似三角形的定义: 对应角相等,对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形.全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比为 1 . 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角 相等 ,对应边 成比例 ; (2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的 比、周长的比都等于 相似比 ; (3)相似三角形的面
3、积之比等于 相似比的平方 .,3.相似三角形的判定 (1) 平行 于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)三边对应成比例的两个三角形相似; (3) 两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似; (4) 两组角 分别相等的两个三角形相似.,温馨提示 两个直角三角形相似的判定方法除可以运用一般三 角形相似的判定方法外,还可以运用“斜边与直角边对应成比例 的两个直角三角形相似”进行判定.此外,如图,在RtABC中, ACB=90,CDAB,则有以下结论:RtACDRtCBDRt ABC,CD2=ADBD,AC2=ADAB,BC2=BDAB.,4.利用相似三角形解决实际
4、问题 在实际生活中利用影子测量树高、楼房高以及利用反射构造相 似等问题常用相似三角形的性质来解决.,知识点三 相似多边形 1.相似多边形的定义:如果两个多边形的 角对应相等,边对应成比例 ,那么这两个多边形叫做相似多边形. 2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的 对应角相等,对应边成比例 ; (2)相似多边形对应线段的比等于 相似比 ; (3)相似多边形周长的比等于 相似比 ,面积的比等于 相似比的平方 .,知识点四 位似定义 1.位似图形的定义 如果两个图形不仅是 相似图形 ,而且对应顶点连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点叫做 位似中心 . 2.位似图
5、形的性质 (1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 ; (2)在平面直角坐标系中,如果是以原点为位似中心,相似比为k,那 么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k .,3.利用位似将一个图形放大或缩小的步骤 (1)确定位似中心和位似比; (2)确定原图形中关键点的对应点; (3)画出新图形; (4)在直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都 乘同一个数k(k0,1),所对应的图形与原图形构成位似图形,位似 中心是坐标原点,它们的相似比为|k|. 温馨提示 泰安中考题有逐步与其他地区试题接轨的趋势,动手 操作类知识点应该当做一个备考考点.,泰安考点聚焦,考点一
6、平行线分线段成比例 例1 如图,ABCDEF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF =5,那么 = .,解析 AG=2,GD=1,AD=3, ABCDEF, = = .,变式1-1 (2017岱岳模拟)已知ABCD,AD与BC相交于点O.若 = ,AD=10,则AO= 4 .,解析 ABCD,OAOD=OBOC=23, = , 又AD=10,OA= 10=4.,考点二 相似三角形的性质与判定 中考解题指导 相似三角形的性质与判定是泰安中考的必考内 容.寻找相似三角形的条件时,要注意公共边、公共角、对顶角等 隐含条件.,例2 (2017泰安)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,M
7、EAM, ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为 ( B )A.18 B. C. D.,解析 设ME与CD交于点G. 四边形ABCD是正方形,AB=12,BM=5, MC=12-5=7. MEAM,AME=90, AMB+CMG=90. AMB+BAM=90, BAM=CMG,又B=C=90, ABMMCG, = ,即 = ,解得CG= ,DG=12- = . AEBC, E=CMG,EDG=C, MCGEDG, = ,即 = , 解得DE= .,变式2-1 (2018杭州)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中 线,DEAB于点E. (1)求证:BDECAD
8、; (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.,解析 (1)证明:AB=AC, B=C, 又AD为BC边上的中线,ADBC, DEAB,DEB=ADC=90, BDECAD. (2)易知BD= BC=5, 在RtADB中,AD= = =12, 由(1)易得 = , = , DE= .,方法技巧 三角形相似的证题思路: 1.有平行截线:用平行线的性质,找等角. 2.有一对等角:(1)找另一对等角;(2)夹这对等角的两边对应成比 例. 3.有两边对应成比例:(1)夹角相等;(2)第三边也成比例;(3)有一对直角. 4.直角三角形:(1)找一锐角;(2)找斜边、直角边对应成比例. 5.等腰三角
9、形:(1)顶角相等;(2)一对底角相等;(3)底和腰成比例.,考点三 位似图形 例3 (2017烟台)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,AOB与AOB是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为 32,点A,B都在格点上,则点B的坐标是 .,解析 由题意得AOB与AOB的相似比为23, 又B(3,-2), B的坐标是 3 ,-2 ,即B的坐标是 .,变式3-1 (2018滨州)在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标 为 ( C ) A.(5,1) B
10、.(4,3) C.(3,4) D.(1,5),一、选择题 1.已知ABCDEF,若ABC与DEF的相似比为 ,则ABC 与DEF对应中线的比为 ( A ) A. B. C. D.,随堂巩固训练,2.如图,DEF是由ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心, = ,则DEF与ABC的面积比是 ( A )A. B. C. D.,3.如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为 ( B ) A.4 B.4 C.6 D.4,二、填空题 4.(2018四川成都)已知 = = ,且a+b-2c=6,则a的值为12 .,解析 设 = = =k(k0), 则a=6k,b=5k,c=4k,
11、 a+b-2c=6,6k+5k-8k=6. 解得k=2.a=6k=12.,5.(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在 “勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出 东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”用今天的话说,大意是 如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正 方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15 步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即 点D在直线AC上).则KC的长为 步.,解析 由题意易知,AHDDKC,AH=15步,HD=100步,KD=10 0步, = ,解得KC= (步).,三、解答题 6.如图,ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E,H分别在AB,AC上,已知BC =40 cm,AD =30 cm. (1)求证:AEHABC; (2)求这个正方形的边长与面积.,解析 (1)证明:四边形EFGH为正方形, EHBC,AEH=ABC, AHE=ACB,AEHABC. (2)AEHABC, = ,设正方形边长为x cm,则AM=(3 0-x)cm,把AD=30 cm,BC=40 cm代入,得x= . 则正方形边长为 cm,面积为 cm2.,
