1、2017-2018 学年湖北省孝感市应城市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的，不涂、涂错或涂的代号超过一个的，一律得 0 分）1 （3 分）将一元二次方程 2x27=5x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A2 ，5 B2，7 C2x 2， 5x D2， 52 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）抛物线 y=2（x+3） 2+5 的顶点坐标是（ ）A （3 ，5 ） B （3，5） C （3， 5） D （ 3，5）4 （3 分）抛物线
2、y=（x2） 2 向右平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为（ ）Ay= x2 By=（x4） 2 Cy=（x 2） 2+2 Dy=（x 2） 225 （3 分）下列函数，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ）Ay= x+4 By=x 2+3 Cy= Dy=x 216 （3 分）若点 A（3，y 1） ，B （0，y 2） ，C（ 2，y 3）在抛物线 y=x24x+k 上，则y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 2y 3y 1 By 2y 1y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 1y 2y 37 （3 分）如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，那么点A
3、（ 1， 3）的对应点 A的坐标是（ ）A （3 ，1 ） B （1，3） C （ 3，1） D （ 1，3）8 （3 分）如图是一个长 20cm，宽 15cm 的矩形图案，其中有 两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的 ，设彩条的宽度为 xcm，则下列方程正确的是（ ）A20x+15xx 2= 1520 B （20 x） （15 x）= 1520C 20x+15x= 1520 D20x +15x+x2= 15209 （3 分）有两个一元二次方程：ax 2+bx+c=0；cx 2+bx+a=0，其中ac 0，ac，下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程有两个相等的实数根，那么
4、方程也有两个相等的实数根B如果方程的两根符号相同，那么方程 的两根符号也相同C如果 3 是方程 的一个根，那么 是方程的一个根D如果方程和有一个相同的根，那么这个根必是 x=110 （3 分）如图，在ABC 中，ACB=90AC=BC=2 ，将ACB 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ACB，则 CB的长为（ ）A B2+ C D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）点（3，5 ）关于原点 O 中心对称的点的坐标为 12 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 13 （3 分）已知 m，n 是方程 x2+2x5=0 的
5、两个实数根，则 m2mn+3m+n= 14 （3 分）若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且经过点 A（1，n）和B（3 ，n） ，则 n= 15 （3 分）已知二次函数 y=x2+2x+3，当 0x 4 时，y 的取值范围是 16 （3 分）已知关于 x 的方程 x2+2kx+k2+k+3=0 的两根分别是 x1、x 2，则（x 11） 2+（x 21） 2 的最小值是 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分）17 （8 分）解下列方程（1）2x 2x=2（2）x（x 3）=2x 618 （8 分）抛物线经过点（1，0） ， （5，0）和（3， 4）（1）求该抛物线
6、的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标19 （8 分）尺规作图（保留痕迹，不写作法）已知：ABC 和点 O，求作ABC 绕点 O 顺时针旋转 60得到的ABC来源:学科网20 （8 分）2014 年，某楼盘以每平方米 6500 元的均价销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为每平方米 5265 元（1）求平均每年下调的百分率；（2）2017 年的均价仍然下调相同的百分率，张某准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20 万，可以在银行贷款 30 万元，张某的愿望在 2017 年能实现吗？（房价每平方米按均价计算）21 （9 分
7、）已知关于 x 的方程 x24x+m=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求 m 的取值范围；（2）若 4x1+x2=2，求实数 m 的值22 （9 分）某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，在试销中发现这种商品的日销量 m（件）与每件的销售价 x（元）满足 m=1202x（1）求商场卖这种商品的日销售利润 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系式；（2）要想获得日最大利润，每件商品的售价应定为多少？日销售利润最大为多少？23 （10 分）已知 CA=CB，CD= CE，ACB=DCE=90，连 BD，AE，F 为 AE 的中点，连 CF（1）如图 1，点 D，E 分别在 CA，C
8、B 上，求证：CF= BD，且 CFBD；（2）如图 2，将CDE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，其它条件不变，此时（1）中的结论是否仍成立？并证明你的结论24 （12 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴，点C 在 y 轴正半轴，OA=4， OC=3，抛物线经过 O，A 两点且顶点在 BC 边上，与直线 AC 交于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2017-2018 学年湖北省孝感市应城
9、市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、涂错或涂的代号超过一个的，一律得 0 分）1 （3 分）将一元二次方程 2x27=5x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A2 ，5 B2，7 C2x 2， 5x D2， 5【解答】解：2x 27=5x2x25x7=0，则二次项系数和一次项系数分别为：2，5故选：D2 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合
10、题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C3 （3 分）抛物线 y=2（x+3） 2+5 的顶点坐标是（ ）A （3 ，5 ） B （3，5） C （3， 5） D （ 3，5）【解答 】解：y=2（ x+3） 2+5，抛物线顶点坐标为（3，5） ，故选：B4 （3 分）抛物线 y=（x2） 2 向右平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为（ ）Ay= x2 By=（x4） 2 Cy=（x 2） 2+2 Dy=（x 2） 22【解答】解：抛物线 y=（x2） 2 向右平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为y=（ x22） 2，即 y=（x 4）
11、 2故选：B5 （3 分）下列函数，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ）Ay= x+4 By=x 2+3 Cy= Dy=x 21【解答】解：A、当 x0 时，该函数 y 随 x 的增大而减小，该本选项错误；B、当 x0 时，该函数 y 随 x 的增大而减小，该本选项错误；C、当 x0 时，该函数 y 随 x 的增大而减小，该本选项错误；D、当 x0 时，该函数 y 随 x 的增大而增大，该本选项正确；故选：D6 （3 分）若点 A（3，y 1） ，B （0，y 2） ，C（ 2，y 3）在抛物线 y=x24x+k 上，则y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 2y 3y 1
12、By 2y 1y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 1y 2y 3【解答】解：抛物线对称轴为直线 x= = =2，a 0 ，x2 时，y 随 x 的增大而减小，x2 时，y 随 x 的增大而增大，3 2=1，20=2，2（ 2） =4，y 3y 2y 1故选：C7 （3 分）如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，那么点A（ 1， 3）的对应点 A的坐标是（ ）A （3 ，1 ） B （1，3） C （ 3，1） D （ 1， 3）【解答】解：线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，ABOABO，AOA=90，AO=AO作 ACy 轴于 C，ACx 轴于 C，
13、ACO=ACO=90COC=90，AOACOA=COC COA ，AOC=AOC在ACO 和ACO 中，ACO ACO（AAS） ，AC=AC，CO=COA（1 ，3） ，AC=1，CO=3，AC=1，OC=3，A（3，1） 故选：A来源:学& 科&网8 （3 分）如图是一个长 20cm，宽 15cm 的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的 ，设彩条的宽度为 xcm，则下列方程正确的是（ ）A20x+15xx 2= 1520 B （20 x） （15 x）= 1520C 20x+15x= 1520 D20x +15x+x2= 1520【解答】解：设彩条的宽度为
14、 x cm，根据题意列方程得，20x+15xx2= 1520，故选：A9 （3 分）有两个一元二次方程：ax 2+bx+c=0；cx 2+bx+a=0，其中ac 0，ac，下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程有两个相等的实数根，那么方程也有两个相等的实数根B如果方程的两根符号相同，那么方程 的两根符号也相同C如果 3 是方程 的一个根，那么 是方程的一个根D如果方程和有一个相同的根，那么这个根必是 x=1【解答】解：A、方程有两个相等的实数根，=b 24ac=0，方程也有两个相等的实数根，A 不符合题意；B、方程的两根符号相同， 0， 0，方程的两根符号也相同，B 不符合题意；C、 3 是
15、方程 的一个根，9a+3b+c=0，a + + c=0， 是方程的一个根，C 不符合题意；D、若 x=1 为方程的一个根，则 ab+c=0，x=1 也为方程 的一个根， D 符合题意故选：D10 （3 分）如图，在ABC 中，ACB=90AC=BC=2 ，将ACB 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ACB，则 CB的长为（ ）A B2+ C D【解答】解：ACB=90，AC=BC=2，AB=2 ，设 CB与 AB 交于 O，连接 CC，将ACB 绕点 A 逆时针旋转 60得到ACB ，AC=AC，CAC=60，BC=BC，ACB=90，ACC是等边三角形，ACC=60，CC=AC，CC=BC，C
16、BC=BCC=15，ABC=30，OAB=60 ，AOB=90 ，CB AB，CO= AB= ，OB= AB= ，CB= ，故选：D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）点（3，5 ）关于原点 O 中心对称的点的坐标为 （3，5） 【解答】解：点（3，5）关于原点 O 中心对称的点的坐标为（3，5） ，故答案为：（3，5） 12 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 k 1 且 k0 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，=b 24ac=（2 ） 24k（1）=4+4k0，k
17、1，x 的一元二次方程 kx22x1=0来源:学+科+网k0，k 的取值范围是：k 1 且 k0故答案为：k1 且 k013 （3 分）已知 m，n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，则 m2mn+3m+n= 8 【解答】解：m、n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，mn=5，m +n=2，m 2+2m5=0m 2=52mm2mn+3m+n=（5 2m） （ 5）+3m+n=10+m+n=102=8故答案为：814 （3 分）若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且经过点 A（1，n）和B（3 ，n） ，则 n= 1 【解答】解：抛物线 y=x2+bx+c 过点 A
18、（1，n） 、 B（3，n ） ，对称轴是 x=2又抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，设抛物线解析式为 y=（ x2） 2，把 A（1，n）代入，得n=（1 2） 2=1，即 n=1故答案是：115 （3 分）已知二次函数 y=x2+2x+3，当 0x 4 时，y 的取值范围是 5 y4 【解答】解：y= x2+2x+3=（x1） 2+4，抛物线开口向下，对称轴为 x=1，当 x=1 时，y 有最大值 4，当 0x1 时，当 x=0 时，y 有最小值 3，当 1x4 时，当 x=4 时，y 有最小值 5，当 0x4 时，y 的取值范围是 5y4，故答案为：y 的取值范围是5y
19、4 16 （3 分）已知关于 x 的方程 x2+2kx+k2+k+3=0 的两根分别是 x1、x 2，则（x 11） 2+（x 21） 2 的最小值是 8 【解答】解：关于 x 的方程 x2+2kx+k2+k+3=0 的两根分别是 x1、x 2，x 1+x2=2k，x 1x2=k2+k+3，=4k 24（k 2+k+3）= 4k120，解得 k3，（x 11） 2+（x 21） 2=x122x1+1+x222x2+1=（ x1+x2） 22x1x22（x 1+x2）+2=（ 2k） 22（k 2+k+3）2（ 2k）+2=2k2+2k4=2（k+ ） 2 8，故（x 11） 2+（x 21）
20、2 的最小值是 8故答案为：8三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分）17 （8 分）解下列方程（1）2x 2x=2（2）x（x 3）=2x 6【解答】解：（1）方程整理，得2x2x2=0，a=2，b= 1，c=2，=b 24ac=142（2）=17 0，x= = ，x1= ，x 2= ；（2）方程整理，得来源:Zxxk.Comx（x 3）2（x3）=0，因式分解，得（x3） （x2）=0于是，得x3=0 或 x2=0，解得 x1=3，x 2=218 （8 分）抛物线经过点（1，0） ， （5，0）和（3， 4）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标【解答】解：（1）设抛
21、物线的解析式为 y=a（x +1） （x5） ，将（3，4）代入，得4=8a，解得 a= ，则该抛物线的解析式为 y= （x +1） （x5） ，即 y= x22x ；（2）y= x22x = （x 2） 2 ，该抛物线的顶点坐标是（2， ） 19 （8 分）尺规作图（保留痕迹，不写作法）已知：ABC 和点 O，求作ABC 绕点 O 顺时针旋转 60得到的ABC【解答】解：如图所示：ABC即为所求20 （8 分）2014 年，某楼盘以每平方米 6500 元的均价销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为每平方米 5265 元（1）求平
22、均每年下调的百分率；（2）2017 年的均价仍然下调相同的百分率，张某准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20 万，可以在银行贷款 30 万元，张某的愿望在 2017 年能实现吗？（房价每平方米按均价计算）【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为 x，根据题意得：6500（1x） 2=5265，解得：x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不合题意舍去） ，答：平均每年下调的百分率为 10%；（2）假设 2017 年的均价仍然下调相同的百分率，则 2017 年的房价为：5265（110%）=4738.5（元/平方米）则购买一套 100 平方米的住房的总房款为：1004738.5=
23、473850（元）=47.385（万元） ，20+3047.385，张某的愿望能实现21 （9 分）已知关于 x 的方程 x24x+m=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求 m 的取值范围；（2）若 4x1+x2=2，求实数 m 的值【解答】解：（1）关于 x 的方程 x24x+m=0 有两个实数根 x1，x 2，0，即 （4） 24m0，解得 m4；（2）由 根与系数关系及已知可得 ，解得 ，m=x 1x2=26=1222 （9 分）某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，在试销中发现这种商品的日销量 m（件）与每件的销售价 x（元）满足 m=1202x（1）求商场卖这种商品的日销售利润
24、 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系式；（2）要想获得日最大利润，每件商品的售价应定为多少？日销售利润最大为多少？【解答】解：（1）根据题意得：y=（x 30） （120 2x）= 2x2+180x3600（2）y= 2x2+180x3600=2（x45） 2+450，当 x=45 时，y 取最大值 450，当每件商品的售价为 45 元时， 日销售利润最大，最大日销售利润为 450元23 （10 分）已知 CA=CB，CD=CE ，ACB= DCE=90，连 BD，AE，F 为 AE 的中点，连 CF（1）如图 1，点 D，E 分别在 CA，CB 上，求证：CF= BD，且 CFB
25、D；（2）如图 2，将CDE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，其它条件不变，此时（1）中的结论是否仍成立？并证明你的结论【解答】解：（1）在ACE 和BCD 中， ，ACE BCD（SAS） ，AE=BD、 CAE=CBD ，F 为 AE 中点，ACE=90，FC=AF= AE，CF= BD，CAE=ACF，CBD=ACF，CBD+BCF=ACF+BCF=BCD=90，CF BD；（2）此时仍有 CF= BD、CFBD，延长 CF 至 G，使 FG=CF，连接 GA，在EFC 和 AFG 中， ，EFC AFG（SAS） ，GA=CE，FEC=FAG，AGEC，AG=CD，GAC +ECA=18
26、0，又BCD+ECA=BCA+ACD +ECA= BCA+ECD=180 ，GAC=BCD，在BCE 和CAG 中， ， BCE CAG（SAS） ，CG=BD， CBD=ACG，CF= BD，CBD+BCF=BCA=90，CF BD24 （12 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴，点C 在 y 轴正半轴，OA=4， OC=3，抛物线经过 O，A 两点 且顶点在 BC 边上，与直线 AC 交于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
27、求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E （2，3） ，设抛物线解析式为 y=a（x 2） 2+3，将 A（4，0 ）坐标代入得：0=4a+3，即 a= ，则抛物线解析式为 y= （ x2） 2+3= x2+3x；（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k0） ，将 A （4，0）与 C（0 ，3）代入得：，解得： ，故直线 AC 解析式为 y= x+3，与抛物线解析式联立得： ，解得： 或 ，则点 D 坐标为（ 1， ） ；（3）存在，分两种情况考虑：当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：四边形 ADMN 为平行四边形，DMAN，DM=AN ，由对称性得到 M（3， ） ，即 DM=2，故 AN=2，N 1（ 2，0） ，N 2（6，0） ；当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：过点 D 作 DQx 轴于点 Q，过点 M 作 MPx 轴于点 P，可得ADQNMP，来源:Zxxk.ComMP=DQ= ，NP=AQ=3，将 yM= 代入抛物线解析式得： = x2+3x，解得：x M=2 或 xM=2+ ，x N=xM3= 1 或 1，N 3（ 1，0） ，N 4（ 1，0） 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N 1（2，0） ，N 2（6，0） ，N 3（ 1，0） ，N4（ 1，0）
