1、 第 1 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司【新结构】【新结构】2023-2024 学年安徽省皖中名校联盟高二(下)第四次教学年安徽省皖中名校联盟高二(下)第四次教学质量检测数学试卷学质量检测数学试卷 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则图中的阴影部分表示的集合为()A.或 B.或 C.D.2.在一组样本数据为不全相等 的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数为()A.B.C.D.1 3.下列结论中错误的个数是()命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题;命题“R,”是存
2、在量词命题;命题“R,”的否定为“R,”;命题“是的必要条件”是真命题 A.0 B.1 C.2 D.3 4.若正实数 x,y 满足,则的最大值为()A.B.C.D.5.已知等差数列和的前 n项和分别为和,且,则()A.B.C.D.第 2 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 6.某试卷中 1道选择题有 6 个答案,其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为,不知道正确答案的考生可以猜,设猜对的概率为现已知某考生答对了,则他猜对此题的概率为()A.B.C.D.7.已知 P 是函数图象上的任意一点,则点 P 到直线的距离的最小值是()A.B.5 C.6 D.8.将编号为的小球放入编号
3、为的六个盒子中,每盒放一球,若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为()A.90 B.135 C.264 D.270 二、多选题:本题共 3 小题,共 15 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。9.设是各项为正数的等比数列,q是其公比,是其前 n项的积,且,则下列结论正确的是()A.B.C.D.与均为的最大值 10.小明的计算器坏了,每启动一次都随机地出现一个 5位的二进制数例如:若,则,其中二进制数 A的各位数中,已知,出现 0 的概率为,出现 1的概率为,记,现在计算器启动一次,则下列说法正确
4、的是()A.B.C.D.11.偶函数满足对于任意,有,其中为的导函数,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.设集合,则集合 A的真子集个数为_.第 3 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 13.以模型去拟合一组数据时,已知如下数据:,则实数 k的值为_.14.若函数在上存在单调递增区间,则 m 的取值范围是_ 四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.本小题 12分 在的展开式中,前 3 项的系数的绝对值成等差数列.求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和;求展开式中所
5、有的有理项.16.本小题 12分 司机在开车时使用手机是违法行为,会存在严重的安全隐患,危及自己和他人的生命为了研究司机开车时使用手机的情况,交警部门随机调查了 100 名司机,得到以下统计:在 55名男性司机中,开车时使用手机的有 40人,开车时不使用手机的有 15人;在 45 名女性司机中,开车时使用手机的有 20人,开车时不使用手机的有 25 人 完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关;开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取 8人,再从这 8 人中随机抽取 3 人,记 X为开车时不
6、使用手机的男性司机人数,求 X 的分布列和数学期望 参考数据:k 参考公式:,其中 17.本小题 12分 已知数列是以公比为 1,首项为 3的等比数列,且 求出的通项公式;第 4 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 设,数列的前 n 项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.18.本小题 12分 已知椭圆过点,且半焦距 求椭圆 C 的标准方程;如图,已知,过点的直线 l与椭圆相交于两点,直线与 x轴分别相交于两点,试问是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由 19.本小题 12分 已知函数,其中。当时,讨论函数的单调性;当时,证明其中 e为自然对数的底数 第 5
7、 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了利用韦恩图表示的集合运算,属于基础题.图中的阴影部分表示的集合为,再利用集合的基本运算求解【解答】解:集合,或,由韦恩图可知,图中的阴影部分表示的集合为,或或 故选:2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了相关系数,属于基础题 根据直线方程可得相关系数 【解答】解:由题意可得这两个变量是负相关,故这组样本数据的样本相关系数为负值,且所有样本点 都在直线上,则有 ,样本相关系数 3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了量词的分类,还考查了不等式的性质的应用,属于基础题 根据
8、存在量词命题、全称量词命题的概念,命题否定的求法,分析选项,即可得答案【解答】对于:命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故正确;对于:命题“R,”是全称量词命题;故错误;对于:命题 p:R,则:R,故错误;对于:当时,得不到,“”不是“”的必要条件;错误;即错误的有 3个,故选:第 6 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 4.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查基本不等式的应用,属于中档题 根据等式计算得出 1,再结合常值代换求和的最值,计算可得最大值.【解答】解:,当且仅当 ,即,时等号成立,.故选:5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式性质及其前
9、n项和公式,考查推理能力与计算能力,属于中档题 利用等差数列和的前 n项和的性质可得:,即可得出【解答】解:由等差数列前 n 项和公式可设:从而 ,所以 ,故选 C 6.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查条件概率,以及互斥事件的概率加法公式,属于难题.设 A 事件为“该考生不知道正确答案”,B事件为“该考生答对了”.表示出,再结合条件概率公式,以及互斥事件的概率加法公式,即可求解【解答】解:设 A 事件为“该考生不知道正确答案”,B 事件为“该考生答对了”.第 7 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 则 所以所求概率为 故选:A 7.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查的是
10、导数的几何意义,属于基础题.结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可.【解答】解:设直线 l 与直线 平行,且与函数 的图象相切,设切点为 ,因为 是单调递增函数,直线 的斜率为 1,所以 ,解得 ,即切点为 ,所以点 P 到直线 的距离的最小值是点 Q 到直线 的距离,即为 .故选 8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用,是中档题.使用间接法结合计数原理可求出结果.【解答】解:根据题意,有且只有 1 个盒子的编号与放入的小球编号相同,在六个盒子中任选 1 个,放入与其编号相同的小球,有 种选法,剩下的 5个盒子的编号与放入的小球编号不相同,所有排列方法有 种,其中 4
11、个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为 种,3个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为 种,2 个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为 种,全部都对上的有 1种。综上,则不同的放法种数为:种放法.故选 C 第 8 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 9.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查等比数列的性质,涉及数列的单调性,属于基础题 根据题意,由等比数列的性质依次分析选项,即可得答案【解答】解:根据题意,是各项为正数的等比数列,q 是其公比,是其前 n 项的积,由 可得 ,故 C正确;由 可得 ,则 ,故 A正确;是各项为正数的等比数列,则有 ,对于 C,则
12、有 ,B 错误,对于 D,则 与 均为 的最大值,D正确,故选:ACD 10.【答案】BD 【解析】【分析】本题考查 n 次独立重复实验概率公式、二项分布,以及数学期望的计算,属于中档题.先确定 X 的可能取值,再求出相应取值的概率,进而得到数学期望,即可得到答案.【解答】解:由题意,计算器启动一次,随机变量 X的可能取值为 1,2,3,4,5,则 ,第 9 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 ,综上 A,C错误,B,D 正确 故选 BD 11.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性,考查了利用导数研究函数的单调性,属于中档题.构造新函数,求出奇偶性和单调性,再对选项逐
13、个判断即可.【解答】解:偶函数 满足对于任意 ,有 ,令 ,则当 时,在 上单调递增,因为 为偶函数,所以 ,又当 时,故 在 上是偶函数,即 即,故 A 错误;,故 B 正确;,故 C正确;,故 D 错误 故选:BC 12.【答案】63 第 10 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司【解析】【分析】本题考查集合的表示,考查集合的真子集个数的求法 化简集合 A,进而能求出集合 A的真子集的个数【解答】解:集合 ,集合 A的真子集有 个 故答案为 63 13.【答案】2 【解析】【分析】本题考查回归直线方程,属于基础题.由题意取对数可得,由回归直线过和已知数据可得答案.【解答】解:由题意
14、可得 ,又 ,回归直线过 ,所以 ,故 ,解得 故答案为:2 14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数以及方程有解问题,属于中档题.利用参数分离,构造新函数,进而可得结论.【解答】解:函数 在区间 上存在单调递增区间,只需 在区间 上有解,即 在区间 上有解,所以 在区间 上有解,所以 令 ,则 令 ,则 在 上单调递增,所以 ,第 11 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 即 ,所以 ,所以实数 m的取值范围是 故答案为:15.【答案】解:展开式的通项为,因为前 3项的系数的绝对值成等差数列,且前三项系数为 ,所以 ,即 ,所以 舍去 或,因为 ,所有展开式中二项式系数最大的
15、项为第五项,即,令 得 ,即展开式系数和为;通项公式:,当 、6 时对应的项为有理项,有理项分别为:;【解析】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于中档题 根据展开式通项公式,写出前三项的系数,再由三者的绝对值成等差数列可求出 n;根据 n 的值可确定二项式系数最大的项,再令可求各项的和;写出二项展开式通项,再由为整数确定有理项.16.【答案】解:填写列联表,如下;开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联.根据数表,计算,有的把握认为开车时使用手机
16、与司机的性别有关.第 12 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 开车时不使用手机的男性司机人数为:人;开车时不使用手机的女性司机人数为:人.由题意可知:X 的所有可能取值为 0,1,2,3,则 X 的分布列为:X 0 1 2 3 P 则 【解析】本题重点考查独立性检验和离散型随机变量的分布列、期望,属于一般题.完善列联表,利用卡方公式求出观测值,对照临界值表即可判断;由分层抽样求出对应人数,得 X的所有可能取值和对应概率,即可得分布列和期望.17.【答案】解:数列 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,当时,即 ,又 也满足上式,数列 的通项公式为,第 13 页,共 16 页 学科网
17、(北京)股份有限公司 由,可得 ,由-,得 ,不等式 可化为 ,即 对任意的 恒成立,即转化为 令 ,且易得 为递增数列,又 ,所以 ,综上,的取值范围是 【解析】本题考查数列递推式,考查等比数列的通项公式,训练了错位相减法求数列的前 n 项和,考查数列的函数特性,是中档题 由 利用累加法求出 的通项公式,进而求出 的通项公式.由 得,利用错位相减法求出,不等式 可转化为,利用的单调性求出最小值即可.18.【答案】解:设椭圆 C的左、右焦点分别为 ,则 ,由椭圆的定义可得 ,解得 ,所以 ,所以椭圆 C的标准方程为 .第 14 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 设直线 l的方程为
18、,当直线 AP 的斜率不存在时,易知直线 BP 与椭圆 C相切,不符合题意,同理可得直线 AQ 的斜率存在,故直线 AP 的方程为 ,则 ,即 ,同理 .由 得 ,由 得 ,又 ,所以 ,故 为定值,且 .【解析】本题考查了椭圆中的定值问题,直线和椭圆的位置关系应用,属较难题.由椭圆的定义可得 ,进而由已知求得 b,得出结果 设直线 l 的 y 轴截距式方程:,结合直线方程可得 ,联立直线方程与椭圆方程有 ,结合根与系数的关系可得 ,则 为定值 第 15 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 19.【答案】解:由题意得,函数的定义域为 ,当时,或;当时,;当时,或;综上,当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减.当时,由,只需证明,令,则在内单调递增,且,设,则 当时,单调递减;当时,单调递增,当时,取得唯一的极小值,也是最小值.的最小值是:成立.故成立.第 16 页,共 16 页 学科网(北京)股份有限公司【解析】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,属于中档题.首先根据题意判断函数的定义域,再求导函数,分类讨论 a的取值,判断函数的单调性即可.将证明转化为证明,构造新的函数,进行求导分析单调性求出最值即可.