1、设 i 为虚数单位，则|z|（ ） A1 B C D 3 （3 分）命题“xZ，使 x2+2x10”的否定为（ ） AxZ，x2+2x10 BxZ，x2+2x10 CxZ，x2+2x+10 DxZ，x2+2x10 4 （3 分）设 xR，则“x38”是“|x|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐 近线方程是（ ） Ax By Cx Dy 6 （3 分）设点 P 是椭圆1（a2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2| 4，则|PF1|+|PF2|（ ） A4 B8 C4
2、D4 7 （3 分）若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的 面积为（ ） A B1 C D2 8 （3 分）已知点 A（4，4）在抛物线 C：y22px 上，O 为坐标原点，点 P 是抛物线 C 准 线上一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B2 C D2 9（3 分） 已知平面 ， 的法向量分别为（其中 ， R） ， 若 ，则 + 的值为（ ） A B5 C D5 10 （3 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PABC 2，AB4，CBAB，则异面直线 PC
3、，AD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 11 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 AM，点 P 在平 面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与点 P 到点 M 的距离的平方的差为 1， 在以 AB、AD 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点 P 的轨迹是（ ） A圆 B抛物线 C双曲线 D直线 12 （3 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（x1， y1） ，Q（x1，y1）在椭圆 C 上，其中 x10，y10，若|PQ|2|OF2|，|， 则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ） A （
4、0， B （0，2 C （， D （0，1 二、填空题二、填空题 13（3 分） 若复数 z （1+i） m+ （2+i） 为纯虚数 （i 为虚数单位） ， 其中 mR， 则|z| 14 （3 分）圆 x2+y2r2在点（x0，y0）处的切线方程为，类似的，可以求得 椭圆在（2，1）处的切线方程为 第 3 页（共 21 页） 15 （3 分）设 F1，F2为双曲线（a0，b0）左，右焦点，过 F2的直线交双 曲线左，右两支于点 M，N，连接 MF1，NF1，若，且， 则双曲线的离心率为 16 （3 分）已知椭圆的方程为：+1，A，B，M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆 顶点） ，若存在锐角 ，使
5、cos+sin， （O 为坐标原点）则直线 OA，OB 的 斜率乘积为 三、解答题三、解答题 17已知 f（x） （1）证明：f（0）+f（1） （2）分别求 f（1）+f（2） ，f（2）+f（3） ； （3）试根据（1） （2）的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论 18在公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d （1）求an的通项公式； （2）若 a1，a4，a13成等比数列，求数列的前 n 项和 Sn 19某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的 5 名学生参加 数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图所
6、示，其中 甲班 5 名学生成绩的平均分是 83，乙班 5 名学生成绩的中位数是 86 （）求出 x，y 的值，且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S12、S22，并根据 结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？ （）从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名求至少有 1 名来自甲班的概率 20如图：在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCDPAABBC，ADCD1， 第 4 页（共 21 页） ADC120点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N 在线段 PB 上且 PNPB （1）证明：MN平面 PDC； （2）求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值； （3）求
7、二面角 APCD 的正切值 21已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点（2，1） （1）求抛物线 C 的方程 （2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 2， 求直线 l 的方程 22已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且经过点（1，） （）求椭圆 C 的方程； （）过点（，0）作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年四川省南
8、充高中高二（下）第一次月考数学试卷学年四川省南充高中高二（下）第一次月考数学试卷 （理科） （理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）设函数 y的定义域为 A，函数 yln（1x）的定义域为 B，则 AB （ ） A （1，2） B （1，2 C （2，1） D2，1） 【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得 A 和 B，即可求得 AB 【解答】解：由 4x20，解得：2x2，则函数 y的定义域2，2， 由对数函数的定义域可知：1x0，解得：x1，则函数 yln（1x）的定义域（ ，1） ， 则 AB2，1） ， 故选：
9、D 【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题 2 （3 分）设 i 为虚数单位，则|z|（ ） A1 B C D 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z， 然后由复数模的公式计算得答案 【解答】解：， 则|z| 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （3 分）命题“xZ，使 x2+2x10”的否定为（ ） AxZ，x2+2x10 BxZ，x2+2x10 CxZ，x2+2x+10 DxZ，x2+2x10 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命 题的否定 第 6 页（共
10、 21 页） 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得 命题“xZ，使 x2+2x10”的否定为 “xZ，x2+2x10” ， 故选：A 【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等 号的变化，考查转化思想，属于基础题 4 （3 分）设 xR，则“x38”是“|x|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x38 得到|x|2，由|x|2 不一定得到 x38，然后结合查充分条件、必要条 件的判定方法得答案 【解答】解：由 x38，得 x2，则|x|2， 反之，由|x|2，得 x2 或 x2， 则 x
11、38 或 x38 即“x38”是“|x|2”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题 5 （3 分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐 近线方程是（ ） Ax By Cx Dy 【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出 c，令二者相等即可求得 m 和 n 的关 系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程 【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点 3m25n22m2+3n2，整理得 m28n2， 2 双曲线的渐近线方程为 yx 故选：D 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合考查了学生综合运用双
12、曲线的基础的能力 6 （3 分）设点 P 是椭圆1（a2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2| 4，则|PF1|+|PF2|（ ） A4 B8 C4 D4 【分析】利用已知条件求出 c，a，利用椭圆的定义转化求解即可 【解答】解：点 P 是椭圆1（a2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点， |F1F2|4， +416a4， |PF1|+|PF2|2a248， 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查 7 （3 分）若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的 面积为（ ） A B1 C D2
13、 【分析】利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积 【解答】解：由抛物线定义，|PF|xP+12，所以 xP1，|yP|2， 所以，PFO 的面积 S|yP|1 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力 8 （3 分）已知点 A（4，4）在抛物线 C：y22px 上，O 为坐标原点，点 P 是抛物线 C 准 线上一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） A B2 C D2 【分析】根据“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小， 最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值 【解答】解：点 A（4，
14、4）在抛物线 C：y22px 上，可得 p2，准线方程为 x1， 坐标原点关于准线 x1 的对称点的坐标为 B（2，0） ， 第 8 页（共 21 页） |PA|+|PO|PA|+|PB|BA|， 则|PA|+|PO|的最小值为|AB| 故选：D 【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的 距离、对称性化简求值，是一道中档题 9（3 分） 已知平面 ， 的法向量分别为（其中 ， R） ， 若 ，则 + 的值为（ ） A B5 C D5 【分析】利用向量平行的性质直接求解 【解答】解：平面 ， 的法向量分别为（其中 ， R） ， ，解得 6，1， +1+65 故
15、选：D 【点评】本题考查代数式的和的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 10 （3 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PABC 2，AB4，CBAB，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 平行于 AP 的直线为 z 轴，建立空间 直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 PC，AD 所成角的余弦值 【解答】解：三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，PABC2，AB 第 9 页（共 21 页） 4，CBA
16、B， 以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 平行于 AP 的直线为 z 轴，建立空间直角坐 标系， P（0，4，2） ，C（2，0，0） ， A（0，4，0） ，B（0，0，0） ，D（0，2，1） ，（2，4，2） ，（0，2，1） ， 设异面直线 PC，AD 所成角为 ， 则 cos| 所以异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，解题时要注意向量法的合理运 用，是中档题 11 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 AM，点 P 在平 面 ABCD 上，且动点 P
17、到直线 A1D1的距离的平方与点 P 到点 M 的距离的平方的差为 1， 在以 AB、AD 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点 P 的轨迹是（ ） A圆 B抛物线 C双曲线 D直线 【分析】 作 PQAD， 作 QRD1A1， PR 即为点 P 到直线 A1D1的距离， 由勾股定理得 PR2 PQ2RQ21，又已知 PR2PM21，PMPQ，即 P 到点 M 的距离等于 P 到 AD 的 距离 【解答】解：如图所示：正方体 ABCDA1B1C1D1 中，作 PQAD，Q 为垂足，则 PQ 面 ADD1A1，过点 Q 作 QRD1A1， 则 D1A1面 PQR，PR 即为点 P 到直线 A1D1的
18、距离，由题意可得 PR2PQ2RQ21 第 10 页（共 21 页） 又已知 PR2PM21，PMPQ，即 P 到点 M 的距离等于 P 到 AD 的距离，根据抛物 线的定义可得，点 P 的轨迹是抛物线， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想， 得到 PMPQ 是解题的关键 12 （3 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（x1， y1） ，Q（x1，y1）在椭圆 C 上，其中 x10，y10，若|PQ|2|OF2|，|， 则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ） A （0， B （0，2 C （， D （0，1
19、 【分析】设 PF1n，PF2m，由|PQ|2|OF2|，可得四边形 PF1QF2为矩形，可得 QF1 PF2，再由|，转化 m，n 的关系，由题意的定义可得 a，c 与 m，n 的关系， 可得设参数 t， （注意 t 的范围） ，进而可得离心率的范围 【解答】解：设 PF1n，PF2m，由 x10，y10，知 mn， 因为 P，Q 在椭圆 C 上，|PQ|2|OF2|， 所以四边形 PF1QF2为矩形，QF1PF2； 由，可得1， 由椭圆的定义可得 m+n2a，n2+m24c2， 平方相减可得 mn（a2c2）， 第 11 页（共 21 页） 由得； 令 t+， 令 v， 所以 tv+， 即
20、 2， 所以 a2c2c2（a2c2） ， 所以 1e2e2（1e2） ， 所以， 解得； 故选：C 【点评】考查椭圆的性质，椭圆上的点到左右焦点的距离之和为 2a，再由矩形可得到焦 点的距离的平方和为 4c2，换元（注意辅助元的范围）及题意可得 a，c 的关系，属于中 档题 二、填空题二、填空题 13 （3 分） 若复数 z （1+i） m+ （2+i） 为纯虚数 （i 为虚数单位） ， 其中 mR， 则|z| 3 【分析】由 z（1+i）m+（2+i） （i 为虚数单位）为纯虚数，求出 m 的值，由此能求 出|z| 【解答】解：z（1+i）m+（2+i）（m2）+（m+1）i（i 为虚数单
21、位）为纯虚数， ， 解得 m2 z3i， |z|3 故答案为：3 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，熟练掌握纯虚数的 性质和复数的模的求法 第 12 页（共 21 页） 14 （3 分）圆 x2+y2r2在点（x0，y0）处的切线方程为，类似的，可以求得 椭圆在（2，1）处的切线方程为 【分析】与圆类比，椭圆，可写成，在点（x0，y0）处的切线 方程为，故可得结论 【解答】解：圆 x2+y2r2的方程，可写成 xx+yyr2，在点（x0，y0）处的切线方程为 ， 类似地，椭圆，可写成，在点（x0，y0）处的切线方程为 椭圆在（2，1）处的切线方程为 即 故答案为： 【点
22、评】本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证 明过程类似或直接转化为类比对象的结论 15 （3 分）设 F1，F2为双曲线（a0，b0）左，右焦点，过 F2的直线交双 曲线左，右两支于点 M，N，连接 MF1，NF1，若，且， 则双曲线的离心率为 【分析】由题意可得MNF1为等腰直角三角形，设|MF1|NF1|m，则|MN|m，运 用双曲线的定义，求得|MN|4a，可得 m，再由勾股定理可得 a，c 的关系，即可得到所 求离心率 【解答】解：若，且，可得MNF1为等腰直角三角形， 第 13 页（共 21 页） 设|MF1|NF1|m，则|MN|m， 由|MF1|MF
23、2|2a，|NF2|NF1|2a， 两式相加可得|NF2|MF2|MN|4a， 即有 m2a， 在直角三角形 HF1F2中可得 4c24a2+（2a+2a2a）2， 化为 c23a2， 即 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直 角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题 16 （3 分）已知椭圆的方程为：+1，A，B，M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆 顶点） ，若存在锐角 ，使cos+sin， （O 为坐标原点）则直线 OA，OB 的 斜率乘积为 【分析】设 A，B 的坐标，由向量的关系求出 M 的坐标，再由 M 在椭圆上可得 A
24、，B 坐 标之间的关系，进而求出 OA，OB 的斜率之积 【解答】 解： 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 因为cos+sin， 可得 M （x1cos+x2sin， 第 14 页（共 21 页） y1cos+y2sin） 因为 M 点在该椭圆上， +1 可得（+y12） +（+y22）+2（+y1y2）cossin1，* 又因为 A、B 点在也该椭圆上， （）1， （）1， 将代入*中可得注意 cossin0， 所以（）cossin0， 即0， 所以 OA，OB 的斜率乘积， 即直线 OA、OB 的斜率乘积为， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的性质，及平面向量的运算性
25、质，属于中档题 三、解答题三、解答题 17已知 f（x） （1）证明：f（0）+f（1） （2）分别求 f（1）+f（2） ，f（2）+f（3） ； （3）试根据（1） （2）的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论 【分析】 （1）由 f（x）代入计算可得 f（0）+f（1） （2）代入计算可得 f（1）+f（2） ，f（2）+f（3） 第 15 页（共 21 页） （3）由（1） （2）猜想一般结论是：f（x）+f（1+x）代入即可证明结论 【解答】解： （1）证明：f（x） f（0）+f（1）+ （2）f（1）+f（2）+， f（2）+f（3）+ （3）由（1） （2）猜想一般结论是：f
26、（x）+f（1+x） 证明如下： f （x） +f （1+x） + 【点评】本题考查函数解析式及其函数值的计算、猜想归纳能力，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18在公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d （1）求an的通项公式； （2）若 a1，a4，a13成等比数列，求数列的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由题意可得 a13，d2 或 a16，d1，再由等差数列的通项公式可得所 求； （2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求 an，求得 （） ， 再由数列的裂项相消求和可得所求和 【解答】解： （1）公差为 d 的等差数列an
27、中，a1d6，a1N，dN，且 a1d， 可得 a13，d2 或 a16，d1， 则 an3+2（n1）2n+1；或 an6+n1n+5，nN*； （2）a1，a4，a13成等比数列，可得 a1a13a42， 即 a1（a1+12d）（a1+3d）2，化为 d0 或 2a13d， 由（1）可得 a13，d2， 则 an2n+1， 第 16 页（共 21 页） （） ， 可得前 n 项和 Sn（+） （） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方 程思想，考查运算能力，属于基础题 19某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的 5 名学生
28、参加 数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图所示，其中 甲班 5 名学生成绩的平均分是 83，乙班 5 名学生成绩的中位数是 86 （）求出 x，y 的值，且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S12、S22，并根据 结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？ （）从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名求至少有 1 名来自甲班的概率 【分析】 （）由题意知求出 x5，y6从而求出乙班学生的平均数为 83，分别求出 S12和 S22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参 加决赛 （）成绩在 85 分及以上的学生一
29、共有 5 名，其中甲班有 2 名，乙班有 3 名，由此能求 出随机抽取 2 名，至少有 1 名来自甲班的概率 【解答】解： （）由题意知， 解得 x5，y6 乙班学生的平均数 83， S12（7483）2+（8283）2+（8483）2+（8583）2+（9083）227.2， S22（7383）2+（7583）2+（8683）2+（9083）2+（9183）257.2， 甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小， 应该选派甲班的学生参加决赛 第 17 页（共 21 页） （）成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名，其中甲班有 2 名，乙班有 3 名， 随机抽取 2 名，至少有 1 名来自甲班
30、的概率： P10.7 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事 件概率计算公式的合理运用 20如图：在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCDPAABBC，ADCD1， ADC120点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N 在线段 PB 上且 PNPB （1）证明：MN平面 PDC； （2）求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值； （3）求二面角 APCD 的正切值 【分析】 （1） 推导出 AC，在正三角形 ABC 中， BM， DM，从而进 而 MNPD，由此能证明 MN平面 PDC （2）分别以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建
31、立如图的空间直角坐标系，利用向量法 能求出直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值 （3）求出平面 APC 的法向量、平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角 APC D 的正切值 【解答】解： （1）证明：在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAABBC， ADCD1，ADC120，点 M 是 AC 与 BD 的交点， AC， 在正三角形 ABC 中，BM， 在ACD 中，M 为 AC 中点，DMAC， ADCD，又CDA120， 第 18 页（共 21 页） DM， 点 N 在线段 PB 上，且 PNPBMNPD， MN平面 PDC，PD平面 PDC， MN平面 PDC
32、（2）解：BADBAC+CAD90，ABAD， 分别以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系， B（，0，0） ，C（，0） ，A（0，0，0） ，P（0，0，） ，N（，0，） ， M（，0） ， （0，0，） ，（，0） ， 设平面 PAC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （，1，0） ， （0，） ， 设直线 MN 与平面 PAC 所成角为 ， 则 sin 故直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为 （3）解：平面 APC 的法向量 （，1，0） ， D（0，1，0） ，（，） ，（0，1，） ， 设平面 PCD 的法向量 （x，y，z）
33、 ， 则，取 y，得 （1，1） ， 设二面角 APCD 的平面角为 ， 第 19 页（共 21 页） 则 cos，sin， tan 二面角 APCD 的正切值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、二面角的正切值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点（2，1） （1）求抛物线 C 的方程 （2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 2， 求直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意可得抛物线的准线方程，进而求出抛物线
34、的方程； （2）由题意可得与直线 l 平行的直线与抛物线相切，将切线与抛物线联立用判别式等于 0 求出参数之间的关系，且两条直线的距离恰好为：2，又可得参数的关系，进而求出 参数的值，即求出直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意可得抛物线的方程为：y22px，则由题意准线方程为：x2， 即2，所以 p4， 所以抛物线的方程为：y28x； （2）由（1）可得抛物线的焦点 F（2，0） ，由题意显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy+2， 要使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 2，则设直线的左侧与直线平行的 直线 l为：xmy+t， 由题意可得这条直线恰好
35、与抛物线相切，且两条平行线间的距离为 2， 第 20 页（共 21 页） 所以可得可得 y28mx8t0，64m2+32t0，即 t2m2，* 且 2，将*代入可得：，解得：m1， 所以直线 l 的方程为：xy+2，即 x+y20 或 xy20 【点评】考查求抛物线的方程的及直线与抛物线的综合，属于中档题 22已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且经过点（1，） （）求椭圆 C 的方程； （）过点（，0）作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 【分
36、析】 （）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出 a，b，由此能求 出椭圆 C 的方程； （）假设存在点 Q（t，0）满足题设条件，分 AB 与 x 轴重合和 PQ 与 x 轴不重合两种 情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果 【解答】解： （）由题意可得，又 a2b2c2，（2 分） 解得 a24，b21， 所以，椭圆的方程为（4 分） （）存在 x 轴上在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称， 设直线 l 的方程为 x+my0，与椭圆联立可得 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，假设在 x 轴上存在定点 Q（t，0） x1+x2，x1x2 P
37、N 与 QN 关于 x 轴对称，kAQ+kQB0， 即y1（x2t）+y2（x1t）0， ， 第 21 页（共 21 页） ， t 在 x 轴上存在定点 Q（，0） 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 特别地，当直线 l 是 x 轴时，点 Q（，0） 也使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对 称 综上，在 x 轴上存在定点 Q（，0） 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查椭 圆、韦达定理、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想、函数与方程思想，是中档题
