1、设函数 y的定义域为 A，函数 yln（1x）的定义域为 B，则 AB （ ） A （1，2） B （1，2 C （2，1） D2，1） 2 （3 分）设 i 为虚数单位，则|z|（ ） A1 B C D 3 （3 分）命题“xZ，使 x2+2x10”的否定为（ ） AxZ，x2+2x10 BxZ，x2+2x10 CxZ，x2+2x+10 DxZ，x2+2x10 4 （3 分）设 xR，则“x38”是“|x|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐 近线方程是（ ） Ax By Cx D
2、y 6 （3 分）设点 P 是椭圆1（a2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2| 4，则|PF1|+|PF2|（ ） A4 B8 C4 D4 7 （3 分）若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的 面积为（ ） A B1 C D2 8 （3 分）已知点 A（4，4）在抛物线 C：y22px 上，O 为坐标原点，点 P 是抛物线 C 准 线上一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B2 C D2 9 （3 分）方程（x+y1）0 所表示的曲线是（ ） A B C D 10 （3 分）平面内的一条
3、直线将平面分成 2 部分，两条相交直线将平面分成 4 部分，三条 两两相交且不共点的直线将平面分成 7 部分，则平面内六条两两相交且任意三条不 共点的直线将平面分成的部分数为（ ） A16 B20 C21 D22 11 （3 分）已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是椭圆 4x2+y21 上两个不同点，且满足 ，则|2x1+y11|+|2x2+y21|的最大值为（ ） A B4 C D 12 （3 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（x1， y1） ，Q（x1，y1）在椭圆 C 上，其中 x10，y10，若|PQ|2|OF2|，|， 则椭圆 C 的离心
4、率的取值范围为（ ） A （0， B （0，2 C （， D （0，1 二、填空题二、填空题 13（3 分） 若复数 z （1+i） m+ （2+i） 为纯虚数 （i 为虚数单位） ， 其中 mR， 则|z| 14 （3 分）圆 x2+y2r2在点（x0，y0）处的切线方程为，类似的，可以求得 第 3 页（共 21 页） 椭圆在（2，1）处的切线方程为 15 （3 分）设 F1，F2为双曲线（a0，b0）左，右焦点，过 F2的直线交双 曲线左，右两支于点 M，N，连接 MF1，NF1，若，且， 则双曲线的离心率为 16 （3 分）已知椭圆的方程为：+1，A，B，M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆
5、 顶点） ，若存在锐角 ，使cos+sin， （O 为坐标原点）则直线 OA，OB 的 斜率乘积为 三、解答题三、解答题 17已知 f（x） （1）证明：f（0）+f（1） （2）分别求 f（1）+f（2） ，f（2）+f（3） ； （3）试根据（1） （2）的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论 18在公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d （1）求an的通项公式； （2）若 a1，a4，a13成等比数列，求数列的前 n 项和 Sn 19某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的 5 名学生参加 数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分
6、 100 分）的茎叶图如图所示，其中 甲班 5 名学生成绩的平均分是 83，乙班 5 名学生成绩的中位数是 86 （）求出 x，y 的值，且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S12、S22，并根据 结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？ （）从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名求至少有 1 名来自甲班的概率 第 4 页（共 21 页） 20 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， 四边形 ABCD 为矩形， PAD 为等腰三角形， APD 90，平面 PAD平面 ABCD，且 AB1，AD2，E，F 分别为 PC，BD 的中点 （1）证明：EF平面 PAD； （2）
7、证明：平面 PDC平面 PAD； （3）求三棱锥 EABD 的体积 21已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点（2，1） （1）求抛物线 C 的方程 （2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 2， 求直线 l 的方程 22已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且经过点（1，） （）求椭圆 C 的方程； （）过点（，0）作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 第 5 页（共 21
8、 页） 2019-2020 学年四川省南充高中高二（下）第一次月考数学试卷学年四川省南充高中高二（下）第一次月考数学试卷 （文科） （文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）设函数 y的定义域为 A，函数 yln（1x）的定义域为 B，则 AB （ ） A （1，2） B （1，2 C （2，1） D2，1） 【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得 A 和 B，即可求得 AB 【解答】解：由 4x20，解得：2x2，则函数 y的定义域2，2， 由对数函数的定义域可知：1x0，解得：x1，则函数 yln（1x）的定义域（
9、，1） ， 则 AB2，1） ， 故选：D 【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题 2 （3 分）设 i 为虚数单位，则|z|（ ） A1 B C D 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z， 然后由复数模的公式计算得答案 【解答】解：， 则|z| 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （3 分）命题“xZ，使 x2+2x10”的否定为（ ） AxZ，x2+2x10 BxZ，x2+2x10 CxZ，x2+2x+10 DxZ，x2+2x10 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，
10、即可得到所求命 题的否定 第 6 页（共 21 页） 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得 命题“xZ，使 x2+2x10”的否定为 “xZ，x2+2x10” ， 故选：A 【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等 号的变化，考查转化思想，属于基础题 4 （3 分）设 xR，则“x38”是“|x|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x38 得到|x|2，由|x|2 不一定得到 x38，然后结合查充分条件、必要条 件的判定方法得答案 【解答】解：由 x38，得 x2，则|x|2， 反之，
11、由|x|2，得 x2 或 x2， 则 x38 或 x38 即“x38”是“|x|2”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题 5 （3 分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐 近线方程是（ ） Ax By Cx Dy 【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出 c，令二者相等即可求得 m 和 n 的关 系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程 【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点 3m25n22m2+3n2，整理得 m28n2， 2 双曲线的渐近线方程为 yx 故选：D 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方
12、程，圆锥曲线的综合考查了学生综合运用双 曲线的基础的能力 6 （3 分）设点 P 是椭圆1（a2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2| 4，则|PF1|+|PF2|（ ） A4 B8 C4 D4 【分析】利用已知条件求出 c，a，利用椭圆的定义转化求解即可 【解答】解：点 P 是椭圆1（a2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点， |F1F2|4， +416a4， |PF1|+|PF2|2a248， 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查 7 （3 分）若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OF
13、P 的 面积为（ ） A B1 C D2 【分析】利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积 【解答】解：由抛物线定义，|PF|xP+12，所以 xP1，|yP|2， 所以，PFO 的面积 S|yP|1 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力 8 （3 分）已知点 A（4，4）在抛物线 C：y22px 上，O 为坐标原点，点 P 是抛物线 C 准 线上一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） A B2 C D2 【分析】根据“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小， 最后利用平面几何的方法即可求出距
14、离之和的最小值 【解答】解：点 A（4，4）在抛物线 C：y22px 上，可得 p2，准线方程为 x1， 坐标原点关于准线 x1 的对称点的坐标为 B（2，0） ， 第 8 页（共 21 页） |PA|+|PO|PA|+|PB|BA|， 则|PA|+|PO|的最小值为|AB| 故选：D 【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的 距离、对称性化简求值，是一道中档题 9 （3 分）方程（x+y1）0 所表示的曲线是（ ） A B C D 【分析】原方程等价于：，或 x2+y24；两组方程分别表示出圆和不在圆 内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交
15、且去掉圆内的部分 【解答】 解： 原方程等价于：， 或 x2+y24； 其中当 x+y10 需 有意义，等式才成立，即 x2+y24，此时它表示直线 xy10 上不在圆 x2+y24 内的 部分，这是极易出错的一个环节 故选：D 【点评】本题主要考查了曲线与方程的问题考查了考生对曲线方程的理解和对图象分 析的能力 10 （3 分）平面内的一条直线将平面分成 2 部分，两条相交直线将平面分成 4 部分，三条 两两相交且不共点的直线将平面分成 7 部分，则平面内六条两两相交且任意三条不 共点的直线将平面分成的部分数为（ ） A16 B20 C21 D22 第 9 页（共 21 页） 【分析】一条直
16、线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4 部分，三条 直线最多可以把平面分成 7 部分，四条直线最多可以把平面分成 11 部分，可以发现，两 条直线时多了 2 部分，三条直线比原来多了 3 部分，四条直线时比原来多了 4 部分，进 而得到答案 【解答】解：设画 n 条直线，最多可将面分成 f（n）个部分， n1，f（1）1+12， n2，f（2）f（1）+24， n3，f（3）f（2）+37， n4，f（4）f（3）+411， n5 时，f（5）f（4）+516， n6 时，f（6）f（5）+622， 故选：D 【点评】本题考查直线与平面的关系，有一定难度，注意培养由特殊到一般再
17、到特殊的 探究意识 11 （3 分）已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是椭圆 4x2+y21 上两个不同点，且满足 ，则|2x1+y11|+|2x2+y21|的最大值为（ ） A B4 C D 【分析】设 2xm，yn，C（m1，n1） ，D（m2，n2） ，O 为坐标原点，则， ，进一步得到 C、D 两点均在圆 m2+n21 的圆上，且COD60， COD为 等 边 三 角 形 且 |CD| 1 ， 再 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 到 的最大值即可 【解答】解：已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是椭圆 4x2+y21 上两个不同点， 则，设 2xm，yn，
18、C（m1，n1） ，D（m2，n2） ，O 为 坐标原点， 则， ，且， C、D 两点均在圆 m2+n21 的圆上，且COD60， 第 10 页（共 21 页） COD 为等边三角形且|CD|1， 根据点到直线的距离公式，知 为 C、D 两点到直线 x+y10 的距离 d1、d2之和 设 CD 的中点为 E，E 到直线 x+y10 的距离 d3， 则， d1+d2的最大值为， ， |2x1+y11|+|2x2+y21|的最大值为， 故选：C 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，考查了转化思想和计算能 力，属难题 12 （3 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为
19、F1，F2，点 P（x1， y1） ，Q（x1，y1）在椭圆 C 上，其中 x10，y10，若|PQ|2|OF2|，|， 则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ） A （0， B （0，2 C （， D （0，1 【分析】设 PF1n，PF2m，由|PQ|2|OF2|，可得四边形 PF1QF2为矩形，可得 QF1 PF2，再由|，转化 m，n 的关系，由题意的定义可得 a，c 与 m，n 的关系， 可得设参数 t， （注意 t 的范围） ，进而可得离心率的范围 【解答】解：设 PF1n，PF2m，由 x10，y10，知 mn， 因为 P，Q 在椭圆 C 上，|PQ|2|OF2|， 所以四边形 P
20、F1QF2为矩形，QF1PF2； 由，可得1， 由椭圆的定义可得 m+n2a，n2+m24c2， 第 11 页（共 21 页） 平方相减可得 mn（a2c2）， 由得； 令 t+， 令 v， 所以 tv+， 即 2， 所以 a2c2c2（a2c2） ， 所以 1e2e2（1e2） ， 所以， 解得； 故选：C 【点评】考查椭圆的性质，椭圆上的点到左右焦点的距离之和为 2a，再由矩形可得到焦 点的距离的平方和为 4c2，换元（注意辅助元的范围）及题意可得 a，c 的关系，属于中 档题 二、填空题二、填空题 13 （3 分） 若复数 z （1+i） m+ （2+i） 为纯虚数 （i 为虚数单位）
21、， 其中 mR， 则|z| 3 【分析】由 z（1+i）m+（2+i） （i 为虚数单位）为纯虚数，求出 m 的值，由此能求 出|z| 【解答】解：z（1+i）m+（2+i）（m2）+（m+1）i（i 为虚数单位）为纯虚数， ， 解得 m2 z3i， |z|3 故答案为：3 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，熟练掌握纯虚数的 第 12 页（共 21 页） 性质和复数的模的求法 14 （3 分）圆 x2+y2r2在点（x0，y0）处的切线方程为，类似的，可以求得 椭圆在（2，1）处的切线方程为 【分析】与圆类比，椭圆，可写成，在点（x0，y0）处的切线 方程为，故可得结论
22、 【解答】解：圆 x2+y2r2的方程，可写成 xx+yyr2，在点（x0，y0）处的切线方程为 ， 类似地，椭圆，可写成，在点（x0，y0）处的切线方程为 椭圆在（2，1）处的切线方程为 即 故答案为： 【点评】本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证 明过程类似或直接转化为类比对象的结论 15 （3 分）设 F1，F2为双曲线（a0，b0）左，右焦点，过 F2的直线交双 曲线左，右两支于点 M，N，连接 MF1，NF1，若，且， 则双曲线的离心率为 【分析】由题意可得MNF1为等腰直角三角形，设|MF1|NF1|m，则|MN|m，运 用双曲线的定义，求得|MN|
23、4a，可得 m，再由勾股定理可得 a，c 的关系，即可得到所 求离心率 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：若，且，可得MNF1为等腰直角三角形， 设|MF1|NF1|m，则|MN|m， 由|MF1|MF2|2a，|NF2|NF1|2a， 两式相加可得|NF2|MF2|MN|4a， 即有 m2a， 在直角三角形 HF1F2中可得 4c24a2+（2a+2a2a）2， 化为 c23a2， 即 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直 角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题 16 （3 分）已知椭圆的方程为：+1，A，B，M 是
24、椭圆上的任意三点（异于椭圆 顶点） ，若存在锐角 ，使cos+sin， （O 为坐标原点）则直线 OA，OB 的 斜率乘积为 【分析】设 A，B 的坐标，由向量的关系求出 M 的坐标，再由 M 在椭圆上可得 A，B 坐 标之间的关系，进而求出 OA，OB 的斜率之积 第 14 页（共 21 页） 【解答】 解： 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 因为cos+sin， 可得 M （x1cos+x2sin， y1cos+y2sin） 因为 M 点在该椭圆上， +1 可得（+y12） +（+y22）+2（+y1y2）cossin1，* 又因为 A、B 点在也该椭圆上， （）1，
25、 （）1， 将代入*中可得注意 cossin0， 所以（）cossin0， 即0， 所以 OA，OB 的斜率乘积， 即直线 OA、OB 的斜率乘积为， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的性质，及平面向量的运算性质，属于中档题 三、解答题三、解答题 17已知 f（x） （1）证明：f（0）+f（1） （2）分别求 f（1）+f（2） ，f（2）+f（3） ； （3）试根据（1） （2）的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论 【分析】 （1）由 f（x）代入计算可得 f（0）+f（1） 第 15 页（共 21 页） （2）代入计算可得 f（1）+f（2） ，f（2）+f（3） （3）由（1） （
26、2）猜想一般结论是：f（x）+f（1+x）代入即可证明结论 【解答】解： （1）证明：f（x） f（0）+f（1）+ （2）f（1）+f（2）+， f（2）+f（3）+ （3）由（1） （2）猜想一般结论是：f（x）+f（1+x） 证明如下： f （x） +f （1+x） + 【点评】本题考查函数解析式及其函数值的计算、猜想归纳能力，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18在公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d （1）求an的通项公式； （2）若 a1，a4，a13成等比数列，求数列的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由题意可得 a13，d2 或 a16，d1
27、，再由等差数列的通项公式可得所 求； （2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求 an，求得 （） ， 再由数列的裂项相消求和可得所求和 【解答】解： （1）公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d， 可得 a13，d2 或 a16，d1， 则 an3+2（n1）2n+1；或 an6+n1n+5，nN*； （2）a1，a4，a13成等比数列，可得 a1a13a42， 即 a1（a1+12d）（a1+3d）2，化为 d0 或 2a13d， 由（1）可得 a13，d2， 则 an2n+1， 第 16 页（共 21 页） （） ， 可得前 n 项和
28、Sn（+） （） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方 程思想，考查运算能力，属于基础题 19某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的 5 名学生参加 数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图所示，其中 甲班 5 名学生成绩的平均分是 83，乙班 5 名学生成绩的中位数是 86 （）求出 x，y 的值，且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S12、S22，并根据 结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？ （）从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名求至少有 1 名来自甲班的概率
29、【分析】 （）由题意知求出 x5，y6从而求出乙班学生的平均数为 83，分别求出 S12和 S22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参 加决赛 （）成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名，其中甲班有 2 名，乙班有 3 名，由此能求 出随机抽取 2 名，至少有 1 名来自甲班的概率 【解答】解： （）由题意知， 解得 x5，y6 乙班学生的平均数 83， S12（7483）2+（8283）2+（8483）2+（8583）2+（9083）227.2， S22（7383）2+（7583）2+（8683）2+（9083）2+（9183）257.2， 甲、乙两班的平
30、均数相等，甲班的方差小， 应该选派甲班的学生参加决赛 第 17 页（共 21 页） （）成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名，其中甲班有 2 名，乙班有 3 名， 随机抽取 2 名，至少有 1 名来自甲班的概率： P10.7 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事 件概率计算公式的合理运用 20 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， 四边形 ABCD 为矩形， PAD 为等腰三角形， APD 90，平面 PAD平面 ABCD，且 AB1，AD2，E，F 分别为 PC，BD 的中点 （1）证明：EF平面 PAD； （2）证明：平面 PDC平面 PAD
31、； （3）求三棱锥 EABD 的体积 【分析】 （1）利用三角形的中位线有 APEF；利用线面平行的判定定理证明 （2）利用 线面垂直的性质和判定定理证明 （3）利用 PO 为四棱锥 PABCD 的高，h 为 E 到平面 ABD 的距离，E 为 PC 的中点由比例关系得：h和锥体的体积公式计算可得 【解答】解： （1）证明：因为四边形 ABCD 为矩形，E、F 分别为 PC、AB 的中点 连接 AC 交 BD 于 F， 因为：AC 与 BD 相交且互相平分，交点为中点； AC 过点 F，且为中点； E、F 分别为 PC、AB 的中点， 第 18 页（共 21 页） 在PAC 中，EF 为三角形
32、的中位线， APEF； EF面 PAD，PA面 PAD EF面 PAD； （2）证明：四边形 ABCD 为矩形，CDAD， 平面 PAD平面 ABCD，面 PAD面 ABCDAD，CD面 ABCD， CD面 PAD， PA面 PAD， CDPA， 又APD90， PAPD，CDPA（已证） CDPDD PA平面 PCD； PA平面 PAD； 平面 PAD平面 PCD； 即：平面 PDC平面 PAD； （3）取 AD 中点 O，连接 PO， 平面 PAD平面 ABCD 及PAD 为等腰直角三角形， PO面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高， 在 PAD 中，AD2，PO1 为 p
33、点到平面 ABCD 的距离， 三棱锥 EABD 的体积：VSABDh， h 为 E 到平面 ABD 的距离，E 为 PC 的中点由比例关系得： hPO； 第 19 页（共 21 页） SABDABAD121， VSABDh1 【点评】本题考查线面平行，线面垂直，锥体的体积，掌握其判定定理和性质定理是关 键，属于中档题 21已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点（2，1） （1）求抛物线 C 的方程 （2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 2， 求直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意可得抛物线的准线方程，进而求出抛物
34、线的方程； （2）由题意可得与直线 l 平行的直线与抛物线相切，将切线与抛物线联立用判别式等于 0 求出参数之间的关系，且两条直线的距离恰好为：2，又可得参数的关系，进而求出 参数的值，即求出直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意可得抛物线的方程为：y22px，则由题意准线方程为：x2， 即2，所以 p4， 所以抛物线的方程为：y28x； （2）由（1）可得抛物线的焦点 F（2，0） ，由题意显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy+2， 要使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 2，则设直线的左侧与直线平行的 直线 l为：xmy+t， 由题意可得这条直线恰
35、好与抛物线相切，且两条平行线间的距离为 2， 所以可得可得 y28mx8t0，64m2+32t0，即 t2m2，* 且 2，将*代入可得：，解得：m1， 所以直线 l 的方程为：xy+2，即 x+y20 或 xy20 【点评】考查求抛物线的方程的及直线与抛物线的综合，属于中档题 22已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且经过点（1，） （）求椭圆 C 的方程； 第 20 页（共 21 页） （）过点（，0）作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 【
36、分析】 （）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出 a，b，由此能求 出椭圆 C 的方程； （）假设存在点 Q（t，0）满足题设条件，分 AB 与 x 轴重合和 PQ 与 x 轴不重合两种 情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果 【解答】解： （）由题意可得，又 a2b2c2，（2 分） 解得 a24，b21， 所以，椭圆的方程为（4 分） （）存在 x 轴上在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称， 设直线 l 的方程为 x+my0，与椭圆联立可得 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，假设在 x 轴上存在定点 Q（t，0） x1+x2，x1x2
37、PN 与 QN 关于 x 轴对称，kAQ+kQB0， 即y1（x2t）+y2（x1t）0， ， ， t 在 x 轴上存在定点 Q（，0） 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 特别地，当直线 l 是 x 轴时，点 Q（，0） 也使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对 称 综上，在 x 轴上存在定点 Q（，0） 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查椭 第 21 页（共 21 页） 圆、韦达定理、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想、函数与方程思想，是中档题
