1、已知点 P 是边长为 1 的等边三角形 ABC 所在平面外一点，且 PAPBPC2， 则点 P 到平面 ABC 的距离是 8 （3 分）已知直线 l、m 与平面 、，下列命题： 若 l 平行 内的一条直线，则 l； 若 l 垂直 内的两条直线，则 l； 若 m，l，且 m，l，则 ； 若 m，l，且 lm，则 ； 若 l，l 且 m，则 lm； 若 ，l，m，则 lm 其中正确的命题为 （填写所有正确命题的编号） 9 （3 分）设集合 M，其中 、 是复数，若集合 M 中任意两数之积及任意 一个数的平方仍是 M 中的元素，则集合 M 10 （3 分）如图，已知正方体 A1B1C1D1ABCD
2、的棱长为 a，点 P 为线段 BC1上一点，Q 是平面 ABCD 上一点，则 D1P+PQ 的最小值是 第 2 页（共 19 页） 二、选择题二、选择题 11 （3 分）对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c0，在复数范围内其解是 x1、x2，下列结论 中不正确的是（ ） A若 b24ac0，则 x1x2R B若 b24ac0，则 x1R，x2R 且 C一定有 D一定有 12 （3 分）教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在 直线（ ） A平行 B垂直 C相交 D异面 13（3 分） 若 a、 b 为非零实数， 则以下四个命题都成立： ； （a+b） 2a2+2
3、ab+b2； 若|a|b|，则 ab；若 a2ab，则 ab，则对于任意非零复数 a、b，上述命题 中仍为真命题的个数为（ ）个 A1 B2 C3 D4 14 （3 分）在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 Bf（A） 设 ， 是两个 不同的平面，对空间任意一点 P，Q1ff（P），Q2ff（P），恒有 PQ1PQ2， 则（ ） A平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的（锐）二面角为 45 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的（锐）二面角为 60 三、解答题三、解答题 第 3 页（共 19 页） 15在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别是 BC、A1D
4、1的中点 （1）求证：四边形 B1EDF 是菱形； （2）作出直线 A1C 与平面 B1EFD 的交点（写出作图步骤） 16如图，在长方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别是棱 AA1、AB 的中点，ABBC4， AA13，求： （1）EF 与 A1C1所成的角； （2）A1C 与平面 ABCD 所成的角 17如图，在空间四边形 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD90，且 ABBC1， （1）若 CEBD，EFAD，求证：AD平面 CEF； （2）求二面角 CADB 的大小 18复数 z1所对应的点在以点（1，1）及（1，1）为端点的线段上运动，复数 z2满足|z2| 1，求：
5、（1）复数 z1z2模的取值范围； （2）复数对应的点的轨迹方程 第 4 页（共 19 页） 19如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCDADE 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； （）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）3 月月月月 考数学试考数学试卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
6、 一、填空题一、填空题 1 （3 分）设，则 Imz 1 【分析】利用复数的乘除运算法则直接求解 【解答】解：1i， Imz1 故答案为：1 【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的乘除运算法则等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 2 （3 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m 2 【分析】根据纯虚数的定义可得 m210，m210，由此解得实数 m 的值 【解答】解：复数 z（m2+m2）+（m1）i 为纯虚数， m2+m20，m210，解得 m2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m20，m210，是解题的关键，
7、 属于基础题 3 （3 分）若复数 z 满足，则|z| 【分析】设 za+bi，则 abi，利用复数相等，求出 a，b 的值，结合复数的模长公 式进行计算即可 【解答】解：设 za+bi，则 abi， 则由得 3（a+bi）+abi1+i， 即 4a+2bi1+i， 则，得， 第 6 页（共 19 页） 则|z|， 故答案为： 【点评】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解 决本题的关键 4 （3 分）若 z 是实系数方程 x2+2x+p0 的一个虚根，且|z|2，则 p 4 【分析】设出复数 z，利用已知条件，结合韦达定理，及|z|2，求得 p 【解答】解：设
8、za+bi，则方程的另一个根为 zabi，且， 由韦达定理直线 z+z2a2，a1， 所以 故答案为：4 【点评】本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，复数的模，是中档题 5 （3 分）已知空间四边形 ABCD 中，ACBD2，点 E、F 分别是边 BC 和 AD 的中点， 且，则直线 AC 和 BD 所成角的大小是 【分析】由异面直线所成角的作法得：分别取 CD、AB 的中点为 G、H，连接 EG、GF、 FH、EH，得四边形 EGFH 为平行四边形，且 ACEH，BDFH，则EHF（或其补角） 为直线 AC 和 BD 所成角的平面角， 再求出该角即可得解 【解答】解：分别取 CD、
9、AB 的中点为 G、H， 连接 EG、GF、FH、EH，得四边形 EGFH 为平行四边形， 且 ACEH，BDFH， 则EHF（或其补角）为直线 AC 和 BD 所成角的平面角， 又 EHHF1，EF， 易得EHF， 即直线 AC 和 BD 所成角的大小是， 故答案为： 第 7 页（共 19 页） 【点评】本题考查了异面直线所成角的作法，属中档题 6 （3 分）已知在长方体 A1B1C1D1ABCD 中，AB4，BC3，CC13，则直线 AB1与平 面 ACC1A1所成角的大小是 arcsin 【分析】利用面面垂直的性质作出 B1在平面 ACC1A1上的垂足 E，连接 AE 得 AB1的射 影
10、，即得斜线与平面所成的角，求解不难 【解答】解： 如图，在上底面作 B1EA1C1 于 E， 连接 AE， 易知EAB1 即为 AB1与平面 ACC1A1 所成的角， 利用所给数据，求得 AB15，EB1， sinEAB1， EAB1arcsin， 故答案为：arcsin 【点评】此题考查了斜线与平面所成的角，难度不大 7 （3 分）已知点 P 是边长为 1 的等边三角形 ABC 所在平面外一点，且 PAPBPC2， 第 8 页（共 19 页） 则点 P 到平面 ABC 的距离是 【分析】取 BC 中点 D，连结 AD，过 P 作 PO平面 ABC，交 AD 于 O，则 AOAD ，由此能求出
11、点 P 到平面 ABC 的距离 【解答】解：取 BC 中点 D，连结 AD，过 P 作 PO平面 ABC，交 AD 于 O， 点 P 是边长为 1 的等边三角形 ABC 所在平面外一点，且 PAPBPC2， AOAD， 点 P 到平面 ABC 的距离是： PO 点 P 到平面 ABC 的距离是 故答案为： 【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 8 （3 分）已知直线 l、m 与平面 、，下列命题： 若 l 平行 内的一条直线，则 l； 若 l 垂直 内的两条直线，则 l； 若 m，l，且 m，l，
12、则 ； 若 m，l，且 lm，则 ； 若 l，l 且 m，则 lm； 若 ，l，m，则 lm 第 9 页（共 19 页） 其中正确的命题为 （填写所有正确命题的编号） 【分析】，根据直线与平面平行的判定定理知命题错误； ，根据直线与平面垂直的判定定理知命题错误； ，根据平面与平面平行的判定定理知命题错误； ，根据平面与平面垂直的判定定理知命题错误； ，由直线与平面平行的性质定理知命题正确； ，由平面与平面平行的性质定理知命题正确 【解答】解：对于，若 l 平行 内的一条直线，则 l 不一定成立，如 l 时， 错误； 对于，若 l 垂直 内的两条直线，则 l 不一定成立，如 内的这两条直线平行时
13、， 错误； 对于，若 m，l，且 m，l，则由平面与平面平行的判定定理，不能得出 ，错误； 对于，若 m，l，且 lm，则由平面与平面垂直的判定定理，不能得出 ， 错误； 对于，若 l，l 且 m，则由直线与平面平行的性质定理，得出 lm，正 确； 对于，若 ，l，m，则由平面与平面平行的性质定理，即可判定 l m，正确 综上，其中正确的命题序号为 故答案为： 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的判定与性质的应用问题，是基础题 9 （3 分）设集合 M，其中 、 是复数，若集合 M 中任意两数之积及任意 一个数的平方仍是 M 中的元素，则集合 M 1，0，1或1， 【分析】 根据集合 M
14、 中任意两数之积及任意一个数的平方仍是 M 中的元素， 分两种情况 讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析 【解答】解：集合 M 中任意两数之积仍是 M 中的元素，所以会出现两者相乘等于自身的 第 10 页（共 19 页） 情况，也有可能均不等于自身的情况，即 ，或者， 当 时，1 或 0， 1，若 0，则 或 ， 故 1 或 1， 又因为集合 M 中任意一个数的平方仍是 M 中的元素，所以剩下一个数必为1， 所以集合 M1，0，1， 2，1 时，则必须 1， 又因为集合 M 中任意一个数的平方仍是 M 中的元素，则 2， 解得，或， 所以，集合 M1， （2）当
15、，时，三个等式相乘则得到（）2， 所以得到 0 或 1， 1，若 0，则三者必有一个是 0，同（1）可得集合 M1，0，1； 2，若 1，则得到 21，1， 当 1 时，则可得到 1 且 ，则不成立； 当 1 时，则 ，不成立； 故答案为：1，0，1或1， 【点评】本题考查了子集与交集，并集运算的转换，属基础题 10 （3 分）如图，已知正方体 A1B1C1D1ABCD 的棱长为 a，点 P 为线段 BC1上一点，Q 是平面 ABCD 上一点，则 D1P+PQ 的最小值是 （1+）a 第 11 页（共 19 页） 【分析】把CBC1沿 BC1上转 90，与平面 BC1D1共面，当 D1QBC
16、时，D1P+PQ D1Q 最小 【解答】 解： 把CBC1沿 BC1上转 90， 与平面 BC1D1共面， 当 D1QBC 时， D1P+PQ D1Q 最小， PD1a，PQaa， 所以 D1P+PQ 的最小值为（1+）a， 故答案为： （1+）a 【点评】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短 距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问 题 二、选择题二、选择题 11 （3 分）对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c0，在复数范围内其解是 x1、x2，下列结论 中不正确的是（ ） A若 b24ac0，则 x1x2R B若 b2
17、4ac0，则 x1R，x2R 且 C一定有 D一定有 【分析】根据题意，利用一元二次方程求根公式和根与系数的关系，对选项中的命题分 析、判断正误即可 【解答】解：对于 A，b24ac0 时，x1x2R，A 正确； 对于 B，设b24ac0，则 x1R，x2R， 求出 x1，x2，则，B 错误； 对于 C，由根与系数的关系知，C 正确； 对于 D，D 正确 故选：B 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查了一元二次方程的求根公式和根与系数的关系应用问题，是基础题 12 （3 分）教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在 直线（ ） A平行 B垂直 C相交 D异
18、面 【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项 【解答】解：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它 与直尺所在直线垂直 若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与 此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直 综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直 线垂直 故选：B 【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直 与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案 13（3 分） 若 a、 b 为非零实数， 则以下四
19、个命题都成立： ； （a+b） 2a2+2ab+b2； 若|a|b|，则 ab；若 a2ab，则 ab，则对于任意非零复数 a、b，上述命题 中仍为真命题的个数为（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确的结 论 【解答】解：对于，当 ai 时，a+i+0，不成立； 对于，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，成立； 对于，在复数集 C 中，|1|i|，则 ai，b1 时，i1 不成立，不成立； 对于，根据复数的运算法则知，若 a2ab，则 ab，成立； 综上，上述命题仍然成立的所有序号是 故选：B 【点评】本题考查了复数的概
20、念和性质以及其基本的运算法则应用问题，是基础题 14 （3 分）在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 Bf（A） 设 ， 是两个 不同的平面，对空间任意一点 P，Q1ff（P），Q2ff（P），恒有 PQ1PQ2， 第 13 页（共 19 页） 则（ ） A平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的（锐）二面角为 45 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的（锐）二面角为 60 【分析】设 P1是点 P 在 内的射影，点 P2是点 P 在 内的射影根据题意点 P1在 内的射影与 P2在 内的射影重合于一点， 由此可得四边形 PP1Q1P2为矩形， 且P1Q1P2 是二面角
21、l 的平面角，根据面面垂直的定义可得平面 与平面 垂直，得到本题 答案 【解答】解：设 P1f（P） ，则根据题意，得点 P1是过点 P 作平面 垂线的垂足 Q1ff（P）f（P1） ， 点 Q1是过点 P1作平面 垂线的垂足 同理，若 P2f（P） ，得点 P2是过点 P 作平面 垂线的垂足 因此 Q2ff（P）表示点 Q2是过点 P2作平面 垂线的垂足 对任意的点 P，恒有 PQ1PQ2， 点 Q1与 Q2重合于同一点 由此可得，四边形 PP1Q1P2为矩形，且P1Q1P2是二面角 l 的平面角 P1Q1P2是直角，平面 与平面 垂直 故选：A 【点评】本题给出新定义，要求我们判定平面 与
22、平面 所成角大小，着重考查了线面 垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题 三、解答题三、解答题 15在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别是 BC、A1D1的中点 （1）求证：四边形 B1EDF 是菱形； 第 14 页（共 19 页） （2）作出直线 A1C 与平面 B1EFD 的交点（写出作图步骤） 【分析】 （1）取 AD 中点 G，连接 FG，BG，可证四边形 B1BGF 为平行四边形，四边形 BEDG 为平行四边形，得到四边形 B1EDF 为平行四边形， 再由B1BEB1A1F，可得 B1EB1F，得到四边形 B1EDF 是菱形； （2）连接 A1C
23、和 AC1，则 A1C 与 AC1的交点 O，即为直线 A1C 与平面 B1EFD 的交点 【解答】 （1）证明：取 AD 中点 G，连接 FG，BG，如图 1 所示， 则 B1BFG，B1BFG， 四边形 B1BGF 为平行四边形，则 BGB1F， 由 ABCDA1B1C1D1为正方体，且 E，G 分别为 BC，AD 的中点， 可得 BEDG 为平行四边形，BGDE，BGDE， 则 B1FDE，且 B1FDE， 四边形 B1EDF 为平行四边形，由B1BEB1A1F，可得 B1EB1F， 四边形 B1EDF 是菱形； （2）连接 A1C 和 AC1，则 A1C 与 AC1的交点 O， 即为直
24、线 A1C 与平面 B1EFD 的交点，如图所示 第 15 页（共 19 页） 【点评】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力， 是中档题 16如图，在长方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别是棱 AA1、AB 的中点，ABBC4， AA13，求： （1）EF 与 A1C1所成的角； （2）A1C 与平面 ABCD 所成的角 【分析】 （1）利用中位线把异面直线所成角转化为BA1C1，用余弦定理求解； （2）直接得到 A1C 在底面的射影 AC，利用正切值求角 【解答】解： （1）连接 EF，A1B，BC1， 则 EFA1B， BA1C1（或其补角）即为
25、EF 与 A1C1所成的角， ABBC4，AA13， A1B5，BC15，A1C14， cosBA1C1， 故 EF 与 A1C1所成的角为：arccos （2）连接 AC， 易知ACA1即为 A1C 与平面 ABCD 所成的角， 第 16 页（共 19 页） tanACA1 故 A1C 与平面 ABCD 所成的角为：arctan 【点评】此题考查了异面直线所成角，线面所成角，难度不大 17如图，在空间四边形 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD90，且 ABBC1， （1）若 CEBD，EFAD，求证：AD平面 CEF； （2）求二面角 CADB 的大小 【分析】 （1）推导出 ABCE，
26、CEBD，从而 CE平面 ABD，进而 CEAD，再由 EF AD，能证明 AD平面 CEF （2）以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过点 C 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CADB 的大小 【解答】证明： （1）AB平面 BCD，CE平面 BCD，ABCE， CEBD，ABBDB，CE平面 ABD，CEAD， EFAD，CEEFE， AD平面 CEF 解： （2）以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过点 C 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立 空间直角坐标系， ABBC1， 第 17 页（共 19 页）
27、A（0，1，1） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，D（，0，0） ， （） ，（0，0，1） ，（0，1，1） ， 设平面 ADC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （0，1，1） ， 设平面 ADB 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，0） ， 设二面角 CADB 的平面角为 ， 则 cos 二面角 CADB 的大小为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 18复数 z1所对应的点在以点（1，1）及（1，1）为端点的线段上运动，复数 z
28、2满足|z2| 1，求： （1）复数 z1z2模的取值范围； （2）复数对应的点的轨迹方程 【分析】 （1）根据复数模的定义运算可得； （2）设 z12（x，y） ，z121b2+2bi，则，消去参数 b 可得 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （1）依题意得 z11+bi， （1b1） ， |z1z2|z1|z2|z1|1， （2）z121b2+2bi， 设 z12（x，y） ，则，消去 b 得 y244x， （0x1） 【点评】本题考查了复数的运算，属基础题 19如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCDADE 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 C
29、D 所成的角为 90 （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； （）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 【分析】 （I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，由点 E 为 AD 的中点，可得 AEEDAD， 由 BCCDAD，可得 EDBC，已知 EDBC可得四边形 BCDE 为平行四边形， 即 EBCD利用线面平行的判定定理证明得直线 CM平面 PBE 即可 （II）如图所示，由ADCPAB90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90ABCD M，可得 AP平面 ABCD由 CDPD，PAAD因此PDA 是二面
30、角 PCDA 的平面角，大小为 45PAAD不妨设 AD2，则 BCCDAD1可得 P（0， 0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计 算公式即可得出 【解答】解： （I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，点 E 为 AD 的中点，AEEDAD， BCCDAD，EDBC， ADBC，即 EDBC四边形 BCDE 为平行四边形，即 EBCD ABCDM，MCD，CMBE， BE平面 PBE，CM平面 PBE， 第 19 页（共 19 页） MAB，AB平面 PAB， M平面 PAB，故在平面 PAB 内可以找到一点 M（MABCD） ，使得直
31、线 CM平面 PBE （II）如图所示，ADCPAB90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90，AB CDM， AP平面 ABCD CDPD，PAAD 因此PDA 是二面角 PCDA 的平面角，大小为 45 PAAD 不妨设 AD2，则 BCCDAD1P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ， （1，1，0） ，（0，1，2） ，（0，0，2） ， 设平面 PCE 的法向量为 （x，y，z） ，则，可得： 令 y2，则 x2，z1， （2，2，1） 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ， 则 sin 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象 能力、推理能力与计算能力，属于中档题
