1、 第 1 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司【新结构】【新结构】2023-2024 学年安徽省皖中名校联盟高二（下）第四次教学年安徽省皖中名校联盟高二（下）第四次教学质量检测数学试卷学质量检测数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为()A.或 B.或 C.D.2.在一组样本数据为不全相等 的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.B.C.D.1 3.下列结论中错误的个数是()命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；命题“R，”是存
2、在量词命题；命题“R，”的否定为“R，”；命题“是的必要条件”是真命题 A.0 B.1 C.2 D.3 4.若正实数 x，y 满足，则的最大值为()A.B.C.D.5.已知等差数列和的前 n项和分别为和，且，则()A.B.C.D.第 2 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 6.某试卷中 1道选择题有 6 个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为()A.B.C.D.7.已知 P 是函数图象上的任意一点，则点 P 到直线的距离的最小值是()A.B.5 C.6 D.8.将编号为的小球放入编号
3、为的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为()A.90 B.135 C.264 D.270 二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前 n项的积，且，则下列结论正确的是()A.B.C.D.与均为的最大值 10.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个 5位的二进制数例如：若，则，其中二进制数 A的各位数中，已知，出现 0 的概率为，出现 1的概率为，记，现在计算器启动一次，则下列说法正确
4、的是()A.B.C.D.11.偶函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.设集合，则集合 A的真子集个数为_.第 3 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 13.以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，则实数 k的值为_.14.若函数在上存在单调递增区间，则 m 的取值范围是_ 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题 12分 在的展开式中，前 3 项的系数的绝对值成等差数列.求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和;求展开式中所
5、有的有理项.16.本小题 12分 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了 100 名司机，得到以下统计：在 55名男性司机中，开车时使用手机的有 40人，开车时不使用手机的有 15人；在 45 名女性司机中，开车时使用手机的有 20人，开车时不使用手机的有 25 人 完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取 8人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记 X为开车时不
6、使用手机的男性司机人数，求 X 的分布列和数学期望 参考数据：k 参考公式：，其中 17.本小题 12分 已知数列是以公比为 1，首项为 3的等比数列，且 求出的通项公式；第 4 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 设，数列的前 n 项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.18.本小题 12分 已知椭圆过点，且半焦距 求椭圆 C 的标准方程；如图，已知，过点的直线 l与椭圆相交于两点，直线与 x轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由 19.本小题 12分 已知函数，其中。当时，讨论函数的单调性；当时，证明其中 e为自然对数的底数 第 5
7、 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了利用韦恩图表示的集合运算，属于基础题.图中的阴影部分表示的集合为，再利用集合的基本运算求解【解答】解：集合，或，由韦恩图可知，图中的阴影部分表示的集合为，或或 故选：2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了相关系数，属于基础题 根据直线方程可得相关系数 【解答】解：由题意可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点 都在直线上，则有 ，样本相关系数 3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了量词的分类，还考查了不等式的性质的应用，属于基础题 根据
8、存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案【解答】对于：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故正确；对于：命题“R，”是全称量词命题；故错误；对于：命题 p：R，则：R，故错误；对于：当时，得不到，“”不是“”的必要条件；错误；即错误的有 3个，故选：第 6 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 4.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题 根据等式计算得出 1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答】解：，当且仅当 ，即，时等号成立，.故选：5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式性质及其前
9、n项和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题 利用等差数列和的前 n项和的性质可得：，即可得出【解答】解：由等差数列前 n 项和公式可设：从而 ，所以 ，故选 C 6.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查条件概率，以及互斥事件的概率加法公式，属于难题.设 A 事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”.表示出，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解【解答】解：设 A 事件为“该考生不知道正确答案”，B 事件为“该考生答对了”.第 7 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 则 所以所求概率为 故选：A 7.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查的是
10、导数的几何意义，属于基础题.结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可.【解答】解：设直线 l 与直线 平行，且与函数 的图象相切，设切点为 ，因为 是单调递增函数，直线 的斜率为 1，所以 ，解得 ，即切点为 ，所以点 P 到直线 的距离的最小值是点 Q 到直线 的距离，即为 .故选 8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用，是中档题.使用间接法结合计数原理可求出结果.【解答】解：根据题意，有且只有 1 个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选 1 个，放入与其编号相同的小球，有 种选法，剩下的 5个盒子的编号与放入的小球编号不相同，所有排列方法有 种，其中 4
11、个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为 种，3个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为 种，2 个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为 种，全部都对上的有 1种。综上，则不同的放法种数为：种放法.故选 C 第 8 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 9.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属于基础题 根据题意，由等比数列的性质依次分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，是各项为正数的等比数列，q 是其公比，是其前 n 项的积，由 可得 ，故 C正确；由 可得 ，则 ，故 A正确；是各项为正数的等比数列，则有 ，对于 C，则
12、有 ，B 错误，对于 D，则 与 均为 的最大值，D正确，故选：ACD 10.【答案】BD 【解析】【分析】本题考查 n 次独立重复实验概率公式、二项分布，以及数学期望的计算，属于中档题.先确定 X 的可能取值，再求出相应取值的概率，进而得到数学期望，即可得到答案.【解答】解：由题意，计算器启动一次，随机变量 X的可能取值为 1，2，3，4，5，则 ，第 9 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 ，综上 A，C错误，B，D 正确 故选 BD 11.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造新函数，求出奇偶性和单调性，再对选项逐
13、个判断即可.【解答】解：偶函数 满足对于任意 ，有 ，令 ，则当 时，在 上单调递增，因为 为偶函数，所以 ，又当 时，故 在 上是偶函数，即 即，故 A 错误；，故 B 正确；，故 C正确；，故 D 错误 故选：BC 12.【答案】63 第 10 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查集合的表示，考查集合的真子集个数的求法 化简集合 A，进而能求出集合 A的真子集的个数【解答】解：集合 ，集合 A的真子集有 个 故答案为 63 13.【答案】2 【解析】【分析】本题考查回归直线方程，属于基础题.由题意取对数可得，由回归直线过和已知数据可得答案.【解答】解：由题意
14、可得 ，又 ，回归直线过 ，所以 ，故 ，解得 故答案为：2 14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数以及方程有解问题，属于中档题.利用参数分离，构造新函数，进而可得结论.【解答】解：函数 在区间 上存在单调递增区间，只需 在区间 上有解，即 在区间 上有解，所以 在区间 上有解，所以 令 ，则 令 ，则 在 上单调递增，所以 ，第 11 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 即 ，所以 ，所以实数 m的取值范围是 故答案为：15.【答案】解：展开式的通项为，因为前 3项的系数的绝对值成等差数列，且前三项系数为 ，所以 ，即 ，所以 舍去 或，因为 ，所有展开式中二项式系数最大的
15、项为第五项，即，令 得 ，即展开式系数和为；通项公式：，当 、6 时对应的项为有理项，有理项分别为：；【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题 根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三者的绝对值成等差数列可求出 n；根据 n 的值可确定二项式系数最大的项，再令可求各项的和；写出二项展开式通项，再由为整数确定有理项.16.【答案】解：填写列联表，如下；开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联.根据数表，计算，有的把握认为开车时使用手机
16、与司机的性别有关.第 12 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 开车时不使用手机的男性司机人数为：人;开车时不使用手机的女性司机人数为：人.由题意可知：X 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 则 【解析】本题重点考查独立性检验和离散型随机变量的分布列、期望，属于一般题.完善列联表，利用卡方公式求出观测值，对照临界值表即可判断；由分层抽样求出对应人数，得 X的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望.17.【答案】解：数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，当时，即 ，又 也满足上式，数列 的通项公式为，第 13 页，共 16 页 学科网
17、（北京）股份有限公司 由，可得 ，由-，得 ，不等式 可化为 ，即 对任意的 恒成立，即转化为 令 ，且易得 为递增数列，又 ，所以 ，综上，的取值范围是 【解析】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前 n 项和，考查数列的函数特性，是中档题 由 利用累加法求出 的通项公式，进而求出 的通项公式.由 得，利用错位相减法求出，不等式 可转化为，利用的单调性求出最小值即可.18.【答案】解：设椭圆 C的左、右焦点分别为 ，则 ，由椭圆的定义可得 ，解得 ，所以 ，所以椭圆 C的标准方程为 .第 14 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 设直线 l的方程为
18、，当直线 AP 的斜率不存在时，易知直线 BP 与椭圆 C相切，不符合题意，同理可得直线 AQ 的斜率存在，故直线 AP 的方程为 ，则 ，即 ，同理 .由 得 ，由 得 ，又 ，所以 ，故 为定值，且 .【解析】本题考查了椭圆中的定值问题，直线和椭圆的位置关系应用，属较难题.由椭圆的定义可得 ，进而由已知求得 b，得出结果 设直线 l 的 y 轴截距式方程：，结合直线方程可得 ，联立直线方程与椭圆方程有 ，结合根与系数的关系可得 ，则 为定值 第 15 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 19.【答案】解：由题意得，函数的定义域为 ，当时，或；当时，；当时，或；综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.当时，由，只需证明，令，则在内单调递增，且，设，则 当时，单调递减；当时，单调递增，当时，取得唯一的极小值，也是最小值.的最小值是：成立.故成立.第 16 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，属于中档题.首先根据题意判断函数的定义域，再求导函数，分类讨论 a的取值，判断函数的单调性即可.将证明转化为证明，构造新的函数，进行求导分析单调性求出最值即可.