1、2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）i2022的值为（）A1B1CiDi2（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A6B6.5C7D5.53（5分）向量a与b不共线，AB=a+kb，AC=la+b（k，lR），且AB与AC共线，则k，l应满足（）Ak+l0Bkl0Ckl+10Dkl104（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A34B2C4D3245（5分）已知向量a=(cos，sin)，b=(2，-1)，若ab，则tan(+4)=（）A3B
2、-13C13D36（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A15B310C25D127（5分）在ABC中，下列命题正确的个数是（）AB-AC=BC；AB+BC+CA=0；若（AB-AC）（AB+AC）0，则ABC为等腰三角形；ACAB0，则ABC为锐角三角形A1B2C3D48（5分）已知锐角ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Bsin2AsinAsinC，c3，则a的取值范围是（）A（23，2）B（1，2）C（1，3）D（32，3）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
3、求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）设复数zi+2i2，则下列结论正确的是（）Az的共轭复数为2iBz的虚部为1Cz在复平面内对应的点位于第二象限D|z+1|=2（多选）10（5分）下列说法中错误的是（）A已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+b的夹角为锐角，则实数(-53，+)B向量e1=(2，-3)，e2=(12，-34)不能作为平面内所有向量的一组基底C若ab，则存在唯一实数使得a=bD非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60o（多选）11（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二
4、枚出现偶数点”，事件C“两枚骰子出现点数和为8”，事件D“两枚骰子出现点数和为9”，则（）AA与B互斥BC与D互斥CA与D独立DB与C独立（多选）12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A45，c2，下列说法正确的是（）A若a=3，ABC有两解B若a3，ABC有两解C若ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，22)D若ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0，2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13（5分）设有两组数据：x1，x2，xn与y1，y2，yn，它们之间存在关系式：yiaxi+b（i1，2，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为x2和y2，
5、则x2和y2之间的关系是 14（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 15（5分）已知向量a=(2，1)，b=(x，2)，若b在a方向上的投影向量为a，则x的值为 16（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，其中第17题
6、10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）设=-12+32i（1）求证：1+20；（2）计算：（1+2）（1+2）18（12分）已知sin=45，(2，)，cos=-513，是第三象限角（）求tan2的值；（）求cos（+）的值19（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到ACBDCB，ACD为钝角，AC5，AD7，sinADC=267（1）求sinACB的值；（2）若测得BDCBCD，求待测径长AB20（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的
7、发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40，100内，将笔试成绩按照40，50），50，60），90，100分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线21（12分）如图，三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，且面ABC面BCD，CDBC（1）求证：CDAB；（2）当AD与平面BCD所成角为45时，求二面角CADB的余弦值22（12分）设ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分
8、线段BC（如图所示）（1）求ABAP1+AP1AP2的值；（2）Q为线段AP1上一点，若AQ=mAB+112AC，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当PAPC取最小值时，求cosPAB的值2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）i2022的值为（）A1B1CiDi【解答】解：i2022i21故选：B2（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A6B6.5C7D5.5【解答】解：由题意可知，共有10个数字，则第
9、60百分位数的位置为1060%6，即在第6位和第7位上的数字和的平均数5+62=5.5故选：D3（5分）向量a与b不共线，AB=a+kb，AC=la+b（k，lR），且AB与AC共线，则k，l应满足（）Ak+l0Bkl0Ckl+10Dkl10【解答】解：a，b不共线，la+b0，且AB与AC共线，存在实数，使a+kb=(la+b)，l=1k=，kl10故选：D4（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A34B2C4D324【解答】解：依题意，设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l1，则l2r2+h21，底面周长为2r=12(21)，则r=12，h=1-(12
10、)2=32，该圆锥的表面积为Sr2+rl=4+2=34故选：A5（5分）已知向量a=(cos，sin)，b=(2，-1)，若ab，则tan(+4)=（）A3B-13C13D3【解答】解：因为向量a=(cos，sin)，b=(2，-1)，若ab，所以cos2sin0，可得tan=-12，则tan(+4)=tan+11-tan=-12+11-(-12)=13故选：C6（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A15B310C25D12【解答】解：从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，共有C53=10种取法，而取出的三条线段能构成一
11、个三角形的情况有4，6，8和4，8，10以及6，8，10，共3种，故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=310故选：B7（5分）在ABC中，下列命题正确的个数是（）AB-AC=BC；AB+BC+CA=0；若（AB-AC）（AB+AC）0，则ABC为等腰三角形；ACAB0，则ABC为锐角三角形A1B2C3D4【解答】解：AB-AC=CBBC；所以不正确；AB+BC+CA=0；满足向量的运算法则，所以正确；若（AB-AC）（AB+AC）0，可得AB2-AC2=0，所以|AB|=|AC|，则ABC为等腰三角形；所以正确；ACAB0，可知A为锐角，但是则ABC不一定是锐角三角形所以不正确故选：B8（
12、5分）已知锐角ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Bsin2AsinAsinC，c3，则a的取值范围是（）A（23，2）B（1，2）C（1，3）D（32，3）【解答】解：sin2Bsin2AsinAsinC，由正弦定理可得b2a2ac，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得a2+c22accosBa2+ac，又c3，可得a=31+2cosB，锐角ABC中，B（0，2），所以cosB（0，1），所以a=31+2cosB（1，3），因为cosC=a2+b2-c22ab0，所以a2+b2c2，又b2a2ac，所以2a2+acc20，所以2a2+3a90，即（2a3）（a+3
13、）0，解得a32所以a（32，3），故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）设复数zi+2i2，则下列结论正确的是（）Az的共轭复数为2iBz的虚部为1Cz在复平面内对应的点位于第二象限D|z+1|=2【解答】解：zi+2i22+i，对于A，z=-2-i，故A错误，对于B，z的虚部为1，故B正确，对于C，z在复平面内对应的点（2，1）位于第二象限，故C正确，对于D，z+12+i+11+i，则|z+1|=(-1)2+12=2，故D正确故选：BCD（多选）10（5分）下列
14、说法中错误的是（）A已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+b的夹角为锐角，则实数(-53，+)B向量e1=(2，-3)，e2=(12，-34)不能作为平面内所有向量的一组基底C若ab，则存在唯一实数使得a=bD非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60o【解答】解：A.a+b=(1+，2+)，a与a+b的夹角为锐角，a(a+b)0且a与a+b不共线，1+2(2+)02+-2(1+)0，解得-53，且0，(-53，0)(0，+)，A错误；Be1=4e2，e1与e2共线，不能作为基底，B正确；C若ab，且b0时，才存在唯一的，使得a=b，C错误；D如图，作OA=
15、a，OB=b，则BA=a-b，|a|=|b|=|a-b|，OAB为等边三角形，a与a+b的夹角为30，D错误故选：ACD（多选）11（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，事件C“两枚骰子出现点数和为8”，事件D“两枚骰子出现点数和为9”，则（）AA与B互斥BC与D互斥CA与D独立DB与C独立【解答】解：对于A，记（x，y）表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，则事件A包含事件（1，2），事件B也包含事件（1，2），所以AB，故A与B不互斥，故A错误；对于B，事件C包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）
16、共5件，事件D包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）共4件，故CD，即C与D互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有6636件，事件A的基本事件有3618件，故P(A)=1836=12，由选项B知P(D)=436=19，而事件AD包含的基本事件有（3，6），（5，4）共2件，故P(AD)=236=118，所以P（AD）P（A）P（D），故A与D独立，故C正确；对于D，事件B的基本事件有6318件，故P(B)=1836=12，由选项B知P(C)=536，而事件BC包含的基本事件有（2，6），（4，4），（6，2）共3件，故P(BC)=336=112，所以P(B)P(C)=1
17、2536=572112=P(BC)，故B与C不独立，故D错误故选：BC（多选）12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A45，c2，下列说法正确的是（）A若a=3，ABC有两解B若a3，ABC有两解C若ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，22)D若ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0，2)【解答】解：由A45，c2，过点B作BDAC，垂足为D.BDcsinA2sin45=2，由a=3满足232，此时ABC有两解a32时，ABC只有一解若ABC为钝角三角形，则C或B为钝角，则0b2或b22若ABC为直角三角形，则C或B为直角，则b=2，b22若ABC为锐角三角形
18、，则2b22综上可得：只有AC正确故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13（5分）设有两组数据：x1，x2，xn与y1，y2，yn，它们之间存在关系式：yiaxi+b（i1，2，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为x2和y2，则x2和y2之间的关系是y2a2x2【解答】解：两组数据：x1，x2，xn与y1，y2，yn，它们之间存在关系式：yiaxi+b即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b，在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，x2和y2之间的关系是y2a2x2，故答案为：y2a2x2，14（5分）边长为5、7、8的三
19、角形的最大角与最小角之和为 23【解答】解：边长为a5、b7、c8的三角形ABC中，cosB=52+82-72258=12，B（0，），B=3，ABC的最大角C与最小角A的和为B=23故答案为：2315（5分）已知向量a=(2，1)，b=(x，2)，若b在a方向上的投影向量为a，则x的值为 32【解答】解：a=(2，1)，b=(x，2)，ab=2x+2，|a|=4+1=5，b在a方向上的投影向量为ab|a|a|a|=2x+25a，b在a方向上的投影向量为a，2x+25=1，x=32故答案为：3216（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，
20、H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 1003【解答】解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x0）cm，则OI=x2，IE=6-x2，因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，所以4x2(6-x2)=2x2，解得x4设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，则 QP=QC=R，OC=22，OP=16-4=23，所以 R2=
21、(23-R)2+(22)2，解得R=53，所以外接球的表面积为S=4(53)2=1003故答案为：1003四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）设=-12+32i（1）求证：1+20；（2）计算：（1+2）（1+2）【解答】（1）证明：=-12+32i，2=-12-32i，1+21+（-12+32i）+（-12-32i）0；（2）解：（1+2）（1+2）1-12+32i（-12-32i）1（-12+32i）+（-12-32i）=(1+3i)(1-3i) 12118（12分）已知sin=45，(2，)，co
22、s=-513，是第三象限角（）求tan2的值；（）求cos（+）的值【解答】解：（）sin=45，(2，)，cos=-1-sin2=-35，tan=sincos=-43，tan2=2tan1-tan2=247（）cos=-513，是第三象限角，sin=-1-cos2=-1213，故cos（+）coscossinsin=636519（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到ACBDCB，ACD为钝角，AC5，AD7，sinADC=267（1）求sinACB的值；（2）若测得BDCBCD，求待测径长AB【解答】解：（1
23、）在ACD中，由正弦定理可得：ACsinADC=ADsinACD5267=7sinACD，则sinACD=265，因为ACBDCB，因为ACD为钝角，所以cosACD=-15，所以cosACD=1-2sin2ACBsinACB=155（2）在ACD，由余弦定理可得：cosACD=-15=25+CD2-4925CD，解得：CD4或CD6（舍去），因为BDCBCD，所以BDBC，在BCD，cosBDC=cosBCD=105，由余弦定理可得：cosBDC=105=CD2+BD2-BC22CDBD=168BD=2BD，解得：BD=BC=10，cosBDC=105，sinBDC=155，sinADC=2
24、67，cosADC=57，cosADBcos（BDCADC）cosBDCcosADC+sinBDCsinADC=10557+155267=510+61035=111035，在ABD，由余弦定理可得：AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=10+49-2107111035=15，故AB=1520（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40，100内，将笔试成绩按照40，50），50，60），90，100分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值
25、；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）101，解得a0.020（2）应聘者笔试成绩的众数为：70+802=75，应聘者笔试成绩的平均数为：450.05+550.1+650.2+750.3+850.2+950.1574.5（3）由频率分布直方图可知：90，100中有：2000.1530，80，90）中有：2000.240，70，80）中有：2000.360，60，70）中有：2000.240，设分数线定为x，
26、则x60，70），（70x）0.02200+30+40+60150，解得x65故分数线为6521（12分）如图，三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，且面ABC面BCD，CDBC（1）求证：CDAB；（2）当AD与平面BCD所成角为45时，求二面角CADB的余弦值【解答】解：（1）在三棱锥ABCD中，面ABC面BCD，面ABC面BCDBC，又CDBC，CD面BCD，CD面ABC，又AB面ABC，CDAB；（2）取BC中点F，连接AF，DF，如图，所以AFBC，面ABC面BCD，面ABC面BCDBC，因为AF平面ABC，于是得AF平面BCD，ADF是AD与平面BCD所成角，即ADF45，令BC2
27、，则DFAF=3，因CDBC，即有DC=2，由（1）知DCAC，则有ADBD=6，过C作COAD于O，在平面ABD内过O作OEAD交BD于点E，从而得COE是二面角CADB的平面角，RtACD中，CO=ACCDAD=23，OD=CD2-CO2=(2)2-(23)2=63，ABD中，由余弦定理得cosEDO=AD2+BD2-AB22ADBD=6+6-4266=23DE=ODcosEDO=62，OE=DE2-OD2=306，显然E是RtBCD斜边中点，则CE=12BD=62，COE中，由余弦定理得cosCOE=CO2+EO2-CE22COEO=43+3036-64223306=1010二面角CAD
28、B的余弦值为101022（12分）设ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）（1）求ABAP1+AP1AP2的值；（2）Q为线段AP1上一点，若AQ=mAB+112AC，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当PAPC取最小值时，求cosPAB的值【解答】解：（1）原式=AP1(AB+AP2)=2AP12，在ABP1中，由余弦定理，得AP12=1+116-2114cos600=1316，所以ABAP1+AP1AP2=138；（2）易知BP1=14BC，即AP1-AB=14(AC-AB)，即AP1=34AB+14AC，因为Q为线段AP1上一点，设AQ=AP=34AB+14AC=mAB+112AC，所以m=14；（3）当P在线段BP2上时（不含P2），此时PAPC0，当P在线段P2C上时（不含P2），PAPC0，要使当PAPC最小，则P必在线段P2C上，设|PC|=x，由于AP2BC，则PAPC=|PA|PC|cosAPC=|PC|2（|PP2|）x（x-12）x2-12x当x=14时，即当P为P3时，PAPC最小，此时 由余弦定理可求得cosPAB=52613第17页（共17页）
