1、2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分1（5分）已知复数z1+2i（i为虚数单位），则z2（）A3+2iB3+4iC5+2iD5+4i2（5分）函数f(x)=cosx-3sinx在0，2的最大值是（）A2B0C1D33（5分）如图，在正方体ABCDABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值是（）A63B33C22D124（5分）若钝角三角形的边长分别为a，a+3，a+6，则实数a的取值范围为（）A（3，9）B（0，9）C（3，+）D（9，+）5（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，的
2、值为（）A6B4C3D26（5分）已知ABC是正三角形，若点M满足AM=13AB+12AC，则AM与AC夹角的余弦值为（）A63B36C1912D419197（5分）如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角CABE，EABF，FABD的平面角分别为1，2，3，则（）A123B123C132D1328（5分）已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，AD平面ABC，BAC=2，AD2，若球O的表面积为22，则三棱锥ABCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）A6B212C252D272二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
3、目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若，m，n，则mnD若，m，n，则mn（多选）10（5分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c4：5：6，则（）AA：B：C4：5：6BsinA+sinC2sinBCcosC=18D3sinA8sin2C（多选）11（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果记“x+y7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x3”为
4、事件C，则（）AA与B互斥BA与B对立CA与C相互独立DB与C相互独立（多选）12（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为22，则（）A棱台的侧面积为127B棱台的体积为286C棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为77三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在平行四边形ABCD中，AE=2ED，BF=FC，AC=AE+AF，则 14（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 15（5分）如图，在ABC中，AC2，A=3，点D在线段AB上，且AD2DB，sinACD=7sinBCD，则ABC的面
5、积为 16（5分）在ABC中，若cosB=22，则（tan2A3）sin2C的最小值为 四、解答题：共6小题，共70分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在直角坐标系xOy中，设向量a=（2sin，1），b=（1，sin（+3），R（1）若ab=0，求tan的值；（2）若ab，且（0，2），求的值18（12分）已知向量a，b满足|a|=1，b=(1，3)（1）若|a+2b|=3，求|2a-3b|的值；（2）若a(a-b)=0，求a在b上的投影向量的坐标19（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点（1）求证：OE平面BCC1B1；（
6、2）求证：平面B1DC平面B1DE20（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率21（12分）
7、如图，在ABC中，AB=2，BC2，以AC为边，向ABC外作正方形ACDE，连接BD（1）当ABBC时，求B到直线DE的距离；（2）设ABC（0），试用表示BD，并求BD的最大值22（12分）如图，已知ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGA（323）（1）分别记AGM，AGN的面积为S1，S2，试将S1，S2表示为的函数；（2）求y=1S12+1S22的最大值与最小值2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
8、合题目要求的1（5分）已知复数z1+2i（i为虚数单位），则z2（）A3+2iB3+4iC5+2iD5+4i【解答】解：z2（1+2i）21+4i43+4i，故选：B2（5分）函数f(x)=cosx-3sinx在0，2的最大值是（）A2B0C1D3【解答】解：由已知可得，f(x)=2(12cosx-32sinx)=2cos(x+3)，因为0x2，所以3x+356，又ycosx在3，56上单调递减，所以，当x+3=3，即x0时，函数取得最大值f(0)=2cos3=1故选：C3（5分）如图，在正方体ABCDABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值是（）A63B
9、33C22D12【解答】解：取CD的中点M，连结ME，FM，因为F，M分别为AB，DC的中点，所以FMAD，又ADAD，所以ADFM，则EFM即为异面直线AD与EF所成角，不妨设正方体的棱长为2，则FM2，EM=1+1=2，所以EF=22+(2)2=6，在RtEFM中，cosEFM=FMEF=26=63，所以异面直线AD与EF所成角的余弦值是63故选：A4（5分）若钝角三角形的边长分别为a，a+3，a+6，则实数a的取值范围为（）A（3，9）B（0，9）C（3，+）D（9，+）【解答】解：由已知得a+a+3a+6a2+(a+3)2(a+6)2，3a9故选：A5（5分）如图，在五个正方形拼接而成
10、的图形中，的值为（）A6B4C3D2【解答】解：由图可得tan3，tan=12，tan（）=tan-tan1+tantan=3-121+312=1，02，02，-22，的值为4故选：B6（5分）已知ABC是正三角形，若点M满足AM=13AB+12AC，则AM与AC夹角的余弦值为（）A63B36C1912D41919【解答】解：AM=13AB+12AC，且ABC是正三角形，|AM|2=19|AB|2+13ABAC+14|AC|2=19|AB|2+16|AB|2+14|AB|2=1936|AB|2，|AM|=196|AB|，AMAC=13ABAC+12AC2=16|AB|2+12|AB|2=23|
11、AB|2，cosAM，AC=AMAC|AM|AC|=23|AB|2196|AB|AB|=41919，AM与AC夹角的余弦值为41919故选：D7（5分）如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角CABE，EABF，FABD的平面角分别为1，2，3，则（）A123B123C132D132【解答】解：如图1，在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG，DG，则CGAB，DGAB，而CGDGG，所以AB平面CDG，连接EG，FG，因为EG平面CDG，FG平面CDG，所以ABEG，ABFG由二面角的平面角的定义可以判断1CGE，2EGF，3FGD，由对称性容易判断13设该正四
12、面体的棱长为6，如图2，CD6，易得CG=DG=33，取CD的中点H，则GHCD，CE2，EHHF1，在GCH中，由勾股定理可得GH=GC2-CH2=32，于是GE=GF=(32)2+12=19于是，在GCE中，由余弦定理可得cos1=(33)2+(19)2-2223319=757，在GEF中，由余弦定理可得cos2=(19)2+(19)2-2221919=1719，而(757)2=4957=9311083(1719)2=289361=86710837571719，即1cos1cos2012，于是132故选：D8（5分）已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，AD平面ABC，BAC=2，
13、AD2，若球O的表面积为22，则三棱锥ABCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）A6B212C252D272【解答】解：取BC中点E，BAC90，E为ABC的外接圆圆心，过E作AD的平行线，由球的性质可知，球心O必在此平行线上，作OFAE，交AD于F，如图所示：OA=OE2+AE2，OD=OF2+DF2=AE2+DF2，OAOD，AFDFOE=12AD1，球O的表面积为22球O的半径R=222，设ABx，ACy，由R=OC=CE2+OE2=x2+y24+1=222，得：x2+y218，三棱锥ABCD侧面积SSABD+SACD+SABC=122x+122y+12xyx+y+12xy，由x2+y
14、22xy，得：xy9，（当且仅当xy3时取等号），又（x+y）2x2+y2+2xy18+x2+y236（当且仅当xy3时取等号），S6+92=212（当且仅当xy3时取等号）故选：B二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若，m，n，则mnD若，m，n，则mn【解答】解：A若m，n，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此A不正确；B若m，m，则，因此B正确；C若，m，n，则mn，因此C
15、正确；D若，m，n，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此D不正确故选：BC（多选）10（5分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c4：5：6，则（）AA：B：C4：5：6BsinA+sinC2sinBCcosC=18D3sinA8sin2C【解答】解：对于A，由题意可知，sinA：sinB：sinCa：b：c4：5：6，但推不出A：B：C4：5：6，故A错误；对于BC，由a：b：c4：5：6，不妨设a4k，b5k，c6k，则a+c2b，由正弦定理可得，sinA+sinC2sinB，故B正确；cosC=16k2+25k2-36k224k5k=18，故C正确；又sin
16、Asin2C=a2ccosC=4k12kcosC=83，故3sinA8sin2C，故D正确故选：BCD（多选）11（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果记“x+y7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x3”为事件C，则（）AA与B互斥BA与B对立CA与C相互独立DB与C相互独立【解答】解：对于A，事件：A“x+y7”包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），事件B“xy为奇数”，包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，
17、1），（5，3），A与B不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；P（A）=666=16，P（B）=966=14，P（C）=1866=12，P（AC）=366=112，P（A）P（C）=1612=112，P（AC）P（A）P（C），P（BC）=366=112P（B）P（C），B与C不相互独立，A与C独立，故C正确，D错误故选：AC（多选）12（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为22，则（）A棱台的侧面积为127B棱台的体积为286C棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
18、77【解答】解：根据题意，如图所示，作正四棱台ABCDA1B1C1D1，依次分析选项：对于A，在侧面梯形ABB1A1中，A1B12，AB4，则AH=12（42）1，则斜高A1H=8-1=7，故梯形ABB1A1的面积S=(4+2)72=37，故棱台的侧面积S4S127，A正确；对于B，底面ABCD为正方形，则HMAH1，A1H=7，则棱柱的高A1M=7-1=6，故棱台的体积VOA=13（4+16+8）6=2863，B错误；对于C，棱台的侧棱与底面所成的角即A1AM，则余弦值cosA1AM=AMAA1=12，C正确；对于D，棱台的侧面ABB1A1与底面ABCD所成锐二面角的平面角为DHM，则cos
19、DHM=HMA1H=17=77，D正确故选：ACD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在平行四边形ABCD中，AE=2ED，BF=FC，AC=AE+AF，则34【解答】解：由AE=2ED，BF=FC得：AD=32AE，BF=12AD=34AE，在平行四边形ABCD中，由加法的平行四边形法则可得：AC=AD+AB，故AC=32AE+FB-FA=32AE-34AE+AF=34AE+AF，故=34，答案为：3414（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 4【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，所以2r2，h
20、2，所以h2，r=1，所以圆柱的体积为r2h=4故答案为：415（5分）如图，在ABC中，AC2，A=3，点D在线段AB上，且AD2DB，sinACD=7sinBCD，则ABC的面积为 332【解答】解：在ACD中，由正弦定理得ADsinACD=CDsinA，即ADsinACD=CDsin3，（1）在BCD中，由正弦定理得BDsinBCD=CDsinB，（2）又sinACD=7sinBCD，（3），联立（1）（2）（3）得，sinB=217，在ABC中，由正弦定理得BCsin3=ACsinB，可得BC=232217=7，由余弦定理得cosA=AC2+AB2-BC22ACAB=AB2-322AB
21、=12，即AB22AB30，因为AB0，解得AB3，因此，ABC的面积为SABC=12ABACsin3=123232=332故答案为：33216（5分）在ABC中，若cosB=22，则（tan2A3）sin2C的最小值为 42-6【解答】解：因为cosB=22，所以B45，则（tan2A3）sin2C（tan2A3）sin22（A+B）（tan2A3）sin（2A+2）=-sin2A-3cos2Acos2Acos2A=-1-cos2A2-31+cos2A21+cos2A2cos2A=2(1+2cos2A)cos2A1+cos2A，令t1+cos2A，因为A（0，34），所以t（0，2），=21
22、+2(t-1)(t-1)t=2(2t2-3t+1)t=4t+1t2624t2t-642-6，当且仅当4t=1t2，即t=22时取等号故答案为：42-6四、解答题：共6小题，共70分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在直角坐标系xOy中，设向量a=（2sin，1），b=（1，sin（+3），R（1）若ab=0，求tan的值；（2）若ab，且（0，2），求的值【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，已知向量a=（2sin，1），b=（1，sin（+3），R，ab=0，2sin+sin（+3）0，即2sin+sincos3+cossin3=0，即52sin+32cos0，ta
23、n=-35；（2）ab，2sinsin（+3）1，2sin2cos3+2sincossin3=1，12（1cos2）+32sin21，整理得32sin2-12cos2=12，所以sin（2-6）=12，又（0，2），所以2-6（-6，56），所以2-6=6，即=618（12分）已知向量a，b满足|a|=1，b=(1，3)（1）若|a+2b|=3，求|2a-3b|的值；（2）若a(a-b)=0，求a在b上的投影向量的坐标【解答】解：（1）由题得|b|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4ab+17=9，ab=-2|2a-3b|=4a2-12ab+9b2=4+24+36=8；（2）a(a-
24、b)=a2-ab=1-ab=0，ab=1，|a|cosa，b=ab|b|=12，投影向量坐标为12b|b|=(14，34)，投影向量坐标为(14，34)19（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点（1）求证：OE平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC平面B1DE【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1B1CF，连接OF，2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OFDC，且OF=12DC，又E为AB中点，所以EBDC，且d11，从而d2=d3=32，即四边形OEBF是平行四边形，所以OEBF，6分又OE面BCC1B1，BF面BCC1B1，所以
25、OE面BCC1B18分（2）因为DC面BCC1B1，BC1面BCC1B1，所以BC1DC，10分又BC1B1C，且DC，B1C面B1DC，DCB1CC，所以BC1面B1DC，12分而BC1OE，所以OE面B1DC，又OE面B1DE，所以面B1DC面B1DE14分20（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（
26、2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：10（0.010+0.015+a+0.030+0.010）1，解得a0.035；（2）平均数为：200.1+300.15+400.35+500.3+600.141.5岁，因为0.1+0.150.250.5，0.1+0.15+0.350.60.5所以中位数落在35，45）内，设中位数为m，则100.010+100.015+（m35）0.0350.
27、5，所以m42.1岁；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，设从5人中随机抽取2人，为a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，b1，b2，b1，b3，b2，b3共10个样本点，这2人恰好在同一组的样本点为a1，a2，b1，b2，b1，b3，b2，b3共4个，所以P=410=2521（12分）如图，在ABC中，AB=2，BC2，以AC为边，向ABC外作正方形ACDE，连接BD（1）当ABBC时，求B到直线DE的距离；（2）设ABC
28、（0），试用表示BD，并求BD的最大值【解答】解：（1）在ABC中，AB=2，BC2，又ABC是以AC为斜边的直角三角形，可得AC=22+(2)2=6，则点B到AC的距离h=ABBCAC=226=233，得B到DE的距离为6+233（2）在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcos642cos，所以CD2BC2642cos设ACB，在BCD中，由余弦定理得BD2BC2+CD22BCCDcos（+2）BC2+CD2+2BCACsin4+642cos+4SABC1042cos+42sin10+8sin（-4），0于是当=34时，BD2最大为18，即BD的最大值为3222（12分）如
29、图，已知ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGA（323）（1）分别记AGM，AGN的面积为S1，S2，试将S1，S2表示为的函数；（2）求y=1S12+1S22的最大值与最小值【解答】解：（1）因为点G是正ABC的中心，所以AG=23AD=23在AMG中，BAG=6，AMG=-6-=56-，所以MG=AGsin30sin(56-)=33sin(56-)=13sin(6+)，在ANG中，同理，可得NG=33sin(-6)所以S1=12AGMGsin=sin3sin(6+)(323)，S2=12AGNGsin(-)=sin3sin(-6)(323)；（2）y=1S12+1S22=9sin2(6+)sin2+9sin2(-6)sin2=91-cos(3+2)+1-cos(2-3)2sin2 =9(2-cos2)2sin2 =92sin2+9，因为323，所以=2时，ymin=272；当=3或=23时，ymax15第19页（共19页）
