1、2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）已知zC，i为虚数单位，若zi1i，则z（）A1iB1iC1+iDi2（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2，A45，B60，则a（）A263B2C22D43（5分）直线a，b互相平行的一个充分条件是（）Aa，b都平行于同一个平面Ba，b与同一个平面所成角相等Ca，b都垂直于同一个平面Da平行于b所在平面4（5分）在四边形ABCD中，已知OA+OC=OB+OD，则四边形ABCD为（）A矩形B菱形C正方形D平行四边形5（5分）某同学投掷一枚骰子5次
2、，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（）A0B1C2D36（5分）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB平面MNP的是（）ABCD 7（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A“第二次摸出的球是红球”，事件B“两次摸出的球颜色相同”，事件C“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是（）AP(B)=25BP（C）1P（A）CP(AB)=45DP(AB)=1108（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA16，AD8，E为棱AD
3、上一点，且AE6，平面A1BE上一动点Q满足AQEQ=0，设P是该长方体外接球上一点，则P，Q两点间距离的最大值是（）A34+26B34+22C34+11D34+6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）已知复数z，其共轭复数为z，下列结论正确的是（）Azz=|z|2Bz2=|z|2Cz+z=0D|z|+|z|z+z|（多选）10（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则
4、（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差B昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差C郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数D郑州月平均气温的第一四分位数为10（多选）11（5分）平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a与b夹角为3，且|a-c|=|b-c|，则下列结论正确的是（）A|c|的最小值为32B|a-c|+|
5、c|的最小值为22C|a-c|+|b-c|的最大值为3Dc(b-c)的最大值为1（多选）12（5分）如图，在长方形ABCD中，AB1，AD4，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿直线BF进行翻折，将CDE沿直线DE进行翻折的过程中，则（）A直线AB与直线CD可能垂直B直线AF与CE所成角可能为60C直线AF与平面CDE可能垂直D平面ABF与平面CDE可能垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M“电路是通路”包含的样本点个数为 14（5分）已知平面向量a=(2，0)，b=(1，1)，则b=(
6、1，1)在a方向上的投影向量的模为 15（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 16（5分）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO3OC，AD的中点为E，BE3，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）关于x的一元二次方
7、程x2+（a+1）x+40（aR）有两个根x1，x2，其中x1=1+3i（1）求a的值；（2）设x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度18（12分）在菱形ABCD中，AE=13AD，BF=23BC，记AB=a，AD=b（1）用a，b表示EF；（2）若BDEF=ABDA，求cosA的值19（12分）如图，正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO1的体积为16（1）求圆柱OO1的表面积；（2）若ABF30，求点F到平面BDE的距离20（12分）现行国家标准GB27622012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留
8、量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率21（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，已知bcosCccosB2a（1）若ca，求B的大小；（2）若c2a，过B作AB的垂线交AC于D，求BCBDS的
9、取值范围22（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD4，点E是边AD上的动点，沿BE将ABE翻折至ABE，使二面角ABEC为直二面角（1）当AE3时，求证：ABCE；（2）当线段AC的长度最小时，求二面角CABE的正弦值2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知zC，i为虚数单位，若zi1i，则z（）A1iB1iC1+iDi【解答】解：z=1-ii=-i+i2-i2=-1-i1=-1-i故选：B2（5分）在ABC中，内角A，B，C所对
10、的边分别是a，b，c，已知b2，A45，B60，则a（）A263B2C22D4【解答】解：因为b2，A45，B60，由正弦定理可得，asinA=bsinB，则a=bsinAsinB=22232=263故选：A3（5分）直线a，b互相平行的一个充分条件是（）Aa，b都平行于同一个平面Ba，b与同一个平面所成角相等Ca，b都垂直于同一个平面Da平行于b所在平面【解答】解：当a，b都平行于同一个平面时，两直线可能异面，A错误；当a，b与同一个平面所成角相等时，直线a，b可能相交，B错误；当a，b都垂直于同一个平面时，直线a，b一定平行，C正确；当a平行于b所在平面时，a，b也可能异面，D错误故选：C
11、4（5分）在四边形ABCD中，已知OA+OC=OB+OD，则四边形ABCD为（）A矩形B菱形C正方形D平行四边形【解答】解：OA+OC=OB+OD，OA-OB=OD-OC，BA=CD，四边形ABCD为平行四边形故选：D5（5分）某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（）A0B1C2D3【解答】解：设这五个数为x1，x2，x3，x4，x5，则(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2=2因为(xi-3)2，i=1，2，3，4，5为正整数，所以这五个数必有3个3，另外两个为2或4又x1+x
12、2+x3+x4+x515，所以这五个数为3，3，3，2，4，点数2出现的次数为1故选：B6（5分）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB平面MNP的是（）ABCD 【解答】解：对于A：连接MB，NC，由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足AB平面MNP，故A错误；对于B：如图所示，G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为ABEM，因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB平面MNP，故B错误；对于C：连接AD，交MN与点O，连接PO，因为O，P分别为AD，BD中点，所以P
13、OAB，由线面平行的判定定理可知，AB平面MNP，故C正确；对于D：D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，取AC的中点为O，连接MO，由中位线定理可知，ABMO，因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB平面MNP，故D错误；故选：C7（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A“第二次摸出的球是红球”，事件B“两次摸出的球颜色相同”，事件C“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是（）AP(B)=25BP（C）1P（A）CP(AB)=45DP(AB)=110【解答
14、】解：依题意，事件A，C对立，P（A）+P（C）1，故B正确；设盒子中有m个红球，5m个黄球，P(A)=m5m-14+5-m5m4=4m20=25m=2P(AB)=2514=110，P(B)=2514+3524=25，故AD正确；P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=710，故C错误故选：C8（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA16，AD8，E为棱AD上一点，且AE6，平面A1BE上一动点Q满足AQEQ=0，设P是该长方体外接球上一点，则P，Q两点间距离的最大值是（）A34+26B34+22C34+11D34+6【解答】解：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线
15、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设Q（x，y，z），长方体外接球球心记为O，则O（3，4，3），A（6，8，0），B（0，8，0），E（6，2，0），A1（6，8，6），EQ=(x-6，y-2，z)，AQ=(x-6，y-8，z)，EB=(-6，6，0)，EA1=(0，6，6)，OQ=(x-3，y-4，z-3)EQAQ=0，（x6）2+（y2）（y8）+z20，又动点Q在面A1BE上，所以可设EQ=EB+EA1，则x-6=-6y-2=6+6z=6，即x=6-6y=2+6+6z=6，将代入中整理得22+22+2+，在三棱锥AA1BE中，AEABAA16且AE，AB，AA1两两互相垂直，所以三棱
16、锥AA1BE为正三棱锥且底边BE=62，当AQ面A1BE时，|AQ|最小，在正三棱锥AA1BE中，由等体积法有1312666=13126262sin3|AQ|，解得|AC|=23，又|EQ|=(x-6)2+(y-2)2+z2，先代入再代入有|EQ|=36(22+22+2)=6+，则6+=26，此时+有最大值，解得(+)max=23当点Q与点E重合时，满足EQAQ=0，|AQ|最大，此时（+）min0，则+0，23，点Q到外接球球心距离为|OQ|=(x-3)2+(y-4)2+(z-3)2，将代入中整理得|OQ|=36(22+22+2)-60(+)+22，又22+22+2+，所以|OQ|=-24(
17、+)+22，因为+0，23，所以当+0时，|OQ|max=22，因为长方体外接球半径为1262+82+62=34，所以P，Q两点间距离的最大值为34+22故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）已知复数z，其共轭复数为z，下列结论正确的是（）Azz=|z|2Bz2=|z|2Cz+z=0D|z|+|z|z+z|【解答】解：设za+bi（a，bR），则z=a-bi，对于A，zz=（a+bi）（abi）a2+b2，|z|2=(a2+b2)2=a2+b2，则zz=|z|
18、2，故选项A正确；对于B，z2（a+bi）2a2b2+2abi，|z|2=(a2+b2)2=a2+b2，则z2|z|2，故选项B不正确；对于C，z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a0，故选项C错误；对于D，|z|+|z|=2a2+b2，|z+z|=2|a|，因为2a2+b22a2=2|a|，当且仅当b0时等号成立，所以|z|+|z|z+z|，故选项D正确故选：AD（多选）10（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312
19、.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差B昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差C郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数D郑州月平均气温的第一四分位数为10【解答】解：对于A，昆明月平均气温的极差为21.69.312.3，郑州月平均气温的极差为28.92.92612.3，故A正确；对于B，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中，所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差
20、，故B错误；对于C，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，16.8，19，20.4，21.2，21.3，21.5，21.6，则昆明月平均气温的中位数为16.8+192=17.9，郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，则郑州的月平均气温的中位数为15.2+16.52=15.8517.9，郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；对于D，因为1214=3，所以郑州月平均气温的第一四分位数为8.7+11.32=10，故D正
21、确故选：ACD（多选）11（5分）平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a与b夹角为3，且|a-c|=|b-c|，则下列结论正确的是（）A|c|的最小值为32B|a-c|+|c|的最小值为22C|a-c|+|b-c|的最大值为3Dc(b-c)的最大值为1【解答】解：不妨设a=(1，0)，由于|b|=2，a与b夹角为3，则b=(1，3)或b=(1，-3)，设c=(x，y)，则|(1-x，-y)|=|(1-x，3-y)|或|(1-x，-y)|=|(1-x，-3-y)|，所以(1-x)2+(-y)2=(1-x)2+(3-y)2或(1-x)2+(-y)2=(1-x)2+(-3-y)2，解得y=
22、32或y=-32，则c=(x，32)或c=(x，-32)，对于A，|c|=x2+3434=32，选项A正确；对于B，当c=(x，32)时，设a=OA，c=OC，作点O关于直线y=32对称的点O1，如图，则|a-c|+|c|=|CA|+|OC|=|CA|+|O1C|O1A|=(3)2+12=2；当c=(x，-32)时，设a=OA，c=OC，作点O关于直线y=-32对称的点O2，如图，则|a-c|+|c|=|CA|+|OC|=|CA|+|O2C|O2A|=(3)2+12=2，选项B错误；对于C，当c=(x，32)时，设a=OA，c=OC，b=OB=(1，3)，如图，则|a-c|+|b-c|=|CA
23、|+|CB|，由于点C在直线y=32上运动，则|CA|+|CB|无最大值，同理当c=(x，-32)，此时b=(1，-3)时，|CA|+|CB|也无最大值，选项C错误；对于D，当c=(x，32)时，b=(1，3)，则c(b-c)=(x，32)(1-x，32)=-x2+x+34=-(x-12)2+11；当c=(x，-32)时，b=(1，-3)，则c(b-c)=(x，-32)(1-x，-32)=-x2+x+34=-(x-12)2+11，选项D正确故选：AD（多选）12（5分）如图，在长方形ABCD中，AB1，AD4，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿直线BF进行翻折，将CDE沿直线DE进行
24、翻折的过程中，则（）A直线AB与直线CD可能垂直B直线AF与CE所成角可能为60C直线AF与平面CDE可能垂直D平面ABF与平面CDE可能垂直【解答】解：如图，将ABF沿直线BF进行翻折，得到以BF为轴，线段AF绕BF旋转形成的一个圆锥，点A在圆锥的底面圆周上，同理将CDE沿直线DE进行翻折的过程中，点C也在相应的圆锥的底面圆周上，对于A，如图，在长方形ABCD中，ABCD，CD旋转形成的圆锥的轴截面张角CDC最大，由AB1，AD4，则CE2，tanEDC=ECCD=21，所以EDC45，则CDC90，假设ABF不作旋转，CD在旋转过程中可以与旋转前的初始位置CD垂直，即CD在旋转过程中可以与
25、AB垂直，故选项A正确对于B，由选项A同理可得tanDEC=CDEC=1233，则DEC30，轴截面张角CEC60，则直线AF与CE所成角不可能为60，故选项B错误；对于C，若直线AF与平面CDE垂直，则直线AF与CE垂直，由选项B可知，CEC60，直线AF不可能与CE垂直，所以直线AF与平面CDE不可能垂直，故选项C错误；对于D，易知当平面ABF不作旋转，平面CDE旋转到与平面BEDF垂直时，平面ABF与平面CDE垂直，故选项D正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M“电路是通路”包含
26、的样本点个数为 3【解答】解：设元件正常为1，失效为0，由A，B两个元件组成并联电路，则至少有一个元件正常，故事件M包含的样本点为（1，1），（1，0），（0，1）共3个故答案为：314（5分）已知平面向量a=(2，0)，b=(1，1)，则b=(1，1)在a方向上的投影向量的模为 1【解答】解：b=(1，1)在a方向上的投影向量的模为|b|cosa，b|=|ab|a|=|21+01|22+02=1故答案为：115（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥
27、，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 66【解答】解：如图所示：将多面体放置于正方体中，连接MC，设MC的中点为E，连接EF，CF，因为M，C分别为中点，所以MCNF，且ME=NF=12MC，则四边形MEFN为平行四边形，所以MNEF，所以直线MN与平面ABCD所成角即为直线EF与平面ABCD所成角，又MC平面ABCD，所以直线EF与平面ABCD所成角即为EFC，设正方体的棱长为2，则EC=1，CF=22+12=5，EF=EC2+CF2=6，所以sinEFC=ECEF=16=66，即直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为66故答案
28、为：6616（5分）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO3OC，AD的中点为E，BE3，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 25【解答】解：以点O为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系设BD2a，AC4t（a0，t0），则A(0，-3t)，B(a，0)，C(0，t)，D(-a，0)，E(-a2，-32t)因为BE=(-32a，-32t)，所以94(a2+t2)=9，即a2+t242at，当且仅当a=t=2时，取等号筝形ABCD的面积为2a124t=4at8即当a=t=2时，筝形ABCD的面积最大此时AB边长为a2+9t2=20=25故答案为：2
29、5四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+40（aR）有两个根x1，x2，其中x1=1+3i（1）求a的值；（2）设x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+40有两个复数根x1，x2，所以复数x1，x2互为共轭复数，则x2=1-3i，所以x1+x22（a+1），解得a3；（2）因为x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，所以A(1，3)，B(1，-3)，所以线段AB的长度为2318（12分）在菱形ABCD中，AE=13A
30、D，BF=23BC，记AB=a，AD=b（1）用a，b表示EF；（2）若BDEF=ABDA，求cosA的值【解答】解：（1）如图，在菱形ABCD中，AE=13AD，BF=23BC，记AB=a，AD=b，EF=EA+AB+BF=-13b+a+23b=a+13b；（2）BDEF=ABDA，(AD-AB)(a+13b)=a(-b)，(b-a)(a+13b)=-ab，23ab-a2+13b2=-ab，又|a|=|b|，53ab=a2-13b2=23a2，ab=25a2，cosAcosa，b=ab|a|b|=2519（12分）如图，正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO1的体积为
31、16（1）求圆柱OO1的表面积；（2）若ABF30，求点F到平面BDE的距离【解答】解：（1）设圆柱OO1的底面半径为r，则r22r16，解得r2则圆柱OO1的表面积为2r2+2r2r6r224（2）连接AF，因为AFBF，AFDE，所以DEBF，设点F到平面BDE的距离为h，易知DEEF，DEEF，EF，BF平面BEF，EFBFF，所以DE平面BEF，因为EB平面BEF，所以DEEB，所以BF=ABcos30=3r，DE=ABsin30=r，EF2r，BE=4r2+3r2=7r，因为VDBEFVFBDE，所以13122r3rr=1312r7rh即23r3=7r2h，解得h=237r=4217
32、20（12分）现行国家标准GB27622012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率【解答】解：（1）由0.4（0.35+a+0.8+a+0.25+0.
33、1）1，解得a0.5则这200条鱼汞含量的样本平均数为 0.4（0.20.35+0.60.5+1.00.8+1.40.5+1.80.25+2.20.1）1.016（2）样本中汞含量在1.0，2.4内的频率为10.4（0.35+0.5）0.20.80.5则估计进口的这批鱼中共有0.520001000条鱼汞含量超标（3）由题意可知，样本中汞含量在1.0，2.4内的频率为12，则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为1-1212=34，顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为12，则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为34(1-12)+(1-34)12=1221（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为
34、a，b，c，S为ABC的面积，已知bcosCccosB2a（1）若ca，求B的大小；（2）若c2a，过B作AB的垂线交AC于D，求BCBDS的取值范围【解答】解：（1）bcosCccosB2a，由余弦定理得ba2+b2-c22ab-ca2+c2-b22ac=2a，化简得b2c22a2，又ca，则b2a22a2，即b=3a，则cosB=a2+c2-b22ac=a2+a2-3a22a2=-12，又B（0，），则B=23；（2）在RtABD中，BDctanA，则BCBDS=actanA12bcsinA=2acsinAbcsinAcosA=2abb2+c2-a22bc=4acb2+c2-a2，又由（1
35、）得b2c22a2，则BCBDS=4acb2+c2-a2=4ac2c2+a2=42ca+ac，c2a，ca2，又ba+c，b2c2+2a2，则c2+2a2（a+c）2，即a22ac，ca12，12ca2，令t=ca，f(t)=2t+1t，t(12，2，f（t）在(12，22)上单调递减，在(22，2)上单调递增，f(t)min=f(22)=22，又f(12)=3，f(2)=92，则f(t)max=f(2)=92，22f(t)92，即894f(t)2，故BCBDS的取值范围为89，222（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD4，点E是边AD上的动点，沿BE将ABE翻折至ABE，使二面角
36、ABEC为直二面角（1）当AE3时，求证：ABCE；（2）当线段AC的长度最小时，求二面角CABE的正弦值【解答】解：（1）证明：当AE3时，EDADAE431，又AB=3，在RtBAE中，BE2BA2+AE2（3）2+3212，在RtCDE中，CE2CD2+ED2（3）2+124，所以BE2+CE2BC2，所以CEBE，因为二面角ABEC为直二面角，所以面ABE面CBE，又面ABE面CBEBE，由上知CEBE，CE面CBE，所以CE面ABE，又因为AB面ABE，所以CEAB（2）在图二中过点A作AMBE，垂足为M，连接CM，因为二面角ABEC为直二面角，所以面ABE面CBE，又面ABE面CB
37、EBE，由上知AMBE，所以AM面BCE，又因为MC面BCE，所以AMMC，设AEx，则ED4x，BE=BA2+AE2=(3)2+x2=3+x2，所以AG=ABAEBE=3x3+x2，CG=BCCDBE=433+x2，所以AC=AG2+GC2=(3x3+x2)2+(433+x2)2=3x2+483+x2=3x2+16x2+3=31+13x2+3，因为0x4，所以当x4时，AC长最短，在矩形ABCD中，过点C作CGBD，垂足为G，再过点G作GHAB，因为二面角ABEC为直二面角，所以面ABE面CBE，又面ABE面CBEBE，由上知CGBD，所以CG面BCE，由三垂线定理可得CHAB，所以二面角CABE的平面角为CHG，BD=AB2+AD2=(3)2+(4)2=19，CG=BCCDBD=4319，GD=CD2-CG2=(3)2-(4319)2=31919，所以BGBDGD=19-31919=161919，由BHGBAD得，BGBD=HGAD，即16191919=HG4，所以HG=6419，所以tanGHC=CGGH=43196419=316，所以sinGHC=777259第24页（共24页）
