1、2024年浙江省杭州市上城区中考一模数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. B. C. 0D. 32. 杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示（）A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，则该物体的俯视图是（）A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 5. 如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（）A. B. C. D. 6. 孙
2、子算经中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（）A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（）A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为边上的中点，点为边上的三等分点，连接，交点为，过作，已知的面积为4，则 为（）A. 144B. 120C. 60D. 489. 二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（）A. 1B. 0C. 1D. 210. 如图，在中，将沿弦翻折，使
3、恰好经过圆心O，C是劣弧上一点已知，则的长为()A. B. 6C. D. 二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分11. 在实数范围内分解因式：2x28= _12. 不等式的最大整数解是_13. 如图，在菱形中，、为对角线，平分，若，则的度数为 _14. 第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，则图2中的阴影部分的面积为_ （结果保留）15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形（1）连接，若恰为中
4、点，则的度数为_；（2）连接，若与的面积相等，则的长为_16. 如图，在中，边在轴上反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点若，则的值为 _三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 先化简，再求值：，其中，18. 今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：八年级10个班成绩统计表成绩/分678910班级个数13ab1已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数请根据以上信息，完成下列
5、问题：（1），；（2）八年级成绩的中位数为 分；（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”19. 光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）明明制作了一个测算液体折射率的装置光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线已知，液面高度为12cm，正方形的边长为30cm（参考数据：，（1）求的长；（2）求该液体（介质）的折射率n20. 如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反
6、比例函数图象和轴于点和点（1）求k和a的值；（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；（3）当AB长为时，求点A的坐标21. 如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且（1）若，求的长（2）若平分，求的长22. 某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米（1）求y关于x的函数表达式；（2）求矩形面积的最大值；（3）九（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由23 综合与实践主
7、题任务“我的校园我做主”草坪设计入项探究环节任务背景学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务：校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，具体要求：（1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；（2）两条小路必须设计成平行四边形；驱动任务一九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系，；（请填“相等”或“不相等”）深入探究驱动任务二验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究：24. 如图，内接于，点D为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点E，与弦交于点F，DE与
8、交于点G，已知，（1）求半径；（2）求证：；（3）若，求的长2024年浙江省杭州市上城区中考一模数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. B. C. 0D. 3【答案】A【解析】【分析】根据负数大于正数，两个负数比较绝对值大的反而小即可求解【详解】解：，最小，故选：A【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较是解题的关键2. 杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其
9、中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数【详解】解：故选：A3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，则该物体的俯视图是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是理解俯视图的定义根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【详解】解：从上边看，底层靠左侧是一个小正方形，上层是四个小正方形故选：C4. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
10、【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方及分式的运算逐一判断即可【详解】解：A，故本选项不符合题意；B，故本选项不符合题意；C，故本选项符合题意；D，故本选项不符合题意故选：C5. 如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解【详解】解：圆被等分
11、成8份，其中灰色区域占2份，指针落在灰色区域的概率为故选：B6. 孙子算经中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”，即可列出关于的一元一次方程，此题得解本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【详解】解：根据题意得：故选：D7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下
12、列判断正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键先根据函数图象判断出的取值范围，用表示出的值，再用取特殊值法即可得出结论【详解】解：由函数图象可知，的图象与轴交于，当时，令，则，故选：D8. 如图，在中，点为边上的中点，点为边上的三等分点，连接，交点为，过作，已知的面积为4，则 为（）A. 144B. 120C. 60D. 48【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用由点为边上的中点，得到，由平行线等分线段定理推出，
13、得到是的中位线，因此，由，得到的值，求出，由，得到的面积，进而求出【详解】解：点为边上的中点，为边上的三等分点，是的中位线，的面积为4，的面积，故选：D9. 二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（）A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键依据题意，由抛物线过，从而可得抛物线的对称轴，且有，用表示和，进而用m表示抛物线的顶点，再结合一次函数过和二次函数的顶点，即可求出【详解】解：抛物线过，抛物线的对称轴是直线，顶点为，又一次函数过和二次函数的顶点，且，或（舍去），故选：B
14、10. 如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点已知，则的长为()A. B. 6C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，折叠的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出A，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据折叠的性质得，再根据勾股定理求解即可【详解】解：连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，是的直径，的半径为，于F，根据折叠的性质得，=，故选：C二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分11.
15、 在实数范围内分解因式：2x28= _【答案】2(x+2)(x-2)【解析】【详解】首先提取公因式2，然后利用平方差公式继续分解，即可求得答案.解：2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2)故答案为2（x+2）（x-2）“点睛”此题考查了在实数范围内因式分解的知识，此题比较简单，注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式. 在实数范围内继续因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.12. 不等式的最大整数解是_【答案】1【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键解不等式求得的范围，再该范围内可得其最大整数解【详解】解：移项、合并，得：，
16、系数化为1，得：，不等式的最大整数解为1，故答案为：113. 如图，在菱形中，、为对角线，平分，若，则的度数为 _【答案】52【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握菱形的性质是解题的关键先利用平分得出，再根据四边形是菱形推出，然后利用三角形内角和定理计算即可【详解】解：平分，四边形是菱形，故答案为：5214. 第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，则图2中的阴影部分的面积为_ （结果保留）【答案】7【解析】【分析】根据计算即可；本题考查扇形的面积，
17、解题的关键是掌握扇形面积公式【详解】解：故答案为：15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形（1）连接，若恰为中点，则的度数为_；（2）连接，若与的面积相等，则的长为_【答案】 . 45 . 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）设，由题意得，得到，根据题意列方程即可得到结论本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，公式法解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键【详解】解：（1）
18、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，恰为中点，是等腰直角三角形，故答案为：45；（2）四边形是正方形，设，由题意得，若与的面积相等，或（不合题意舍去），故答案为：16. 如图，在中，边在轴上反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点若，则的值为 _【答案】4【解析】【分析】根据，可得，再根据反比例函数值的几何意义列出方程求出即可本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键详解】解：连接，过点作轴,交于点G，过点B作轴， ，设点，则，解得：故答案为：4三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 先化
19、简，再求值：，其中，【答案】，6【解析】【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握【详解】解：，当，时，原式18. 今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：八年级10个班成绩统计表成绩/分678910班级个数13ab1已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数请根据以上信息，完成下列问题：（1），；（2）八年级成绩的中位数为 分；（3
20、）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”【答案】（1）1，4 （2）8.5 （3）本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”【解析】【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，解题的关键是明确题意，求出相应的数据（1）根据八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数和表格中的数据，可以得到、的值；（2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数；（3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可【小问1详解】解：八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数，则，故答案为：1，4；【小问2详解】解：由表格可得，八年级的中位
21、数为：（分，故答案为：8.5；【小问3详解】解：由表格可得，八年级的平均分为：（分），本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”19. 光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）明明制作了一个测算液体折射率的装置光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线已知，液面高度为12cm，正方形的边长为30cm（参考数据：，（1）求的长；（2）求该液体（介质）的折射率n【答案】（1）24cm （2）【解析】【分析】（1）根据题目条件，先说明各个小四边形都是矩形，在中，利用直角三角形的边角间关系
22、求出；（2）先利用线段的和差关系求出，再在中利用直角三角形的边角间关系求出的正弦，最后利用求折射率的公式得结论本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、正方形的性质、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键【小问1详解】解：正方形的边长为，由题意知：液面平行于底垂直于、两边，法线垂直于液面，四边形、都是矩形，在中，【小问2详解】解：四边形、都是矩形，在中，20. 如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点（1）求k和a的值；（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；（3）当AB长为时，求点A的坐标【答案】（1）
23、， （2） （3）【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键（1）将点坐标代入两个解析式可得、值；（2）根据函数图象和点横坐标可得不等式的解集；（3）先确定两个函数解析式，再设则，根据点在反比例函数图象上，列出关于的方程解出值即可知道点坐标【小问1详解】解：反比例函数的图象与直线交于点，；【小问2详解】解：根据图象可知，的自变量的取值范围为：；【小问3详解】解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，正比例函数解析式为：，设则，点反比例函数图象上，解得或（舍去），21. 如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且（1）若，求的长（2）
24、若平分，求长【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题考查相似三角形的判和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由，得到；由推出，由等腰三角形的性质，锐角的余弦得到（1）由，得到，即可求出的长（2）过作于，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出，由，推出，即可求出，于是得到【小问1详解】解：，；【小问2详解】过作于，平分，22. 某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米（1）求y关于x的函数表达式；（2）求矩形面积的最大值；（3）九
25、（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由【答案】（1） （2）当时，矩形面积最大，最大值为16平方米 （3）他的说法正确，详见解析【解析】【分析】本题考查函数的应用、矩形和正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质及其周长和面积公式、二次函数求最值的方法是解题的关键 （1）根据长方形的周长公式解答即可；（2）用含x的代数式分别表示出矩形的长和宽，根据长方形的面积公式写出其面积表达式，利用二次函数求最值的方法求解即可；（3）利用作差法判断两个面积的大小即可【小问1详解】根据长方形的周长公式，得，即，y关于x的函数表达式为【小问2详解】，当时，矩形面积
26、最大，最大值为16平方米【小问3详解】他的说法正确理由如下：，23. 综合与实践主题任务“我的校园我做主”草坪设计入项探究环节任务背景学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务：校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，具体要求：（1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；（2）两条小路必须设计成平行四边形；驱动任务一九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系，；（请填“相等”或“不相等”）深入探究驱动任务二验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究：【答案】
27、（1）相等，不相等；（2）平方米；（3）两条小路的宽度是1米；（4）x米；（5）【解析】【分析】（1）应用平移的性质即可求得答案；（2）根据小路总面积横向小路面积纵向小路面积重叠部分的面积，即可得出答案；（3）表达出草地面积，建立方程求解即可；（4）连接，过点作，交于，由，得出四边形是圆内接四边形，进而可得，即，再运用解直角三角形即可求得答案；（5）连接、，过点作，交于，可证得四边形是正方形，边长为，即可得出正方形的面积；当与重合时，最小，即的值最小，而的最大值为1，即可求出答案【详解】解：（1）如图1，不确定，故答案为：相等，不相等；（2）（平方米），故答案为：平方米；（3）由题意得：，解得
28、：，（不符合题意，舍去），答：两条小路的宽度是1米；（4）如图2，连接，过点作，交于，四边形是圆内接四边形，四边形是平行四边形，（米；（5）如图3，连接、，过点作，交于，则四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，由（4）知：，四边形是矩形，在中，同理可得，四边形是正方形，两条路重叠部分四边形的面积为平方米；如图4，当与重合时，此时最小，即的值最小，在中，【点睛】本题是解直角三角形应用问题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是理解题意，熟练运用解直角三角形解决问题24. 如图，内接于，点D为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点E，与弦交于点F
29、，DE与交于点G，已知，（1）求的半径；（2）求证：；（3）若，求的长【答案】（1）5 （2）详见解析 （3）【解析】【分析】（1）利用垂径定理得到，设的半径为r，利用勾股定理即可求解（2）延长交于点K，连接，利用直径所对的圆周角是直角和直角三角形的性质解答即可（3）连接，利用相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可【小问1详解】解：点D为弦的中点，O为圆心，设半径为r，则，的半径为5【小问2详解】证明：延长交于点K，连接，如图，为的直径，【小问3详解】连接，由（1）知：，【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练运用圆周角定理和相似三角形的性质与判定是解题的关键
