1、江苏省南京市2023-2024学年中考前热身练习数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 2024的绝对值的相反数是（ ）A. B. 2024C. D. 2. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格：平均数/分中位数/分众数/分方差/分28.88.98.50.14如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（ ）A. B. C. D. 5. 某函数图象如图所示，
2、当时，在该函数图象上可找到n个不同的点，使得，则n的最大取值为（ ） A. 5B. 6C. 7D. 86. 在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）A. 12B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. 地球上海洋总面积约为360 000 000km2，将360 000 000用科学记数法表示是_.8. 如图，将一个长方形纸
3、条折成如图所示的形状，若已知，则_ 9. 如图是一台雷达探测器测得的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则的值为_ 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，将绕着点逆时针旋转得到，则点的坐标是_ 11. 一元二次方程的两个实数根是，且，则_12. 若关于x分式方程有增根，则的值是 _13. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为_14. 如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心，若B25，则C的度数为_15. 如图，在矩形中，点是的中点，点在上，点、在线段上若是等腰三角形且底角与相等，则_16. 如图，反
4、比例函数的图像过点A，反比例函数的图像与直线交于点，已知，过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图像于点和，连接交y轴于，连接交x轴于点，当的面积为1时，_三、解答题（本大题共11小题，共88分）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中，19. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
5、根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有_人，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数20. 甲、乙两人在一座六层大楼的第1层进入电梯，从第2层到第6层，甲、乙两人各随机选择一层离开电梯（1）甲离开电梯的楼层恰好是第3层的概率是 ；（2）求甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率21. 如图，在中，位于，上，分别平分，（1）若，求证：四边形是矩形；（2）若，当的长为_时，四边形是菱形22. 某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书施工一天需付甲工程
6、队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？23. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处已知点A，BD，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升高度；（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，
7、求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）24. 如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，（1）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；（2）若，求MN的长25. 甲、乙两车从A地驶往地，甲车出发1小时后，乙车出发，乙车出发1.5小时追上甲甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲出发的时间（单位：）的图像如图所示 （1）乙车的速度为_；_（2）求与之间的函数表达式；（3）在图中画出甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车出发的时间（单位：）之间的函数图像26. 数学课上老师出了这样一道题：如图，已知线段和直线l，在直线l上找
8、点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P 【探索发现】（1）如图，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O；第二步：连接；第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和则图中、即为所求的点请在图中，连接、，并求证：【方法迁移】如图，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图矩形的边上作出所有的点P（不写作法，保留作图痕迹）【深入探究】（2）已知矩形，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围_（3）已知矩形，P为矩形内一点，且，则的最小值为_27. 如图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，三个点，且，在上方有五个台阶（
9、各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；（3）在轴上从左到右有两点，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，求点横坐标的取值范围？江苏省南京市2023-2024学年九年级数学中考前热身练习一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 2024的绝对值的相反数是（ ）A. B. 2024C.
10、D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了绝对值、相反数的定义先求绝对值，再求相反数，即可求解【详解】解：2024的绝对值的相反数是，故选：A2. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格：平均数/分中位数/分众数/分方差/分28.88.98.50.14如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B【解析】【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到,七个分数去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数【详解】解：七个分数，去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选：B【
11、点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得不等式的解集为x4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可【详解】不等式的解集为x4，数轴表示为： ，故选C【点睛】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键4. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，直接计算即可【详解】解：圆锥的底面半径为3，母线长为5，圆锥的侧面积为：；故选D5. 某函数的图象如图所示，
12、当时，在该函数图象上可找到n个不同的点，使得，则n的最大取值为（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】设，判断出点，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案【详解】解：设，则，即点，在正比例函数上，如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，n的最大取值为5，故选A 【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键6. 在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点
13、D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）A. 12B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，根据勾股定理可求出、的值，从而可求出“理想矩形” 面积【详解】解：过点作轴于点，连接、，如图点的坐标为，点在直线上，解得设直线与轴相交于点，当时，点，在中，在中，所求“理想矩形” 面积为；故选：【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关
14、键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. 地球上海洋总面积约为360 000 000km2，将360 000 000用科学记数法表示是_.【答案】3.6108【解析】【详解】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】360 000 000将小数点向左移8位得到3.6，所以360 000 000用科学记数法表示为：3.6108，故答案为3.6108.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值8. 如图，将一个长方形纸
15、条折成如图所示的形状，若已知，则_ 【答案】【解析】【分析】由折叠可得，再利用平行线性质即可求解【详解】解：如图所示： 由题意可得：，图形为长方形，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的折叠问题及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键9. 如图是一台雷达探测器测得的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则的值为_ 【答案】120或300【解析】【分析】本题考查有序数对在实际生活中的实际应用，勾股逆定理、理解有序数对所表示的实际意义是做此题的关键由目标的位置为，可知用这种方法表示物体的位置时，前边的数表示与中心点的距离，后边的数表示角度；观察点C
16、的位置，距离中心点有多远，在哪一个角度上，就可以写出C的位置【详解】解：通过观察图形，点位于图中距离中心点的第二个圈上，且位于90角处，它的位置是 用有序数对确定位置时，第一个数表示该点在距离中心点的第几个圈上，第二个数表示该点在哪个度数的直线上或m的值为300或120故答案为：300或12010. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，将绕着点逆时针旋转得到，则点的坐标是_ 【答案】【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型过点作轴，过点作轴，交于，根据旋转的性质可知：，而与都是的余角，因此两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么，由此可得出
17、点坐标【详解】解：过点作轴，过点作轴，交于，将绕着点逆时针旋转得到，的坐标是， 点坐标为 故答案为：11. 一元二次方程的两个实数根是，且，则_【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出，根据，进而求出的值即可【详解】一元二次方程的两个实数根是，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程，的两个根，则，是解答本题的关键12. 若关于x的分式方程有增根，则的值是 _【答案】【解析】【分析】本题考查了分式方程的增根熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代
18、入整式方程，算出的值【详解】解：，方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得，当时，故答案为：13. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为_【答案】【解析】【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ，是角平分线 ， 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键14. 如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心，若B
19、25，则C的度数为_【答案】40【解析】【详解】如图，连接OA，AC是O的切线，OAC=90，OA=OB，B=OAB=25，AOC=50，C=40故答案为40【点睛】15. 如图，在矩形中，点是的中点，点在上，点、在线段上若是等腰三角形且底角与相等，则_【答案】6或【解析】【分析】分两种情况：MN为等腰PMN的底边时，作于，则，由矩形的性质得出，得出，证明，得出，求出，证出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，求出，即可得出答案；MN为等腰PMN的腰时，作PFBD于F，设MN=PN=x，则FN=3-x，在RtPNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】分两种情况：MN为等腰PMN的底边时，
20、作于，如图所示：则，四边形是矩形，点是的中点，即，解得：，是等腰三角形且底角与相等，；MN为等腰PMN的腰时，作PFBD于F，如图所示，由得：，设，则，在中，解得：，即，综上所述，MN的长为6或.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键16. 如图，反比例函数的图像过点A，反比例函数的图像与直线交于点，已知，过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图像于点和，连接交y轴于，连接交x轴于点，当的面积为1时，_【答案】【解析】【分析】延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，证明，得
21、出，求出，设点且，则，求出点B的坐标为，从而得出点C的坐标为，求出直线的解析式为，得出，求出直线的解析式为，得出，根据，求出，得出，最后求出结果即可【详解】解：延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，如图所示：轴，轴，轴，即，设点且，则，点B的坐标为，、两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点，与关于原点对称，点C的坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，把代入得：，解得：，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，把代入得：，即，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，解
22、题的关键是证明，根据求出三、解答题（本大题共11小题，共88分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，零指数幂等先根据二次根式，零指数幂，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解【详解】解：18. 先化简，再求值：，其中，【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值【详解】解：，当，时，原式19. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组
23、织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有_人，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数【答案】（1），图见解析； （2）； （3）人；【解析】【分析】（1）根据“清洁卫生”人数除以占比即可得出样本的容量，进而
24、求“文明宣传”的人数，补全统计图；（2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解；（3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解【小问1详解】解：依题意，本次调查的师生共有人，“文明宣传”的人数为（人）补全统计图，如图所示， 故答案为：【小问2详解】在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为，【小问3详解】估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20. 甲、乙两人在一座六层
25、大楼的第1层进入电梯，从第2层到第6层，甲、乙两人各随机选择一层离开电梯（1）甲离开电梯的楼层恰好是第3层的概率是 ；（2）求甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率公式进行计算即可求解；（2）根据列表法求概率即可求解【小问1详解】从第2层到第6层，共5个楼层，则甲离开电梯的楼层恰好是第3层的概率是，故答案为：【小问2详解】列表如下， 甲乙 结果234562（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,2）（3,3）（34）（3,5）（3,6）4（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（46）5（5,2）（5,3）（5,4）（5,5
26、）（5,6）6（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）一共有25种结果，它们出现的可能性相同所有的结果中，满足“甲、乙两人离开电梯的楼层恰好是相邻”（记为事件A）的结果有8种，即（2,3），（3,4），（4,5），（5,6），（3,2），（4,3），（5,4），（6,5）所以P(A)【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键21. 如图，在中，位于，上，分别平分，（1）若，求证：四边形是矩形；（2）若，当的长为_时，四边形是菱形【答案】（1）证明见解析 （2）6【解析】【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，再由三线合一定理得到，则，由此即可证明四边
27、形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形；（2）如图所示，过点E作于G，于H，由角平分线的性质得到，利用等面积法求出，设，证明，得到，由菱形的性质得到，由三线合一定理得到，进而求出，在和中，由勾股定理得，解得（负值舍去），则【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，分别平分，又，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：如图所示，过点E作于G，于H，平分，且由等面积法可知两个三角形的面积比为，设，四边形是菱形，在和中，由勾股定理得：，解得（负值舍去），故答案为：6【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与
28、判定等等，三线合一定理，正确作出辅助线是解题的关键22. 某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？【答案】选择方案，理由见解析【解析】【分析】设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题【详解】解：设甲单独完成这一工程需
29、天，则乙单独完成这一工程需天根据方案，可列方程得，解这个方程得，经检验：是所列方程的根即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天所以方案的工程款为（万元），方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选方案的工程款为（万元），所以选择方案【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答解题的关键是熟练掌握路程速度时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题23. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处已知点A，BD，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与
30、水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度；（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）【答案】（1）登山缆车上升的高度； （2）从山底A处到达山顶处大约需要.【解析】【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；（2）在中，求得的长，再计算得出答案【小问1详解】解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，答：登山缆车上升的高度；【小问2详解】解：在中，从山底A处到达山顶处大约需要：，答：从山底A处到达山顶处大约需要.【点睛】此题主要
31、考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键24. 如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，（1）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；（2）若，求MN的长【答案】（1）直线PC与O相切，证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图，连接OC， ，是半径，进而可说明直线PC与O相切（2）如图，连接ON，为等边三角形；可知值，求得的值，求解即可【小问1详解】解：直线PC与O相切如图，连接OC，则AB为O的直径即直线PC与O相切【小问2详解】解：如图，连接ON，为等边三角形【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性
32、质，的直角三角形，三角形相似等知识点解题的关键在于灵活综合运用知识25. 甲、乙两车从A地驶往地，甲车出发1小时后，乙车出发，乙车出发1.5小时追上甲甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲出发的时间（单位：）的图像如图所示 （1）乙车的速度为_；_（2）求与之间的函数表达式；（3）在图中画出甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车出发的时间（单位：）之间的函数图像【答案】（1）100；5 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）用路程除以时间求出乙车的速度即可；根据乙车追上甲车时，乙车通过的距离，求出甲车的速度，然后用总路程除以甲车速度得出甲车到达B地所用时间，即可求出a的值；（2）用待定系数法求
33、出与之间的函数表达式即可；（3）分四段画出甲、乙两车之间的距离与甲车出发的时间之间的函数图像即可【小问1详解】解：乙车的速度为；乙车追上甲车时，乙车通过的距离为：，此时甲车通过的距离为，甲车的速度为：，则；故答案为：100；5【小问2详解】解：设与之间的函数表达式为，把，代入得：，解得：，与之间的函数表达式为【小问3详解】解：当时，两车之间的距离逐渐增大，当时，两车之间的距离；当时，两车之间的距离逐渐减小，当时，两车之间的距离为；当时，两车之间的距离逐渐增大，当时，两车之间的距离为；当时，两车之间的距离逐渐减小，当时，两车之间的距离为；函数图象如图所示： 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，
34、根据函数图像获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类26. 数学课上老师出了这样一道题：如图，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P 【探索发现】（1）如图，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O；第二步：连接；第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和则图中、即为所求的点请在图中，连接、，并求证：【方法迁移】如图，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图矩形的边上作出所有的点P（不写作法，保留作图痕迹）【深入探究】（2）已知矩形，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值
35、范围_（3）已知矩形，P为矩形内一点，且，则的最小值为_【答案】（1）见解析；方法迁移：见解析；（2）且；（3）8【解析】【分析】（1）根据尺规作图可知等边三角形，利用圆周角定理可知；方法迁移：作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P（2）当过点A和D时，当与相切于点E时，只有一个交点，计算得，即可求得；（3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，证明点P在圆O上，则当点P在线段上时，最短，在中，即可求得的最小值为【详解】解：（1），是等边三角形，根据圆周角定理可知：； 方法迁移：尺规作图如下：作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心
36、，为半径作，与、的交点为P； （2）如下图所示： 当过点A和D时，当与相切于点E时，只有一个交点，满足的点P恰有两个时，m的取值范围且，故答案为：且；（3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，在优弧上取一点H，连接，四点共圆，即点P在圆O上，当点P在线段上时，最短， 作交的延长线于点F，在中，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的作法，勾股定理，一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角和圆心角之间的关系27. 如图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每
37、个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；（3）在轴上从左到右有两点，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，求点横坐标的取值范围？【答案】（1）点会落在台阶上 （2）抛物线的解析式为，抛物线的对称轴与台阶有交点，理由见解析 （3）点横坐标的取值范围为【解析】【分析】（1）由题意台阶的左边端点，右边端点的坐标，求出，时
38、的的值，即可判断（2）由题意抛物线：，经过，最高点的纵坐标为，构建方程组求出，可得结论（3）求出抛物线与轴的交点，以及时，点的坐标，判断出两种特殊位置点的横坐标的值，可得结论本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题【小问1详解】解：图形如图所示，由题意台阶左边的端点坐标，右边的端点， 对于抛物线，令，解得或，点的横坐标为，当时，当时，当时，解得或，抛物线与台阶有交点，设交点为，点会落在台阶上【小问2详解】解：由题意抛物线：，经过，最高点的纵坐标为，解得或舍弃，抛物线的解析式为，对称轴，台阶的左边的端点，右边的端点为，抛物线的对称轴与台阶有交点【小问3详解】解：对于抛物线：，令，得到，解得，抛物线交轴的正半轴于，当时，解得或，抛物线经过，中，当点与重合时，点的横坐标的值最大，最大值为，当点与重合时，点的横坐标最小，最小值为，点横坐标的取值范围为
