1、选修 41 几何证明选讲第 1 课时 圆的进一步认识1. (2017镇江期末)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是APB 的平分线，点 E 是 的中点求证：直线 PC 经过点 E.AB 证明：连结 AE，EB，OE，由题意知AOEBOE90，因为APE 是圆周角，AOE 是同弧上的圆心角，所以APE AOE45.12同理可得，BPE BOE45，12所以 PE 是APB 的平分线，又 PC 是APB 的平分线，所以 PC 与 PE 重合，所以直线 PC 经过点 E.2. 如图，圆 O 的两弦 AB，CD 交于点 F，从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交
2、于 P，再从P 引这个圆的切线，切点是 Q.求证：PFPQ.证明：因为 A，B，C，D 四点共圆，所以 ADF ABC.因为 PFBC，所以 AFP ABC.所以 AFP FDP.又因为 APF FPD，所以APFFPD.所以 .所以 PF2PAPD.PFPA PDPF因为 PQ 与圆 O 相切，所以 PQ2PAPD.所以 PF2PQ 2.所以 PFPQ.3. 如图，圆 O 与圆 P 相交于 A，B 两点，点 P 在圆 O 上，圆 O 的弦 BC 切圆 P 于点B，CP 及其延长线交圆 P 于 D，E 两点，过点 E 作 EFCE 交 CB 延长线于点 F.若CD2，CB2 ，求 EF 的长2
3、解：连结 PB， BC 切圆 P 于点 B，PBBC.又 CD2，CB2 ，2由切割线定理得 CB2CDCE， CE4，DE2，BP1. EFCE， CPBCFE， ，EF .EFPB CECB 24. 如图，AB，AC 是圆 O 的切线，ADE 是圆 O 的割线，求证：BECDBDCE. 证明： AB 是圆 O 的切线， ABDAEB. BADEAB， BADEAB. .BDBE ABAE同理 . CDCE ACAE AB，AC 是圆 O 的切线， ABAC. ，即 BE CDBD CE.BDBE CDCE5. (2017南通、泰州模拟)如图，已知ABC 内接于圆 O，连结 AO 并延长交圆
4、 O 于点D，ACBADC.求证：ADBC2ACCD.证明：证明：连结 OC.因为ACBADC，ABCADC，所以ACBABC.因为 OCOD，所以OCDADC.所以ACBOCD.所以ABCODC.所以 ，即 ACCDOCBC.ACOC BCCD因为 OC AD，12所以 ADBC2ACCD.6. (2017苏北三市模拟)如图，圆 O 的弦 AB，MN 交于点 C，且点 A 为弧 MN 的中点，点 D 在弧 BM 上若ACN3ADB，求ADB 的大小解：连结 AN，DN.因为 A 为弧 MN 的中点，所以ANMADN.而NABNDB，所以ANMNABADNNDB，即BCNADB.又ACN3AD
5、B，所以ACNBCN3ADBADB180，故ADB45.7. 如图，在ABC 中，ACB90，以边 AC 上的点 O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB，AC 分别交于点 E，F，EC 与圆 O 交于点 D，连结 AD 并延长交 BC 于 P.(1) 求证：AEABADAP.(2) 已知 AEEB4，AD5，求 AP 的长(1)证明：连结 EF，则AEF90. ACB90， B，C，F，E 四点共圆则AFEB. ADEAFE， ADEB. B，P，D，E 四点共圆则 AEABADAP.(2)解： AEEB4，AD5， AB8.由(1)AEABADAP，得 AP .3258. (2017苏锡常镇
6、二模)如图，直线 DE 切圆 O 于点 D，直线 EO 交圆 O 于 A，B 两点，DCOB 于点 C，且 DE2BE，求证：2OC3BC.证明：连结 OD，设圆的半径为 R，BEx，则 ODR，DE2BE2x，在 RtODE 中， DCOB， OD 2OCOE， R 2OC(Rx) . 直线 DE 切圆 O 于点 D， DE 2BEAE， 4x 2x(2Rx) ， x .2R3代入，解得 OC ， BCOBOC ，3R5 2R5 2OC3BC.9. 如图，已知 AB 为圆 O 的直径，BC 切圆 O 于点 B，AC 交圆 O 于点 P，E 为线段 BC的中点求证：OPPE.证明：连结 BP，
7、 AB 是圆 O 的直径， APB90，BPC90.在 RtBPC 中， E 是边 BC 的中点， BEEC，BEEP， 13. B，P 为圆 O 上的点， OBOP，24. BC 切圆 O 于点 B， ABC90，即1290，从而3490， OPE90. OPPE.10. (2017金陵中学质检)如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C，F 为圆 O 上的两点，OCAB，过点 F 作圆 O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D，连结 CF 交 AB 于点 E.求证：DE2DADB.证明：连结 OF. DF 切圆 O 于 F， OFD90. OFCCFD90. OCOF， OCFOFC. C
8、OAB 于 O， OCFCEO90. CFDCEODEF， DFDE. DF 是圆 O 的切线， DF 2DBDA. DE 2DBDA.11. (2017南通、泰州期末)已知圆 O 的直径 AB4，C 为 AO 的中点，弦 DE 过点 C 且满足 CE2CD，求OCE 的面积解：设 CDx，则 CE2x.因为 CA1，CB3，由相交弦定理，得 CACBCDCE，所以 13x2x2x 2，所以 x .62取 DE 的中点 H，连结 OH，则 OHDE.因为 OH2OE 2EH 24 ，(32x)2 58所以 OH .104因为 CE2x ，6所以OCE 的面积 S OHCE .12 12 104 6 154
