1、2023年广东省河源市紫金县中考数学一模试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 中国古代著作九章算术在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利90元记作元，那么亏本30元记作（）A. 元B. 元C. 元D. 元2. 下列图形中，不是轴对称图形是（）A. B. C. D. 3. 随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元将数据“2135亿”用科学记数法表示为A. 2.1351011B. 2.135107C. 2.1351012D. 2.1351034. 一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则
2、（）A. 0B. 3C. 4D. 55. 如图，已知，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB若AB2，则AP的长为（）A. B. 3C. 1D. 37. 若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）A. B. C. D. 8. 关于二次函数的最值，说法正确的是（）A. 最小值为B. 最小值为C. 最大值为D. 最大值为9. 如图，为O直径，是O的弦，点是上的一点，且若，则的长为（）A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂
3、线交线段AB于两点C、D当点，四边形为正方形时，则线段的长为（） A. 4B. C. 5D. 二填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11 分解因式：_12. 一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为_13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_14. 如图，矩形的两条对角线相交于点，则的长是_ 15. 观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，第2023个等式是：_三解答题（共8小题，满分75分）16. 先化简，再求值：，其中17. 解分式方程：18. 如图，在中，已知
4、 （1）作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）直接写出四边形的形状19. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年月日至月日在北京和张家口市举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市某重点中学举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，）七年级名学生的成绩是：，八年级名学生成绩在C组中的数据是：，七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级七年级八年级平均数中位数众数方差 根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中，的值；（2）根据以上
5、数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“冬奥会”知识较好？请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）该校七、八年级共人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的学生人数是多少？20. 如图，是的直径，=，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧（1）如图1，若，求的长；（2）求证：21 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当时，不等式的解集；（3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标22. 如图，在矩形中，点E是边上一点（点E不与B，C重合），过点E作交于点F，连接（1）
6、当时，求的值；（2）当时，求的度数；（3）若点F为的中点，求的长23. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C直线过抛物线的顶点P（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F当取得最大值时，求m的值和的最大值；当是等腰三角形时，求点E的坐标2023年广东省河源市紫金县中考数学一模试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 中国古代著作九章算术在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利90元记作元，那么亏本30元记作（）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】A【解析】【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量，盈利记为正，则亏本记为负，直接得出结
7、论即可【详解】解：如果盈利90元记作元，那么亏本30元记作元故选：A【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图
8、形的定义是解题关键3. 随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元将数据“2135亿”用科学记数法表示为A. 2.1351011B. 2.135107C. 2.1351012D. 2.135103【答案】A【解析】【分析】科学记数法表示形式为ax10n的形式，其中1|a| 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.【详解】解：2135亿= 2.1351011，故答案为A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1|a
9、| 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4. 一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则（）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据平均数的计算公式即可求出a【详解】解：由题意得，故选：B【点睛】本题考查了平均数的概念熟记公式是解决本题的关键5. 如图，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据可得，根据可得【详解】解：如图，故选：D【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行、同位角相等6. 已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB若AB2，则AP的长为（）A. B. 3C. 1D. 3【答案】C【解析
10、】【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度【详解】解：由于为线段的黄金分割点，且是较长线段；则故选：C【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算7. 若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】第三象限上的点，横坐标小于0，纵坐标小于0，从而得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，将解集在数轴上表示出来即可【详解】解：点在平面直角坐标系的第三象限内，不等式的解集为：，在数轴上可表示为： ，故选：B【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，
11、解题的关键在于熟记平面直角坐标系上点的特点，列出不等式组8. 关于二次函数的最值，说法正确的是（）A. 最小值为B. 最小值为C. 最大值为D. 最大值为【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论【详解】解：二次函数中，函数图像开口向下，函数有最大值，函数图像的顶点坐标为，二次函数的最大值为故选：D【点睛】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出函数的顶点坐标是解题的关键9. 如图，为O的直径，是O的弦，点是上的一点，且若，则的长为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，
12、的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键【详解】解：连接，交于，点是的中点，为的直径，故选：10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D当点，四边形为正方形时，则线段的长为（） A. 4B. C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解【详解】解：把点代入中得，解得，点，四边形为正方形，设点A横坐标为m，则，代入得，解得或（舍去）故选：B【点睛】本题考查
13、二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式二填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】，故填【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.12. 一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为_【答案】#0.75【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【详解】解：一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1
14、个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为故答案为：【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_【答案】4【解析】【分析】用含的代数式表示出此方程的根的判别式，根据根的判别式进行计算即可【详解】解：由题意得：方程有两个相等的实数根，解得：故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练根据根的情况转化为根的判别式进行计算是解决本题的关键14. 如图，矩形的两条对角线相交于点，则的长是_ 【答案】10【解析】【分析】根据矩形性质得到，即可得到答案【详解】解：四边
15、形是矩形，故答案为：10【点睛】此题考查了矩形的性质：两条对角线相等且互相平分，熟记矩形的性质是解题的关键15. 观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，第2023个等式是：_【答案】【解析】【分析】根据规律，得到第个等式，再令，即可得到答案【详解】解：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第个等式：，当时，式子为：，故答案为：【点睛】本题考查了数字规律探究，根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键三解答题（共8小题，满分75分）16. 先化简，再求值：，其中【答案】，1【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合
16、并同类项法则按原式化简，把a的值代入计算得到答案【详解】解：原式，当时，原式【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键17. 解分式方程：【答案】【解析】【分析】方程两边都乘得出一元一次方程，求出方程的解，再进行检验即可【详解】解：，方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，原分式方程的解是【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键18. 如图，在中，已知 （1）作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）直接写出四边形的形状【答案】（1）见解析 （2）四边形的形状是菱形【解析】【分析】（1）以点为
17、圆心，适当长度为半径画弧，交、于两点；分别以两点为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与点交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点F，连接（2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得：，得出，即可得出结论【小问1详解】解：如图所示 【小问2详解】四边形ABEF是菱形理由如下：四边形是平行四边形，平分，由（1）得，又，四边形是平行四边形，四边形是菱形【点睛】本题考查了平行四边形的性质、作图一基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明是解决问题（2）的关键19. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年月日至月日在北京和张家口市举行，北京
18、将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市某重点中学举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，）七年级名学生的成绩是：，八年级名学生的成绩在C组中的数据是：，七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级七年级八年级平均数中位数众数方差 根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中，的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“冬奥会”知识较好？请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）该校七、八年级共人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优
19、秀（）的学生人数是多少？【答案】（1），； （2）八年级学生掌握“冬奥会”知识较好，理由见解析； （3）人【解析】【分析】(1)根据众数的定义可得的值，先求出八年级测试成绩在组人数所占百分比，再根据各部分百分比之和为可求得的值，继而根据中位数的定义可得的值；(2)可从众数、方差角度分析求解；(3)用总人数乘以样本中、等级人数占被调查人数的比例即可【小问1详解】七年级测试成绩的众数分，八年级测试成绩在组人数所占百分比为，即，八年级测试成绩在、组人数为(人)，八年级测试成绩的中位数为第、个数据的平均数，即(分)，【小问2详解】八年级学生掌握“冬奥会”知识较好，理由如下：八年级测试成绩的众数大于七年
20、级，即八年级得满分人数人数多于七年级；八年级测试成绩的方差大于七年级，即八年级学生更有潜力；【小问3详解】估计参加此次调查活动成绩优秀（）的学生人数是(人)【点睛】此题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键20. 如图，是的直径，=，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧（1）如图1，若，求的长；（2）求证：【答案】（1）2 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，利用直径所对的圆周角是直角求出，从而可得，再根据已知，求出，进而求出，最后在中，利用锐角三角函数求出长即可；（2）过点作，交的延长线于点，利用手拉手模型旋转性全等
21、，证明，从而可得，进而得到是等腰直角三角形，即可解答【小问1详解】解：连接并延长交于点，连接，是的直径，是的直径，；【小问2详解】证明：过点作，交的延长线于点，四边形是圆内接四边形，（ASA），是等腰直角三角形，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键21. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当时，不等式的解集；（3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】(1)把
22、点代入，确定，分别代入，计算即可(2)结合不等式，运用数形结合思想，计算即可(3)分，计算即可小问1详解】把点代入，得，把分别代入，得，解得，【小问2详解】当时，由，去分母得，与相交时两横坐标分别为1，3，根据图象可知不等式的解集是【小问3详解】直线，设，则；，把的面积分成两部分，当时，得，解得，故；当时，得，解得，故；故点的坐标为或【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键22. 如图，在矩形中，点E是边上一点（点E不与B，C重合），过点E作交于点F，连接（1）当时，求的值；（2）当
23、时，求的度数；（3）若点F为的中点，求的长【答案】（1） （2） （3）长为或【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质和平行线的性质解答即可；（3）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质列出关于的比例式解答即可【小问1详解】解：，四边形为矩形，；【小问2详解】解：四边形为矩形，在和中，在中，；【小问3详解】解：点F为的中点，四边形为矩形，解得：的长为或【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练
24、掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键23. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C直线过抛物线的顶点P（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F当取得最大值时，求m的值和的最大值；当是等腰三角形时，求点E的坐标【答案】（1） （2）m的值为，的最大值为；或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义
25、进行求解即可【小问1详解】解：抛物线与轴交于和两点，抛物线对称轴为直线，在中，当时，抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，抛物线解析式为【小问2详解】解：抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，设直线的解析式为，直线的解析式为，直线与抛物线交于点，与直线交于点， ，当时，有最大值，最大值为；设直线与x轴交于H，是等腰直角三角形，；如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则点G为的中点，由（2）得，解得或（舍去），；如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，即，点E的纵坐标为5，解得或（舍去）， 如图3-3所示，当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，解得或（舍去），综上所述，点E的坐标为或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键；求二次函数解析式，一般利用待定系数法求解；二次函数与线段长问题，一般用点的坐标表示出对应线段的长，从而利用二次函数的性质求解
