1、江苏省南京市秦淮区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题1. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ）A. 在外B. 在上C. 在内D. 不能确定2. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）A. B. C. D. 3. 一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（ ）A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在中，直径与弦相交于点M，F为中点若，则的半径长为（ ）A. 4B. 3C. D. 6. 以下列三边长度作出三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）A 8，8，8B. 4，10，10C. 4，8，10D. 6，8，10二
2、、填空题7. 方程的解是_8. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_9. 一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为_cm210. 如图，AB是O的直径，点C，D在O上，若ABD=55，则BCD的度数_11. 已知是方程的一个根，则代数式的值是_12. 如图，在ABC中，AB2，AC，以点A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则BC的长是_13. 某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程_14. 已知正六边形外接圆半径为2，则它的内切圆半径为_15. 如图，矩形中，若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面
3、积是_16. 如图，在中，的半径长为1，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是_三、解答题17. 解方程18. 解方程：19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）当为正整数时，求方程的根20. 如图，四边形内接于，为的直径，（1）若，求的度数；（2）求证21. 如图，等腰中，过点且与分别相交于点求证：22. 如图所示，面积为的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区已知大正方形的边长比小正方形的边长大，求绿化区的面积23. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根（1）若，则与满足关系 ；（
4、2）若，求范围24. 如图，在中，为的直径，PA与相切于点A，点C在上，且（1）求证：与相切；（2）过点C作，交于点D，若，则图中阴影部分的面积为 25. 商店购进某种玩具的价格为30元根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件为获得15 000元的利润，销售单价应为多少元？26. 解答下列问题（1）【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D和相等吗？为什么？（2）【逆向思考】如图，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D若，求证：I为的内心（3）【迁移运用】如图，利用无刻度直尺
5、和圆规，作出的内心I（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）27. 在中，点D是边上的动点，经过C、D的交边于点M，交边于点N，且点M、N不与点C重合（1）若点D运动到的中点如图，当点M与点A重合时，求线段的长；如图，连接，若，求线段的长；（2）如图，点D在运动过程中，半径r的范围为 江苏省南京市秦淮区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题1. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ）A. 在外B. 在上C. 在内D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径
6、，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外【详解】解：点P在内，故选：C【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可以判断得出答案【详解】解：A、不是整式方程，所以它不是一元二次方程，故不符合题意；B、是一元二次方程，故符合题意；C、含两个未知数，所以它不一元二次方程，故不符合题意；D、中含两个未知数，所以它不是一元二次方程，故不符合题意；故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握
7、一元二次方程的定义是解答此题的关键3. 一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式进行计算即可圆锥的侧面积底面周长母线长2【详解】解：圆锥的侧面积，故C正确故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积计算公式：圆锥的侧面积底面周长母线长24. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果【详解】解：方程整理得：，配方得：，即故选：D【点睛】此题考查了用配方法解
8、一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式5. 如图，在中，直径与弦相交于点M，F为中点若，则的半径长为（ ）A. 4B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接，设的半径长为，在中，利用勾股定理列方程求解即可【详解】解：如图，连接， F为中点，为直径，设的半径长为，则，在中，则，解得，故选：C【点睛】本题考查了圆的对称性、垂径定理、勾股定理等知，根据勾股定理列方程是解题关键6. 以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）A. 8，8，8B. 4，10，10C. 4，8，10D. 6，8，10【答案】A【解析】【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可【详解】A、是等
9、边三角形，设O是外心，平分，的外接圆的半径为，B、是等腰三角形，过点A作于D，延长交于E，是的直径，外接圆半径为，C、作于点D，作直径，连接，在中，在中，即,解得，由勾股定理得，为圆的直径，又，即，解得，则外接圆半径，D、，此三角形是直角三角形，此三角形外接圆的半径为5，其外接圆半径最小的是A选项，故选：A【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键二、填空题7. 方程的解是_【答案】【解析】【分析】把方程两边开方得到即可求解【详解】解：，开方得：，故答案为：【点睛】本题考查了平方根：形如或的方程可采用开
10、平方的方法求解8. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_【答案】#【解析】【分析】根据非负数的性质，即可得出，从而求解【详解】关于的一元二次方程有实数根，故答案为：【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，以及非负数的性质，掌握一个数的平方为非负数是解题关键9. 一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为_cm2【答案】【解析】【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积或者直接运用扇形面积面积=也可以【详解】解：设扇形圆心角度数为，则，解得，扇形的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键10. 如图，AB是O的
11、直径，点C，D在O上，若ABD=55，则BCD的度数_【答案】35【解析】【分析】连接AD，根据圆周角的性质得到ADB=90，根据余角的性质得到DAB=35，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解【详解】连接ADAB是O直径ADB=90ABD=55DAB=90-55=35BCD=DAB=35故答案为35【点睛】本题考查了圆周角定理，正确做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周角的性质11. 已知是方程的一个根，则代数式的值是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义可知，然后整体代入即可求解【详解】解：根据题意，是方程的一个根，则有，整理可得，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二
12、次方程的根的定义以及代数式求值，解题的关键是理解一元二次方程的根的定义，并掌握整体代入法求代数式的值12. 如图，在ABC中，AB2，AC，以点A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则BC的长是_【答案】【解析】【分析】如图，连接AD，在与，利用勾股定理分别求得BD、CD的长度，然后易求【详解】如图，设线段BC与相切于点D，连接AD，BC是的切线，D是切点，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题13. 某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变设年平均增长
13、率为x，根据题意，可列出方程_【答案】【解析】【分析】直接利用增长率公式代入解答即可【详解】解：年平均增长率为x，根据题意可得，故答案为：【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系14. 已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为_【答案】【解析】【详解】解：如图，连接OA、OB，OG六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，OAB是等边三角形，OAB=60，OG=OAsin60=2 =，半径为2的正六边形的内切圆的半径为故答案为【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明OAB是等边三角形是解决问题
14、的关键15. 如图，矩形中，若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是_【答案】【解析】【分析】如图，在矩形中作出使成立的点P的轨迹，则可得出矩形中空白部分为使成立的点P形成区域，然后求出对应区域面积即可得解【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆，是等腰直角三角形，在中，所对圆周角均等于，则所有符合条件的点P形成的区域为矩形中空白部分，矩形中空白部分的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，扇形面积的计算等知识，在矩形中作出使成立的点P的轨迹是解题关键16. 如图，在中，的
15、半径长为1，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】过点作于点，作切于点，连接，由勾股定理可得，再利用面积法求得，然后根据勾股定理可得；作切于点，求得；观察图形可知，点的位置有4个需要满足的条件是，即的取值范围是【详解】解：如下图，过点作于点，作切于点，连接，则，即，是切线，即，作切于点，则，观察图形可知，点的位置有4个需要满足的条件是，的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、利用面积法求线段的长度等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键三、解答题17. 解方程【答案】【解析】【分析】方程
16、常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解【详解】解：移项得：，配方得：，即，开方得：，【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程18. 解方程：【答案】【解析】【分析】利用因式分解法求解即可【详解】，解得：【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的实质，灵活准确求解是解题的关键19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）当为正整数时，求方程的根【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于零即可解答；（2）根据的
17、取值范围，结合为正整数即可确定的值，将其代入原方程，解方程即可【小问1详解】解：根据题意，得解得【小问2详解】解：为正整数且，方程可化为，解得【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系20. 如图，四边形内接于，为的直径，（1）若，求的度数；（2）求证【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）根据，可得，根据三角形的内角和定理得出，根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出的度数即可；（2）连接，根据，可得，根据平行线的性质可得，从而证得结论【小问1详解】解：，四边形是的内接四边形，【小问2详解】证明：连接，如图所示：，【点睛】本题主要考查
18、了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用21. 如图，等腰中，过点且与分别相交于点求证：【答案】见解析【解析】【分析】由可知，从而可得，进而由可推导，即可证明【详解】证明： ， ，即，【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角和圆周角的关系以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧、弦、圆心角和圆周角的关系是解题关键22. 如图所示，面积为的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区已知大正方形的边长比小正方形的边长大，求绿化区的面积【答案】【解析】【分析】设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，绿化区的面积为，根据矩形广场的面积为，即可得出关于
19、的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值代入中即可求出绿化区的面积【详解】设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，绿化区的面积为 根据题意，得，整理，得，解得（不合题意，舍去），答：绿化区的面积为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键23. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根（1）若，则与满足关系 ；（2）若，求的范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根分别为，结合方程的两根相等，即可得出；（2）由（1）可得出方程的两根分别为，结合方程的两根，满足，可得出，解之即可得出结论【小问1详解】
20、解：，方程的两根分别为，、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，故答案为：【小问2详解】解：由（1）可知：方程的两根分别为，方程的两根，满足，【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是利用因式分解法求出原方程的两个实数根24. 如图，在中，为的直径，PA与相切于点A，点C在上，且（1）求证：与相切；（2）过点C作，交于点D，若，则图中阴影部分的面积为 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接,只要证得，利用全等三角形的性质即可证得即可；（2）连接，设与的交点为，如图所示，只要证得四边形是菱形，由菱形的性质得到，进而利用直角三角形中一条直角边等于斜边的一半就可得到，接
21、着利用锐角三角函数求得的长，最后根据即可求解【小问1详解】证明：连接 与相切于点A，在和中，即又点C在上，与相切【小问2详解】解：连接，设与的交点为，如图所示，为的直径，又，四边形是菱形，在中，在中，解得，阴影部分的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质与判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和切线的判定与性质是解题的关键25. 商店购进某种玩具的价格为30元根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件为获得15 000元的利
22、润，销售单价应为多少元？【答案】销售单价应为60元或80元【解析】【分析】可以设该玩具销售单价应为x元，也可以设该玩具销售单价涨了x元，则销售单价为元，然后分别根据题意列出一元二次方程求解得出答案【详解】解法一：设该玩具销售单价应为x元，根据题意，得，整理，得，答：该商品每件实际售价应定为60元或80元解法二：设该玩具销售单价涨了x元，则销售单价为元 根据题意，得，整理，得，所以或答：该商品每件实际售价应定为60元或80元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、适当设元、找准等量关系列出方程是解答此题的关键26. 解答下列问题（1）【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如
23、图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D和相等吗？为什么？（2）【逆向思考】如图，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D若，求证：I为的内心（3）【迁移运用】如图，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）如图，连接首先根据三角形内心的概念得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后通过角度之间的转化即可证明，进而得到；（2）连接首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据得到，然后根据角度之间的转化得到，即可证明出I为的内心；（3）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心I【小问1
24、详解】证明：如图，连接I是的内心，是所对的圆周角， 根据角之间的关系可得又是的一个外角，；【小问2详解】证明：连接， 即平分，是的一个外角，即平分I为内心；【小问3详解】文字说明：以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N，以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F，以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线，射线和射线交于点I，点I即为的内心画图如下：【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的
25、关键27. 在中，点D是边上的动点，经过C、D的交边于点M，交边于点N，且点M、N不与点C重合（1）若点D运动到的中点如图，当点M与点A重合时，求线段的长；如图，连接，若，求线段的长；（2）如图，点D在运动过程中，半径r范围为 【答案】（1）；5 （2）【解析】【分析】（1）连接，证明，在中，设，根据勾股定理列出方程求解即可； 连接，于E，证明是直径，点E与点O重合，可得为直径，即可求出的长； （2）D在上运动时，当，且以为直径时，出现半径r最小值，当以直径时，出现半径r最大值，分别求出和的值，即可求出半径r的范围【小问1详解】解：连接、，是的直径 又D是中点，设在中，由勾股定理，得解这个方程，得即MN的长为连接，交于E在中，D是中点，又，同理，是的直径点E与点O重合是的直径【小问2详解】如图所示：D在上运动时，当，且以为直径时，出现半径r最小值， ， ， ， ， ， ； D在上运动时，当以为直径时，出现半径r最大值， ， ， ， ； 综上所述，半径r的范围为：【点睛】本题考查了圆的性质、圆周角定理的应用，勾股定理等知识点，用分类讨论方法是解本题的关键，综合性较强，难度较大
