1、第七讲 图形问题课程目标1. 掌握利用直接方法或间接方法计算平面图形周长及面积的方法；2. 掌握利用直接法或间接法计算立体图形表面积及体积的方法。课程重点用间接法求阴影部分面积，立体图形的表面积和体积。课程难点1. 平面图形的等积（面积）变形。（等高模型、割补等）2. 立体图形的操作（切、拼、展开、三视图）问题与计算综合。教学方法建议1.利用教具，让学生在观察、操作中培养立体感；2.讲解、归纳、练习。一、 知识梳理 图形可分为立体图形和平面图形。平面图形指三角形、四边形、圆等，主要研究其周长和面积。立体图形指长方体、正方体、圆柱、圆锥等，主要研究其表面积和体积。 平面图形通过折叠或绕轴旋转可形
2、成立体图形，立体图形的切面、三视图是平面图形，二者可以互相转化。二、方法归纳求平面组合图形的面积是小学学习的重点和难点。对于平面组合图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：（1）加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.（2）减法：这种方法是将所求的不规则图形面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.（3）重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.（4）辅助线法：这种方法是根据具体
3、情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.（5）割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.（6）平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.（7）旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.（8）对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一
4、半.三、课堂精讲（一）多边形的面积例1-1. 如图，已知四条线段的长分别是：AB=2cm，CE=6cm，CD=5cm，AF=4cm，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。【规律方法】分割法（加法）求阴影部分面积。例1-2图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【规律方法】扩充法（减法）求阴影部分面积。例1-3.如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。【规律方法】利用等高模型（平行线模型）进行等面积变形求阴影部分面积。例1-4如图，在梯形ABCD中，BO的长度等于DO长度的2倍，阴影部分的面积是4平方分米，则梯形ABCD的面积为_。 【规律方法
5、】利用等高模型得出三角形ABD与三角形ABC面积相等，进而根据等式性质得出三角形AOD与三角形BOC面积相等。利用等高模型得出AO是CO的2倍，进行求阴影部分面积。例1-5（第三届羊排赛）如图，在三角形ABC中，D、E、F、G分别是BC、AD、BE、AF的中点。已知三角形EFG的面积是3，那么三角形ABC的面积是_.【规律方法】利用等高模型（中线模型）找三角形面积的倍数关系。例1-6图中平行四边形ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10，求CF的长。【规律方法】利用差不变性质。例1-7求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）【规
6、律方法】利用等腰直角三角形的性质求阴影部分面积。【变式训练1】【难度分级】 A 1.一个直角三角形的三条边的长度分别是7cm，24cm和25cm，它的面积是（ ） A.84 B.300 C.87.5 D.以上答案都不对2.一个平行四边形两边的长分别是10厘米和7厘米，其中一条边上的高是8厘米，这个平行四边形的面积是_平方厘米。3如图，在腰长为10厘米，面积为34平方厘米的等腰三角形的底边上任意取一点，设这个点到两腰的垂线段分别长a厘米和b厘米，那么，a+b的长度是_厘米。 4下左图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大_平方厘米.（单位：厘米） 5.求下左图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 6两
7、块等腰直角三角板，如图那样重合，试求重合部分（阴影部分）的面积（单位：厘米）【难度分级】 B7.(第13届华杯赛初赛)如图所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，求四边形PMON的面积。ADCBMNPO8.（第五届羊排赛）如图，四边形ABCD和DEFG都是正方形，边长分别为5厘米和3厘米。GH与CF平行。求三角形CFH的面积。（二）圆的周长和面积例2-1求阴影部分的面积。(单位:厘米)【解】 44-3.14（42）2=3.44 16-3.442=9.12【规律方法】割补法求阴影部分面积。例2-2如图所示，正方形的边长为10cm，则图中阴影
8、部分的面积为_.【规律方法】割补法求阴影部分面积。例2-3小方桌面的边长是1米，把它的四边撑开，就成了一张圆桌面（如下图）。圆桌面的面积是 平方米。 【规律方法】求面积时要用到半径，此类问题不必求出半径，直接利用求出的半径的平方即可，这叫做整体思想。例2-4（第六届羊排赛）下图阴影部分很像佐助的风魔手里剑，其中正方形ABCD的边长为1米，分别以A、B、C、D为圆心，1米为半径作弧BE、弧CF、弧DG、弧AH，交AC于E和G，交BD于F和H。那么，图中阴影部分的面积是_平方米。（取3.14）【规律方法】扇形的面积公式为：为圆心角）【变式训练2】【难度分级】 A 1.求右图中阴影部分的面积。2.如
9、图，圆的面积是21.98平方分米，求正方形的面积。3. 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）4.(第二届羊排赛)以半圆的直径为其中一条直角边，作等腰直角三角形ABC，得到下图。已知半圆的直径为6，则两块阴影部分的面积之差是多少？（取3.14，单位：厘米）【难度分级】 B 5.如右图：计算阴影部分面积，其中AB=BC=10cm , ADDC.6. 如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。7.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见下图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积.8.右图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14平方厘米，求图中三角形
10、的面积。9.如图，等腰直角三角形ABC和圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积。 （三）长方体正方体的表面积和体积例3-1把一个长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和最大是多少平方厘米？【规律方法】截成两个长方体，有不同的截法，表面积和最大则需截面面积最大。例3-2下图中A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。现在把A处的土堆到B处，使A、B两处同样高，这时B处比原来升高了多少米？ABh【规律方法】等体积变形问题。【变式训练3】【难度分级】 A 1.(第15届华杯赛决赛)下图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块
11、搭成。这个立体图形的表面积为_32_.2.有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是209平方厘米，并且长、宽、高都有是质数，这个长方体的体积为_.3. 一个长方体的宽和高相等，若长减少2.5厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体。原来长方体的体积是多少立方厘米？4. 在一个棱长为2厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0.5厘米的正方体小洞。现在这个立方体图形的表面积是多少？【难度分级】B5.一个由27块小正方体组合而成的大正方体，表面被涂为黑色。测量后发现，这个大正方体的棱长为2分米，那么所有小正方体未被涂黑部分的表面之和是多少？6
12、.一个正方体木块棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。这60块长方体的表面积的和是多少？7.把一根长64dm的粗铁丝截成几段，焊成一个长方体框架，再用铁皮包上各个面，要使做成的带盖的长方体铁皮箱尽量多的装棱长为1dm的正方体铁块，做这个长方体铁皮箱需要多大面积的铁皮？（四）圆柱的表面积、圆柱与圆锥的体积例4-1如下图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下，制成一个圆柱形油桶。求圆柱形油桶的表面积和体积。【规律方法】圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长是圆周长，宽即圆柱的高。例4-2下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，
13、下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如下图b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于_立方厘米.（3.14，水瓶壁厚不计）【规律方法】本已知体积求高，列方程，然后解方程。【变式训练4】【难度分级】 A 1. 一个圆锥形的容器，高12厘米，里面装满了水，然后把水全部倒入和它等底的圆柱形容器里，水面高_厘米。2. 把底面积是18平方厘米，高是2厘米的圆柱形零件削成最大的圆锥，削成的体积是_立方厘米. 3.一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是72立方分米，圆柱的体积是_立方分米。【难度分级】 B4.一个直角三角形的两条直角边分别
14、为3厘米和5厘米，分别以两条直角边为轴，将三角形旋转一周，形成的几何体的体积相差多少？5一根圆柱形钢材，沿底面直径切割成两个相等的半圆柱体，如下图已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米，求原来钢材的体积和侧面积？6.（第六届羊排赛）下图给出了一个立体图形的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。（1）这个立体图形的表面积是多少平方厘米？（取3.14）（2） 这个立体图形的体积是多少立方厘米？（取3.14）7.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图，已知它的容积为26.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘
15、米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？（结果保留）8.从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的直径是5厘米，求圆锥的表面积。四、 讲练结合题一填空1.一个梯形的上底是2.4m，比下底短1.6m，高是3m，如果把它补成一个平行四边形，需补上面积为_平方米的三角形。2.一辆压路机，滚筒半径为1米，长2米，每分钟转10圈，每分钟转_平方米。3.圆柱与圆锥的体积相等，底面半径之比是1:2，那么高之比是_.4.一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积之差是24，那么圆柱的体积是_。5.如图，四边形ABCD是平行四边形，圆O的半径r=3cm。则阴影部分面积为_。6.如图，长方形ABCD的长和宽分别
16、为6和4，E、F分别为BC、CD的中点，阴影部分面积为_.7.（第五届羊排赛）如下图，以正方形的边长向内作四个完全相同的直角三角形，中心围出一个小正方形。已知小正方形的边长与直角三角形的短直角边长度相等。那么大正方形的面积是小正方形的_倍。二解答题1.下图中圆的面积是31.4平方厘米，求阴影部分的面积。2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少?3.（第六届羊排赛）如下图，四边形ABCD和DEFG都是正方形，其中正方形DEFG的面积为49平方厘米，且甲三角形的面积比乙三角形的面积大14平方厘米，
17、求正方形ABCD的面积是多少平方厘米？4.（第三届羊排赛）如图，在棱长为4的正方体上方中心向下挖出一块棱长为2的正方体，并将它粘合在正方体的下方中心。这个立体图形的表面积是多少？五课后自测练习1.在一个直径是2米的圆形水池四周，修一条宽1米的石子路，这条石子路的面积是_2.一个等腰三角形底和高的比是8:3，把它沿底边上的高剪开，拼成一个长方形，长方形的面积是192平方厘米，长方形的周长是_厘米。3.大圆的半径相当于小圆的直径，已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米，大圆的面积是_平方分米。4.如下图所示，圆形面积为18.84厘米，圆形内最大的正方形的面积为为多少？5.下图中长方形长6cm，宽
18、4cm，已知阴影比阴影面积少3cm2，求EC的长。6.求直角三角形中阴影部分的面积。（单位：分米）7.（第14届华杯赛决赛）如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD相交于O点，已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为16，求三角形OAB的面积。8.一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？9.把一个底面半径4分米，高6分米的圆柱形铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥。求这个圆锥的高。10有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为立
19、方厘米，在容器内满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度？ 【答案】课堂精讲（一）多边形的面积例1-1.解：例12解：66=36（平方厘米）（4+6）42=20（平方厘米）36+20=56（平方厘米） 6+4=10（厘米） 56-（662+4102）=18（平方厘米） 答：阴影部分的面积为18平方厘米。例13解：62=3（厘米） 832=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积为12平方厘米。例1-4解：2+4+4+8=18（平方分米）例1-5解：32222=48例1-6解：转化为平行四边形ABCD的面积比三角形EBC的面积大10 1082=40 40+10=50 5010=5cm 答：
20、CF的长为5厘米例1-6解：7+7-10=4（厘米） 422=4（平方厘米）【变式训练1】题号1234答案A566.885.解：h=345=2.4（厘米） 82.42=9.6（平方厘米）6.解：662=18（平方厘米） 6-4=2（厘米） 212=1（平方厘米） 18-1=17（平方厘米）7.解：平方厘米 答：四边形PMON的面积为1.8平方厘米8.解：GHCF， FGEC， （平方厘米）（二）圆的周长和面积例2-1解： 44-3.14=3.44（平方厘米） 16-3.442=9.12（平方厘米）例2-2解：50平方厘米例2-3解：1.57例2-4解：0.57【变式训练2】1.解：（平方厘米）
21、2.解：据题意：正方形面积3.解：（4+7）42=22（平方厘米）3.14=12.56（平方厘米） 22-12.56=9.44（平方厘米）4.解：662=18（平方厘米） 62=3（厘米） 3.142=14.13（平方厘米） 18-14.13=3.87（平方厘米）5.解：3.142=157（平方厘米）10102=50（平方厘米） 157-50=107（平方厘米）6.解：三角形DCE的面积为:1/2410=20平方厘米，梯形ABCD的面积为:1/2 (4+6)4=20平方厘米 从而知道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成1/4圆ABE的面积，其面积为：4=9=28
22、.26平方厘米7.解：如图，可分为半径为4米、圆心角为300的扇形与两个半径为1米、圆心角为120的扇形。面积为（平方米） 8. 解：圆的面积是=16（平方厘米），空白扇形面积占圆面积的1-1416=1/8,故扇形的圆心角为3601/8=45，三角形是腰长4厘米的等腰直角三角形，面积为442=8（平方厘米）。9.解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90到三角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去1/4个小圆面积,为: 552-4=12.25-3.14=9.36平方厘米（三）长方体正方体的表面积和体积例3-1解：（65+64+54）2+562=208（平方厘米）例3-2解：254（
23、25+15）=2.25（米）【变式训练3】1.解：32 2.解：374立方厘米3.解：1506=25（平方厘米） 55=25 55（5+2.5）=18.75（立方厘米）答：原来长方体的体积是187.5立方厘米。4.解：4=4（平方厘米）4=1（平方厘米）226+4+1=39（平方厘米）答：现在这个立体图形的表面积是39平方厘米。5.解：22=4（平方分米）4（26）=48（平方分米） 答：未被涂黑部分的表面之和是48平方分米。6.解：11=1（平方米）（3-1）2=4（面） （4-1）2=6（面） （5-1）2=8（面） 1（4+6+8）=18（平方米）答：这60块长方体的表面积的和是18平方
24、米。7.解：644=16分米, 16=5+5+6 552+564=170（平方分米） 答：需要170平方分米铁皮（四）圆柱的表面积、圆柱与圆锥的体积例4-1解：r=18.843.142=3（分米） d=32=6（分米） h=10-6=4（分米） 表面积：23.14+418.84=131.88（平方分米） 体积：3.144=113.04（立方分米）例4-2解：如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为11厘米，则倒立时高度为15厘米，这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半，所以瓶的容积相当于一个高22厘米（底面积不变）的圆柱的体积，即瓶的容积是：3.14221727（立方厘米）【变式训练4】1.解：
25、42.解：123.解：544.解：（立方厘米）5.解：由dh=960得2rh=960 立方厘米，（立方厘米） 侧面积=（平方厘米）6.解：（1）（平方厘米） 22=4（平方厘米） （平方厘米） 6.28+4+12.56=22.84（平方厘米） （立方厘米）7.解：底面积= V水=（立方厘米）8.解：扇形的弧长占大圆周长的分率：，圆锥表面积：（平方厘米）讲练结合题一 填空：题号1234567答案2.4125.64:336995二 解答题1.解： 阴影部分面积：（平方厘米）2.解：r=182=9（厘米），202=10（厘米） （厘米）答：水面降低5.4厘米3. 解：转化为正方形FEDG的面积比三角
26、形FEC的面积大14平方厘米。EC=3527=10（厘米）DC=10-7=3（厘米）（平方厘米）4. 解：446=96， 2242=32， 96+32=128 答：这个立体图形的表面积为128.课后自测练习1.解：9.42平方米2.解：563.解：12.564.解： 正方形的面积为：5解：转化为长方形ABCD的面积比三角形AEB的面积少 ， BE=2726=9cm， EC=9-4=5cm。6. 解： 空白部分的面积： 阴影部分面积：24.5-3.14=21.36（平方分米）7. 解：梯形的高：162（3+5）=4 三角形AOB的高： 8. 解：504=12.5（平方厘米），12.56=75（平方厘米） 答：原来正方体的表面积为75平方厘米。9. 解：（分米）答：圆锥的高为32分米。10. 解：容器的容积：水的体积：据图可知： 答：此时水面的高度为6厘米。
