1、江苏省常州市溧阳市2022-2023学年高一下期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.在复平面内，复数对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若向量，则在上的投影向量为（ ）A.B.C.D.3.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）A.两人都做对的概率是0.72B.恰好有一人做对的概率是0.26C.两人都做错的概率是0.15D.至少有一人做对的概率是0.984.在中，若，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.既非等腰三角形也非直角三角形5.设，为两
2、个不同的平面，为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）A.B.C.D.7.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为（ ）A.B.C.D.8.1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线上两点，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线垂直于平面，上的两点，位于平面同侧，求平面上一点，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系，设，当最大时，（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分
3、，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290则下列说法正确的是（ ）A.甲种水稻产量的众数为250B.乙种水稻产量的极差为70C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产最的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差10.正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是（ ）A.该四棱台的体积为B.该四棱台的侧棱长为C.与所成角的余弦值为D
4、.与平面所成的角大小为11.已知，分别是三个内角，的对边，则下列命题中正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则12.如图，正方体棱长为2，点是其侧面上的动点（含边界），点是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）A.存在点，使得平面与平面平行B.当点为中点时，过，点的平面截该正方体所得的截面是梯形C.过点，的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形D.当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75百
5、分位数为_.14.若复数满足，其中为虚数单位，则_.15.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为_.16.已知向量，夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤.17.（10分）已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，求与夹角的余弦值.18.（12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19.（12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，分别是线段，的中点.（1）证明：平面平面；（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.20.（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图
7、所示.（1）求出的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率.21.（12分）如图，已知在矩形中，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：面；（3）求二面角的余弦值.22.（12分）在斜三角形中，角，的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求的最小值.参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A 2.C 3.C 4
8、.A 5.C 6.A 7.B 8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.ABD 10.AB 11.ACD 12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.8.3 14. 15. 16.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）解：（1）因为，所以，1分由，可得，即，解得，3分所以，故.5分（2）因为向量，所以，所以.7分则，所以，所以与夹角的余弦值为.10分18.（12分）解：（1），即，4分令，解得，所以函数的单调递增区间为，8分（2）因为，所以，则
9、，所以，所以函数的最大值为1，最小值为.12分19.（12分）（1）证明如下：因为平面，平面，所以.1分因为是以为直径的圆上的点，所以.2分因为，分别是，的中点，所以，3分所以，又，且，平面，所以平面.6分又平面，故平面平面.8分（2），证明如下：由（1），又平面，平面，所以平面.10分又平面，平面平面，所以.12分20.（12分）解：（1）由，得.2分（2）平均数为：岁；4分设中位数为，则，岁.6分（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，8分分别记为，设从5人中随机抽取2人，有，共10个样本点，记“这2人恰好
10、在同一组”为事件，包含，共4个样本点，所以，故所求概率为.12分21.（12分）（1）证明：取线段的中点，连接、，翻折前，在矩形中，为的中点，则，所以，1分翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，1分为的中点，且，则，所以，为的中点，又因为为的中点，所以，平面，平面，所以，平面，且，平面，所以，平面平面，1分因为平面，平面.4分（2）证明：在矩形中，因为，则，因为，为的中点，所以，则，所以，所以，则，2分在三棱锥中，则有，因为，且，平面，所以，平面.8分（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，由（2）知，平面，平面，因为，且，平面，平面，平面，所以，二面角的平面角为，2分在三棱锥中，.所以，所以在直角中，由得，所以，所以，即所求二面角的余弦值为.12分22.（12分）解：（1）因为，所以，所以，2分因为，所以，1分所以，所以，由得，所以或（舍去）1分所以.6分（2）因为，由正弦定理得，所以，1分由（1）知，且，所以，1分所以，3分当且仅当时取等号，所以最小值为.12分
