1、2023年广东省广州市南沙区中考一模数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)1. 下列实数中,最小的是( )A. B. C. 0D. 32. 在平面直角坐标系中,点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是( )A. (3,4)B. (4,3)C. (3,4)D. (3,4)3. 广东省市场监督管理出台了一系列政策促进广东餐饮行业的发展,据统计,2023年第一季度广东省餐饮主体营收达亿元,将“亿”用科学记数法表示是( )A. B. C. D. 4. 下面的计算正确的是( )A. B. C. D. 5. 如图,在中,点,分别为,上的点,若,则下列结论错误的是( )A. B. C.
2、 D. 6. 若反比例函数的图象在第二、第四象限,常数和互为相反数,则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是( )A. B. C. D. 7. 如图,在中,点是圆上的一点且,弦,则的直径长是( )A. B. C. 24D. 128. 若是关于x一元二次方程的一个实数根,则的值是( )A. 4046B. C. D. 09. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是,且那么点的到轴的距离是( )A. 2B. 4C. D. 10. 如图,在菱形中,点是边上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,当点从点运动到点时,点的运动路径长是( )A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分
3、)11. 16的平方根是_12. 一次函数与轴的交点的坐标是_13. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛,其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90,85,90,综合成绩中唱功、表情、动作分别占,则这位同学的综合成绩是_ 分14. 直线,线段分别与,交于点,过点作,交直线于点,平分线交直线于点若,则的度数是_15. 已知平面直角坐标系中,点,将线段向正南方向平移2个单位得到线段,将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段,则点的坐标是_16. 如图,矩形中,点是边的中点,将沿翻折得到,延长交于点,连接,(1)若,则的度数是_(用含的代数式表示)(2)若,则的正切值是_三、解答题(本大题共9小题,满分72
4、分,解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤)17. 解一元一次方程:18. 如图,求证:19 已知(1)化简;(2)若是不等式组的整数解,选择一个合适的代入,并求出此时的值20. 已知y与成正比例,当时,(1)求y与x函数解析式;(2)若(1)中函数的图象与一次函数的图象相交于点A,求点A的坐标21. 某中学为推进“中国传统文化进校园”,在本校组织开展中国传统文化知识竞赛,并随机抽取了部分学生的测试成绩(成绩分为等,等,等,等)作为样本,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中所给信息,下列问题:(1)请将表示成绩类别为“等”的条形统计图补充完整;(2)该校共有2000名学生参加了本次知识
5、竞赛,试估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和;(3)学校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队(每队两人)参加市知识竞赛,4名同学中有2位男生和2位女生若学校通过抽签随机组合,请用列举法表示这4名同学的组队情况,并求出性别相同的同学在同一组的概率22. 如图,中, (1)尺规作图:以为直径作,连接并延长,分别交于,两点(点位于右侧,点位于左侧);(2)连接,求证:;(3)若,求的值23. 古往今来,桥给人们的生活带来便利,解决跨水或者越谷的交通,便于运输工具或行人在桥上畅通无阻广州市南沙区是典型的“水乡”,万里珠江在此奔腾入海,辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛
6、”连成了粵港澳大湾区的中心,助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形,坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝,距今已有约1400年的历史,是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥如图所示,赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为米,拱高(拱顶点到弦的距离)约为米(1)某桥主桥拱是圆弧形(如图中),已知跨度,拱高,则这条桥主桥拱的半径是_;(2)某桥的主桥拱是抛物线形(如图),若水面宽,拱顶(抛物线顶点)距离水面,求桥拱抛物线的解析式;(3)如图,某时桥和桥的桥下水位均上升了,求此时两桥的水面宽度24. 定义新概念:有一组邻边相等,且它
7、们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图,等腰直角四边形,若,于点,求的长;若,求的长;(2)如图,在矩形中,点是对角线上的一点,且,过点作直线分别交边,于点,要使四边形是等腰直角四边形,求的长25. 抛物线图象与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的对称轴与轴交于点(1)求的值;(2)点是线段上的一个动点,过点作轴的垂线与抛物线相交于点,当四边形的面积取得最大值,求此时点的坐标;(3)点在的抛物线上,点在的抛物线的对称轴上,若直线垂直平分线段时,求点的坐标2023年广东省广州市南沙区中考一模数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)1. 下列实数中,最小是( )A
8、. B. C. 0D. 3【答案】B【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小,再求出最小的数即可【详解】解:最小的数是,故选:B【点睛】本题考查了实数的大小比较,能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键2. 在平面直角坐标系中,点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是( )A. (3,4)B. (4,3)C. (3,4)D. (3,4)【答案】A【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案【详解】解:点P(3,-4)关于原点对称的点的坐标是(-3,4),故选:A【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标,关键是掌握点的坐标的变化规律3. 广东省市场监督管理出台
9、了一系列政策促进广东餐饮行业的发展,据统计,2023年第一季度广东省餐饮主体营收达亿元,将“亿”用科学记数法表示是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按照科学记数法的表示形式表示即可【详解】解:亿,故选:D【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示,其形式为,且n为正整数,它等于原数的整数数位与1的差4. 下面的计算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式、同类项的合并、同底数幂的乘法与幂的乘方逐项判断即可【详解】解:A、,故计算错误;B、,故计算错误;C、,故计算错误;D、,故计算正确;故选:D【点睛】本题考查了幂的运算,
10、乘法公式及同类项的合并等知识,属于基础知识,牢固掌握是关键5. 如图,在中,点,分别为,上的点,若,则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件证明,进而根据相似三角形的性质即可求解【详解】解:, 又,即,故选:A【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键6. 若反比例函数的图象在第二、第四象限,常数和互为相反数,则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数的图象过二、四象限可知,再根据常数和互为相反数,结合一次函数的性质进行判断即可【详解】解
11、:反比例函数的图象过二、四象限,常数和互为相反数,一次函数中,此函数的图象过二、三、四象限故选:D【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质,根据反比例函数的图象判断出的取值范围是解答此题的关键7. 如图,在中,点是圆上的一点且,弦,则的直径长是( )A. B. C. 24D. 12【答案】A【解析】【分析】在优弧上找一点,连接,过点作于点,根据圆内接四边形对角互补得出,根据圆周角定理得出,根据垂径定理得出,解,即可求解【详解】解:如图所示,在优弧上找一点,连接,过点作于点,四边形是圆内接四边形,在中,的直径长是,故选:A【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补,圆周角定理,垂径定理,解直角
12、三角形,熟练掌握以上知识是解题的关键8. 若是关于x一元二次方程的一个实数根,则的值是( )A. 4046B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】把a代入方程整理得,把代数式适当变形,再整体代入求值即可【详解】解:把a代入方程中,得,移项得得:;则;故选:C【点睛】本题考查了一元二次方程的解,求代数式的值,注意整体思想的运用9. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是,且那么点的到轴的距离是( )A. 2B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,进而得出,根据,即可求解【详解】解:过点作轴于点,过点作轴于点,则,又的坐标是,解得:,故选:B【点睛】本题主要考
13、查了相似三角形的判定与性质,通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键10. 如图,在菱形中,点是边上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,当点从点运动到点时,点的运动路径长是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点O,连接,则点G在以O为圆心2为半径的圆弧上运动,易得,则由弧长公式即可求得结果【详解】解:如图,取的中点O,连接、相交于点H,连接,四边形是菱形,点G在以O为圆心2为半径的圆上运动,当点E与点A重合时,点G与点H重合;当点E与点B重合时,点G与点B重合,点G在以O为圆心2为半径的圆弧上运动,O、H分别为、的中点,故选:A【点睛】本题考查了菱形的性质,三角形中位线
14、定理,直角三角形斜边上中线的性质,求圆弧长等知识,确定出点G的运动路径是解题的关键第二部分 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)11. 16的平方根是_【答案】【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】即:16的平方根是故填:【点睛】此题主要考查平方根,解题的关键是熟知平方根的定义12. 一次函数与轴的交点的坐标是_【答案】【解析】【分析】将代入解析式,即可求解【详解】解:将代入,解得:,一次函数与轴的交点的坐标是,故答案为:【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点,掌握一次函数的性质是解题的关键13. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛,其中唱功、表情、动作
15、三个方面的得分分别是90,85,90,综合成绩中唱功、表情、动作分别占,则这位同学的综合成绩是_ 分【答案】89【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可【详解】解;该同学的综合成绩是:(分),故答案为:89【点睛】本题考查加权平均数,熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键14. 直线,线段分别与,交于点,过点作,交直线于点,的平分线交直线于点若,则的度数是_【答案】【解析】【分析】由垂直关系及可求得的度数,由平行线的性质可求得的度数,由角平分线的定义求得的度数,再由平行线的性质即可求得的度数【详解】解:,;,;平分,;故答案为:【点睛】本题考查了平行线的性质,互余关系,角平分线的定义等知
16、识,其中平行线性质的掌握是解题的关键15. 已知平面直角坐标系中,点,将线段向正南方向平移2个单位得到线段,将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段,则点的坐标是_【答案】【解析】【分析】由题意可知,向正南方向平移2个单位后得到,随后即绕,顺时针旋转,即可解答【详解】解:由题意可知,向正南方向平移2个单位后得到,线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段,可得,故答案为:【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移,绕某点旋转后点的坐标,熟练掌握该内容是解题的关键16. 如图,矩形中,点是边的中点,将沿翻折得到,延长交于点,连接,(1)若,则的度数是_(用含的代数式表示)(2)若,则的正切值是_【答案】 .
17、 #【解析】【分析】(1)根据折叠的性质可得,,根据以及三角形内角和定理即可求解;(2)设,则,由(1)可知,如图所示,取的中点,连接,过点作于点,则,勾股定理求得,根据斜边上的中线得出,等面积法求得,勾股定理求得,进而根据正切的定义即可求解【详解】解:(1)矩形中,将沿翻折得到,,,,,故答案为:;(2),设,则,由(1)可知,如图所示,取的中点,连接,过点作于点,在中,,,则,在中,故答案为:【点睛】本题考查了矩形的折叠问题,解直角三角形,熟练掌握是三角函数的定义是解题的关键三、解答题(本大题共9小题,满分72分,解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤)17. 解一元一次方程:【答案】【
18、解析】【分析】去括号、移项并合并同类项、系数化为1即可求解【详解】解:去括号得:,移项、合并同类项得:,系数化为1得:,即方程的解为:【点睛】本题考查了解一元一次方程,掌握解一元一次方程的步骤并正确解答是关键18. 如图,求证:【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件直接证明,得出,根据,即可得证【详解】在与中,即【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键19. 已知(1)化简;(2)若是不等式组的整数解,选择一个合适的代入,并求出此时的值【答案】(1) (2)当时,的值为1【解析】【分析】(1)先算括号内减法,同时把除法变成乘法,再根据分式的乘法进
19、行计算即可;(2)先解不等式组,再从解集中选择一个合适的值代入进行计算即可得到答案【小问1详解】解:;【小问2详解】解:,解得:,解得:,不等式组的解集为:,由题意可得,不能取1,当时,原式【点睛】本题主要考查了分式的混合运算,解不等式组,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键20. 已知y与成正比例,当时,(1)求y与x的函数解析式;(2)若(1)中函数的图象与一次函数的图象相交于点A,求点A的坐标【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可;(2)根据题意建立二元一次方程组求解即可【小问1详解】解:设函数解析式为:,当时,解得:,y与x的函数解析式为:
20、;【小问2详解】解:根据题意,建立方程组,解得,点A的坐标为:【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键21. 某中学为推进“中国传统文化进校园”,在本校组织开展中国传统文化知识竞赛,并随机抽取了部分学生的测试成绩(成绩分为等,等,等,等)作为样本,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中所给信息,下列问题:(1)请将表示成绩类别为“等”的条形统计图补充完整;(2)该校共有2000名学生参加了本次知识竞赛,试估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和;(3)学校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队(每队两人)参加
21、市知识竞赛,4名同学中有2位男生和2位女生若学校通过抽签随机组合,请用列举法表示这4名同学的组队情况,并求出性别相同的同学在同一组的概率【答案】(1)见解析 (2)本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和为1080人 (3)性别相同的同学在同一组的概率为【解析】【分析】(1)先求出抽取学生的总人数,再求出成绩类别为“等”的人数,最后补全条形统计图即可;(2)根据进行计算即可得到答案;(3)先列出表格,找出所有可能出现的结果,再找出符合题意的几种情况,最后根据概率公式进行计算即可得到答案【小问1详解】解:根据题意可得:抽取学生的总人数为:(人),成绩类别为“等”的人数为:(人),补全
22、条形统计图如图所示:【小问2详解】解:根据题意可得:(人),答:本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和为1080人;【小问3详解】解:根据题意列出表格如下:男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男2男1男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1共有12种等可能出现的结果,其中性别相同的同学在同一组的情况有4种情况,性别相同的同学在同一组的概率为,答:性别相同的同学在同一组的概率为【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,列表法和画树状图求概率,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键22. 如图,在中, (1
23、)尺规作图:以为直径作,连接并延长,分别交于,两点(点位于右侧,点位于左侧);(2)连接,求证:;(3)若,求的值【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)【解析】【分析】(1)根据题意作出图即可;(2)由为的直径,得到,由,得到,从而得到,又由即可得到;(3)在中, ,得到,即可得到,从而得到为等边三角形,再根据三角形的外角得到,即,作交于,根据三角函数即可求得的长,根据勾股定理可求出的长,最后即可得到答案【小问1详解】解:根据题意画出图如图所示:;【小问2详解】解:如图所示:,为的直径,;【小问3详解】解:在中, ,为等边三角形,作交于,【点睛】本题主要考查了勾股定理,锐角三角函数,尺规作
24、图,熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键23. 古往今来,桥给人们的生活带来便利,解决跨水或者越谷的交通,便于运输工具或行人在桥上畅通无阻广州市南沙区是典型的“水乡”,万里珠江在此奔腾入海,辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心,助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形,坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝,距今已有约1400年的历史,是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥如图所示,赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为米,拱高(拱顶点到弦的距离)约为米(1)某桥主桥拱是圆弧
25、形(如图中),已知跨度,拱高,则这条桥主桥拱的半径是_;(2)某桥的主桥拱是抛物线形(如图),若水面宽,拱顶(抛物线顶点)距离水面,求桥拱抛物线的解析式;(3)如图,某时桥和桥的桥下水位均上升了,求此时两桥的水面宽度【答案】(1) (2) (3)水面宽度分别为米;米【解析】【分析】(1)连接,延长至点,在在中,代入数据即可求解;(2)以水面所在直线为轴,的中点为原点,建立平面直角坐标系,依题意,设抛物线解析式为,将点代入,待定系数法求解析式即可求解;(3)根据垂径定理,勾股定理,在中求得,即可得出,由(1)可得抛物线解析式为,当时,解一元二次方程,即可求解【小问1详解】解:如图所示,连接,延长
26、,由垂径定理知延长线经过点,依题意,设半径为,则在中,即解得:,故答案:小问2详解】解:如图所示,以水面所在直线为轴,的中点为原点,建立平面直角坐标系,依题意,设抛物线解析式为,将点代入得,解得:抛物线解析式为【小问3详解】解:如图所示,依题意,则,在中,则水面宽度为米;由(1)可得抛物线解析式为如图所示, 当水面上涨米时,当时,解得:,水面宽度为米【点睛】本题考查了垂径定理的应用,二次函数的应用,熟练掌握垂径定理与二次函数的性质是解题的关键24. 定义新概念:有一组邻边相等,且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图,等腰直角四边形,若,于点,求的长;若,求的长;(2)如图,在
27、矩形中,点是对角线上的一点,且,过点作直线分别交边,于点,要使四边形是等腰直角四边形,求的长【答案】(1); (2)满足条件的的长为【解析】【分析】(1)根据勾股定理求出,再根据勾股定理求出的值;连接、,交于点,过点C作,交于点E,证明垂直平分,得出,证明,得出,证明,得出,根据勾股定理求出,即可得出答案;(2)若,则,推出四边形表示等腰直角四边形,不符合条件若与不垂直,当时,此时四边形是等腰直角四边形,当时,此时四边形是等腰直角四边形,分别求解即可【小问1详解】解:连接,如图所示:,;连接、,交于点,过点C作,交于点E,如图所示:则,、在线段的垂直平分线上,垂直平分,【小问2详解】解:四边形
28、为矩形,;若时,如图所示:则四边形和为矩形,;四边形不可能是等腰直角四边形;若与不垂直,当时,如图所示:,此时点F不在边上,不符合题意;若与不垂直,当时,如图所示:此时四边形是等腰直角四边形,综上所述,满足条件的的长为【点睛】本题主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,解题的关键是理解题意,作出辅助线,画出相应的图形,数形结合,注意分类讨论25. 抛物线的图象与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的对称轴与轴交于点(1)求的值;(2)点是线段上的一个动点,过点作轴的垂线与抛物线相交于点,当四边形的面积取得最大值,求此时点的坐标;(3)点在的抛物线上,点在的抛
29、物线的对称轴上,若直线垂直平分线段时,求点的坐标【答案】(1) (2) (3)或【解析】【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;(2)根据题意求得直线的解析式为,设,则,四边形的面积,则当取得最大值,四边形的面积取得最大值,进而表示出,根据二次函数的性质即可求解;(3)设直线与交于点,则,依题意关于直线对称,进而得出的纵坐标为,将代入得,解方程求得点的横坐标,即可求解【小问1详解】解:抛物线的图象与轴交于点和点,与轴交于点,解得:,抛物线解析式为,;【小问2详解】解:如图所示,由,当时,即,解得:,由对称轴为直线,则,设直线的解析式为,代入,得,解得:直线的解析式为,设,则,四边形的面积当取得最大值,四边形的面积取得最大值,当时取得最大值,此时【小问3详解】设直线与交于点,解得:,则,点在的抛物线上,点在的抛物线的对称轴上,直线垂直平分线段,即关于直线对称,则,的纵坐标为,将代入得,解得:或,或【点睛】本题考查了二次函数综合运用,待定系数法求解析式,面积问题,线段垂直平分线的性质,轴对称的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键