1、2019 年广东省广州市荔湾区中考数学二模试卷年广东省广州市荔湾区中考数学二模试卷 一、选择题：本大题一、选择题：本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 1 （3 分）在实数|3|，2，0， 中，最小的数是（ ） A|3| B2 C0 D 2 （3 分）有 6 个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A B C D 3 （3 分）若一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限，则一次函数 ybx+k 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aaa2a3 B （a3）2a5 Ca
2、+a2a3 Da6a2a3 5 （3 分）有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aa4 Bbd0 C|a|b| Db+c0 6 （3 分）如图，圆锥底面半径为 rcm，母线长为 5cm，其侧面展开图是圆心角为 216的扇形，则 r 的值 为（ ） A3 B4 C5 D6 7 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B 在反比例函数 y（k0，x0）的图 象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD 的面积为，则 k 的值为（ ） A B C4 D5 8 （3 分）已知抛物线 yx24x+3 与 x 轴相交于点 A
3、，B（点 A 在点 B 左侧） ，顶点为 M平移该抛物线， 使点 M 平移后的对应点 M落在 x 轴上，点 B 平移后的对应点 B落在 y 轴上，则平移后的抛物线解析式 为（ ） Ayx2+2x+1 Byx2+2x1 Cyx22x+1 Dyx22x1 9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABCD，M、N、P 分别是 AD、BC、BD 的中点ABD20， BDC70，则NMP 的度数为（ ） A50 B25 C15 D20 10 （3 分）O 是半径为 1 的圆，点 O 到直线 L 的距离为 3，过直线 L 上的任一点 P 作O 的切线，切点 为 Q；若以 PQ 为边作正方形 PQ
4、RS，则正方形 PQRS 的面积最小为（ ） A7 B8 C9 D10 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 11 （3 分）0.000000602 用科学记数法可表示为 12 （3 分）若方程1 的解是负数，则 a 的取值范围是 13 （3 分）如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 3 条，那么该多边形的内角和是 度 14 （3 分）已知一个直角三角形的斜边与直角边相差 8cm，有一条直角边长为 12cm，斜边上的中线长 为 15 （3 分） 如图， 已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上， 顶点 G、
5、 F 分别在边 AB、AC 上 如 果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 16 （3 分）在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，P 是 BC 边上的一个动点，过点 P 分别作 PMAB 于 M，PN AC 于 N，连接 PA，则下列说法正确的是 （填序号） 若 PB1，则；若 PB2，则 SABC8SBMP； ；若 0PB1，则 S四边形AMPN最大值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （9 分）计算：+|2|+tan60（2）0+（）
6、2 18 （9 分）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，连结 AE若 ABAE，求证：DAED 19 （10 分）先化简，再求值： （x+1）（4） ，其中 x2cos30 20 （10 分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前 20 的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下 不完整的统计图表： 组别 步数分组 频率 A x6000 0.1 B 6000 x7000 0.5 C 7000 x8000 m D x8000 n 合计 1 根据信息解答下列问题： （1）填空：m ，n ；并补全条形统计图； （2）这 20 名朋友一天行走步数的中位数落在 组； （填组别） （3）张
7、老师准备随机给排名前 4 名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率 21 （12 分）如图，在ABC 中，ACB90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D； 以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD （1）若A28，求ACD 的度数 （2）设 BCa，ACb 线段 AD 的长是方程 x2+2axb20 的一个根吗？说明理由 若 ADEC，求的值 22 （12 分）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千克之间 （含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元；若超过
8、60 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但 批发总金额不得少于 300 元 （1）根据题意，填写如表： 蔬菜的批发量（千克） 25 60 75 90 所付的金额（元） 125 300 300 360 （2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量 y（千克）与零售价 x（元/千克）是一次函数关系， 其图象如图，求出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于 75 千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时， 该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？ 23 （12 分）在边长为 12 的正方形 ABCD 中，P 为 AD 的中点，连结 PC，
9、（1）作出以 BC 为直径的O，交 PC 于点 Q（要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） ； （2）连结 AQ，证明：AQ 为O 的切线； （3）求 QC 的长与 cosDAQ 的值； 24 （14 分）已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点（不与点 A、P 重合） ，联结 AC，以直 线 AC 为对称轴翻折 AO，将点 O 的对称点记为 O1，射线 AO1交半圆 O 于点 B，联结 OC （1）如图 1，求证：ABOC； （2）如图 2，当点 B 与点 O1重合时，求证：； （3）过点 C 作射线 AO1的垂线，垂足为 E，联结 OE 交 AC 于 F当 AO
10、5，O1B1 时，求的值 25 （14 分）已知抛物线 C1：yax2+bx（a0）经过点 A（1，0）和 B（3，0） （1）求抛物线 C1的解析式，并写出其顶点 C 的坐标 （2） 如图 1， 把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2， 此时点 A， C 分别平移到点 D， E 处 设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的上方， 若DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形， 求点 F 的坐标 （3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM 交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 B 向点 C 运动时：tanE
11、NM 的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题一、选择题：本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 1 （3 分）在实数|3|，2，0， 中，最小的数是（ ） A|3| B2 C0 D 【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案 【解答】解：在实数|3|，2，0， 中， |3|3，则20|3|， 故最小的数是：2 故选：B 【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键 2 （3 分）有 6 个相同的小正方体搭成的几何体
12、如图所示，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】俯视图有 3 列，从左到右正方形个数分别是 2，2，1 【解答】解：该几何体的俯视图为 故选：A 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力 3 （3 分）若一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限，则一次函数 ybx+k 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据一次函数 ykx+b 图象在坐标平面内的位置关系先确定 k，b 的取值范围，再根据 k，b 的 取值范围确定一次函数 ybx+k 图象在坐标平面内的位置关系，从而求解 【解答】解：一次函数
13、 ykx+b 过一、二、四象限， 则函数值 y 随 x 的增大而减小，因而 k0； 图象与 y 轴的正半轴相交则 b0， 因而一次函数 ybx+k 的一次项系数b0， y 随 x 的增大而减小，经过二四象限， 常数项 k0，则函数与 y 轴负半轴相交， 因而一定经过二三四象限， 因而函数不经过第一象限 故选：A 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系函数值 y 随 x 的增大而减小k0；函数值 y 随 x 的增大而增大k0； 一次函数 ykx+b 图象与 y 轴的正半轴相交b0， 一次函数 ykx+b 图象与 y 轴的负半轴相交b0， 一次函数 ykx+b 图象过原点b0 4 （3 分）
14、下列计算正确的是（ ） Aaa2a3 B （a3）2a5 Ca+a2a3 Da6a2a3 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不 变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、aa2a3，正确； B、应为（a3）2a3 2a6，故本选项错误； C、a 与 a2不是同类项，不能合并，故本选项错误 D、应为 a6a2a6 2a4，故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关 键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并 5 （3 分）有理数 a，b，c，d 在数轴
15、上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aa4 Bbd0 C|a|b| Db+c0 【分析】根据数轴上点的位置关系，可得 a，b，c，d 的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得 答案 【解答】解：由数轴上点的位置，得 a4b0c1d A、a4，故 A 不符合题意； B、bd0，故 B 不符合题意； C、|a|4，|b|2，|a|b|，故 C 符合题意； D、b+c0，故 D 不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出 a，b，c，d 的大小是解题关键 6 （3 分）如图，圆锥底面半径为 rcm，母线长为 5cm，其侧面展开图是圆心角为 216
16、的扇形，则 r 的值 为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】直接根据弧长公式即可得出结论 【解答】解：圆锥底面半径为 rcm，母线长为 5cm，其侧面展开图是圆心角为 216的扇形， 2r25， 解得 r3 故选：A 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键 7 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B 在反比例函数 y（k0，x0）的图 象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD 的面积为，则 k 的值为（ ） A B C4 D5 【分析】根据题意，利用面积法求出 AE，设出点 B 坐标，表示点 A 的坐标应用反比例函数上
17、点的横 纵坐标乘积为 k 构造方程求 k 【解答】解：连接 AC，BD，AC 与 BD、x 轴分别交于点 E、F 由已知，A、B 横坐标分别为 1，4 BE3 四边形 ABCD 为菱形，AC、BD 为对角线 S菱形ABCD4AEBE AE 设点 B 的坐标为（4，y） ，则 A 点坐标为（1，y+） 点 A、B 同在 y图象上 4y1 （y+） y B 点坐标为（4，） k5 故选：D 【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与 k 之间的关 系 8 （3 分）已知抛物线 yx24x+3 与 x 轴相交于点 A，B（点 A 在点 B 左侧） ，顶点为 M平
18、移该抛物线， 使点 M 平移后的对应点 M落在 x 轴上，点 B 平移后的对应点 B落在 y 轴上，则平移后的抛物线解析式 为（ ） Ayx2+2x+1 Byx2+2x1 Cyx22x+1 Dyx22x1 【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出 A，B，M 点坐标，进而得出平移 方向和距离，即可得出平移后解析式 【解答】解：当 y0，则 0 x24x+3， （x1） （x3）0， 解得：x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ， yx24x+3 （x2）21， M 点坐标为： （2，1） ， 平移该抛物线，使点 M 平移后的对应点 M落在 x 轴上，点 B 平移
19、后的对应点 B落在 y 轴上， 抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移 3 个单位长度即可， 平移后的解析式为：y（x+1）2x2+2x+1 故选：A 【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解 题关键 9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABCD，M、N、P 分别是 AD、BC、BD 的中点ABD20， BDC70，则NMP 的度数为（ ） A50 B25 C15 D20 【分析】根据中位线定理和已知，易证明PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可 求出PMN 的度数 【解答】解：在四边形 ABCD 中，M、N、P
20、 分别是 AD、BC、BD 的中点， PN，PM 分别是CDB 与DAB 的中位线， PMAB，PNDC，PMAB，PNDC， ABCD， PMPN， PMN 是等腰三角形， PMAB，PNDC， MPDABD20，BPNBDC70， MPNMPD+NPD20+（18070）130， PMN25 故选：B 【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定 应用的知识 10 （3 分）O 是半径为 1 的圆，点 O 到直线 L 的距离为 3，过直线 L 上的任一点 P 作O 的切线，切点 为 Q；若以 PQ 为边作正方形 PQRS，则正方形 PQRS 的
21、面积最小为（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】连结 OQ、OP，作 OHl 于 H，如图，则 OH3，根据切线的性质得 OQPQ，利用勾股定理 得到 PQ，根据垂线段最短，当 OPOH3 时，OP 最小，于是 PQ 的最小值 为 2，即可得到正方形 PQRS 的面积最小值为 8 【解答】解：连结 OQ、OP，作 OHl 于 H，如图，则 OH3， PQ 为O 的切线， OQPQ， 在 RtPOQ 中，PQ， 当 OP 最小时，PQ 最小，正方形 PQRS 的面积最小， 而当 OPOH3 时，OP 最小， 所以 PQ 的最小值为2， 所以正方形 PQRS 的面积最小值为 8 故选：B 【点
22、评】 本题考查了切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径 运用切线的性质来进行计算或论证， 常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 11 （3 分）0.000000602 用科学记数法可表示为 6.0210 7 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000006026.0210 7 故答案为：6.02
23、10 7 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12 （3 分）若方程1 的解是负数，则 a 的取值范围是 a2 且 a4 【分析】先去分母得到关于 x 的与一次方程吗，解方程得到 x，利用方程1 的解是负 数得到0，加上分母不为零得+20，然后解两个不等式得到 a 的范围 【解答】解：去分母得 2x+ax2， 解得 x， 因为方程1 的解是负数， 所以0，解得 a2， 而 x+20，即+20，解得 a4， 所以 a 的范围为 a2 且 a4 故答案为 a2 且 a4 【点评】本题考
24、查了分式方程的解：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大 了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解 13 （3 分）如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 3 条，那么该多边形的内角和是 720 度 【分析】由多边形的一个顶点出发的对角线共有（n3）条可求出边数，然后求内角和 【解答】解：多边形的一个顶点出发的对角线共有（n3）条， n33，n6， 内角和（62）180720 故答案是：720 【点评】本题运用了多边形的内角和定理，关键是要知道多边形的一个顶点出发的对角线共有（n3） 条 14（3分） 已知一个直角三角形的斜边与直
25、角边相差8cm， 有一条直角边长为12cm， 斜边上的中线长为 10cm 或 6.5cm 【分析】分两种情况讨论： ：直角三角形的斜边与 12cm 长的直角边相差 8cm，直角三角形的斜边与 xcm 长的直角边相差 8cm，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到结论 【解答】解：若直角三角形的斜边与 12cm 长的直角边相差 8cm，则斜边长为 20cm， 斜边上的中线长为 10cm； 若直角三角形的斜边与 xcm 长的直角边相差 8cm，则斜边长为（x+8）cm， 由勾股定理可得，122+x2（x+8）2， 解得 x5， 斜边长为 13cm， 斜边上的中线长为 6.5cm； 故
26、答案为：10cm 或 6.5cm 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，注意在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边 的一半 15 （3 分） 如图， 已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上， 顶点 G、 F 分别在边 AB、AC 上 如 果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH3，设正方形 DEFG 的边长为 x， 则 GFx， MHx， AM3x， 再证明AGFABC， 则根据相似三角形的性质得， 然后解关于 x 的方程即可 【解答】解：作 AHBC 于
27、H，交 GF 于 M，如图， ABC 的面积是 6， BCAH6， AH3， 设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GFx，MHx，AM3x， GFBC， AGFABC， ，即，解得 x， 即正方形 DEFG 的边长为 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性 质 16 （3 分）在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，P 是 BC 边上的一个动点，过点
28、P 分别作 PMAB 于 M，PN AC 于 N，连接 PA，则下列说法正确的是 （填序号） 若 PB1，则；若 PB2，则 SABC8SBMP； ；若 0PB1，则 S四边形AMPN最大值是 【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质得出 BMBP，PM，AMABBM ，由勾股定理求出 PA 的长，即可得出结论； PB2， 则 P 为 BC 的中点， PA 为ABC 的高， BMBP1， 由勾股定理求出 PM， PA2， 由三角形面积公式即可得出结论； 设 BPx，则 CP4x，由等边三角形的性质和直角三角形的性质得出 BMx，PMx，CN （4x） ，PN（4x） ，求出 AM4x，AN
29、2+x，得出四边形 AMPN 的周长，即可得出 结论； 由得：S四边形AMPNx2+x+2（x2）2+3，求出 0PB1 时，PB1 时的 面积最大，代入二次函数进行计算即可得出结论 【解答】解：PMAB，ABC 是等边三角形， BPM30， BMBP，PM，AMABBM4， PA，故正确； PB2，则 P 为 BC 的中点，PA 为ABC 的高， BMBP1，PM，PA2， SABCBCPA424，SBMPBMPM1， SABC8SBMP，故正确； 设 BPx，则 CP4x， ABC 是等边三角形， BC60， PMAB，PNAC， BMx，PMx，CN（4x）2，PN（4x） ， AM4x
30、，AN2+x， 四边形 AMPN 的周长x+（4x）+4x+2+x2+6， 故不正确； 由得：S四边形AMPN（4x） x+4（4x）（4x）x2+x+2， （x2）2+3， 若 0PB1，当 x1，即 PB1 时， S四边形AMPN的值最大（x1）2+3，故不正确； 故答案为： 【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式以及二次函数 关系式；熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质，求出二次函数关系式是解决问题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证
31、明过程或演算步骤 17 （9 分）计算：+|2|+tan60（2）0+（） 2 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和立方根的性质、负指数幂的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式0.5+22+1+4 3+0.5 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （9 分）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，连结 AE若 ABAE，求证：DAED 【分析】由平行四边形的性质可得 ADBC，BD，可得DAEAEB，由等腰三角形的性质可 得BAEB，即可得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，BD DAEAEB ABAE BA
32、EB DDAE 【点评】 本题考查了平行四边形的性质， 等腰三角形的性质， 熟练运用平行四边形的性质是本题的关键 19 （10 分）先化简，再求值： （x+1）（4） ，其中 x2cos30 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 x2时，原式74 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （10 分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前 20 的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下 不完整的统计图表： 组别 步数分组 频率 A x6000 0
33、.1 B 6000 x7000 0.5 C 7000 x8000 m D x8000 n 合计 1 根据信息解答下列问题： （1）填空：m 0.3 ，n 0.1 ；并补全条形统计图； （2）这 20 名朋友一天行走步数的中位数落在 B 组； （填组别） （3）张老师准备随机给排名前 4 名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率 【分析】 （1）用 A 组的频数除以它的频率得到调查的总人数，再分别用 C 组、D 组的频数除以总人数得 到 m、n 的值，然后画条形统计图； （2）利用中位数的定义进行判断； （3）画树状图展示 12 种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数
34、，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）20.120， m0.3，n0.1； 故答案为 0.3；0.1； 条形统计图如图 （2）这 20 名朋友一天行走步数的中位数落在 B 组； 故答案为 B； （3）画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为 2， P（甲、乙被同时点赞） 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 21 （12 分）如图，在ABC 中，ACB90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交
35、线段 AB 于点 D； 以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD （1）若A28，求ACD 的度数 （2）设 BCa，ACb 线段 AD 的长是方程 x2+2axb20 的一个根吗？说明理由 若 ADEC，求的值 【分析】 （1）根据三角形内角和定理求出B，根据等腰三角形的性质求出BCD，计算即可； （2）根据勾股定理求出 AD，利用求根公式解方程，比较即可； 根据勾股定理列出算式，计算即可 【解答】解： （1）ACB90，A28， B62， BDBC， BCDBDC59， ACD90BCD31； （2）由勾股定理得，AB， ADa， 解方程 x2+2axb20
36、 得，xa， 线段 AD 的长是方程 x2+2axb20 的一个根； ADAE， AEEC， 由勾股定理得，a2+b2（b+a）2， 整理得， 【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解 题的关键 22 （12 分）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千克之间 （含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元；若超过 60 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但 批发总金额不得少于 300 元 （1）根据题意，填写如表： 蔬菜的批发量（千克） 25 60 75 90 所付的金额（元） 125 3
37、00 300 360 （2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量 y（千克）与零售价 x（元/千克）是一次函数关系， 其图象如图，求出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于 75 千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时， 该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】 （1）根据这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发 价是 5 元，可得 605300 元；若超过 60 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则 9050.8360 元； （2）把点（5，90） ， （6，60）代入
38、函数解析式 ykx+b（k0） ，列出方程组，通过解方程组求得函数关 系式； （3）利用最大利润y（x4） ，进而利用配方法求出函数最值即可 【解答】 解： （1） 由题意知：当蔬菜批发量为 60 千克时： 605300 （元） ， 当蔬菜批发量为 90 千克时： 9050.8360（元） ， 填写表格如下： 蔬菜的批发量（千 克） 25 60 75 90 所付的金额（元） 125 300 300 360 （2）设该一次函数解析式为 ykx+b（k0） ， 把点（5，90） ， （6，60）代入，得， 解得： 故该一次函数解析式为：y30 x+240； （3）设当日可获利润 w（元） ，日零售
39、价为 x 元，由（2）知， w（30 x+240） （x50.8）30（x6）2+120， 30 x+24075，即 x5.5， 当 x5.5 时，当日可获得利润最大，最大利润为 112.5 元 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，根据销售问题的相等关系 得出 W 与 x 的函数关系式是解题关键 23 （12 分）在边长为 12 的正方形 ABCD 中，P 为 AD 的中点，连结 PC， （1）作出以 BC 为直径的O，交 PC 于点 Q（要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） ； （2）连结 AQ，证明：AQ 为O 的切线； （3）求 QC 的长与 cos
40、DAQ 的值； 【分析】 （1）作 BC 的垂直平分得到 BC 的中点 O，然后作出O； （2）过 Q 点作 QEBC 于 E，交 AD 于 F，连接 BQ、OQ、OA，如图，利用勾股定理计算 PC6， 证明 RtBCQRtCPD，利用相似比计算出 CQ，再利用射影定理计算 CE，则可得到 QE，所以 FQ，从而利用勾股定理计算出 AQ12，于是可证明OABOQA 得到OQA OBA90，然后根据切线的判定定理可判断 AQ 为O 的切线； （3）由（2）得 CQ，AF，AQ12，然后根据余弦的定义得到即 cosDAQ 的值 【解答】解： （1）如图，点 Q 为所作； （2）证明：过 Q 点作
41、QEBC 于 E，交 AD 于 F，连接 BQ、OQ、OA，如图， 四边形 ABCD 为正方形， BCCDADAB12，ADBC， 在 RtPCD 中，PC6， BC 为直径， BQC90， PDBC CPDBCQ， RtBCQRtCPD， CQ：PDBC：CP，即 CQ：612：6， CQ， CQ2CECB， CE， 在 RtCEQ 中，QE， FQ12， AFADFDADCE12 AQ12， 在OAB 和OQA 中 ， OABOQA（SSS） ， OQAOBA90， OQAQ， AQ 为O 的切线； （3）由（2）得 CQ，AF，AQ12， cosEAQ， 即 cosDAQ 的值为 【点评
42、】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法也考查了正方形的性质、圆周角定理和切线的判定 24 （14 分）已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点（不与点 A、P 重合） ，联结 AC，以直 线 AC 为对称轴翻折 AO，将点 O 的对称点记为 O1，射线 AO1交半圆 O 于点 B，联结 OC （1）如图 1，求证：ABOC； （2）如图 2，当点 B 与点 O1重合时，求证：； （3）过点 C 作射线 AO1的垂线，垂足为 E，联结 OE 交 AC 于 F当 AO5，O1B1 时，求的值 【分析】
43、（1）利用对称性得出OACO1AC，再利用等边对等角得出OACC，即可得出C O1AC，求出 ABOC 即可； （2）由点 O1与点 O 关于直线 AC 对称，ACOO1，由点 O1与点 B 重合，可得 ACOB，再利用垂径 定理推论得出 ABCB； （3）分别根据当点 O1在线段 AB 上以及当点 O1在线段 AB 的延长线上时分别求出 AE 的长即可得出答 案 【解答】解： （1）点 O1与点 O 关于直线 AC 对称， OACO1AC 在O 中， OAOC， OACC CO1AC， O1AOC， 即 ABOC； （2）方法一：如图 2，连结 OB 点 O1与点 O 关于直线 AC 对称，
44、ACOO1， 由点 O1与点 B 重合，可得 ACOB 点 O 是圆心，ACOB， ； 方法 2：点 O1与点 O 关于直线 AC 对称， AOAO1，COCO1， 由点 O1与点 B 重合，可得 AOAB，CBCO， OAOC， ABCB ； （3）当点 O1在线段 AB 上（如图 3） ，过点 O 作 OHAB，垂足为 H OHAB，CEAB， OHCE， 又ABOC， HEOC5 ABAO1+O1BAO+O1B6 且 OHAB， AHAB3 AEEH+AH5+38， ABOC， ， 当点 O1在线段 AB 的延长线上，如图 4， 过点 O 作 OHAB，垂足为 H OHAB，CEAB，
45、OHCE， 又ABOC， HEOC5 ABAO1O1BAOO1B4， 又OHAB， AHAB2 AEEH+AH5+27， ABOC， 【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知识，利用数形结合以及 分类讨论的思想得出是解题关键 25 （14 分）已知抛物线 C1：yax2+bx（a0）经过点 A（1，0）和 B（3，0） （1）求抛物线 C1的解析式，并写出其顶点 C 的坐标 （2） 如图 1， 把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2， 此时点 A， C 分别平移到点 D， E 处 设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的上方， 若DEF 是
46、以 EF 为底的等腰直角三角形， 求点 F 的坐标 （3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM 交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 B 向点 C 运动时：tanENM 的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据 A、C 的坐标求得直线 AC 的解析式为 yx1，根据题意求得 EF4，求得 EFy 轴，设 F （m，m2+m） ，则 E（m，m1） ，从而得出（m2+m）（m1）4，解方程即可求得
47、F 的坐标； （3）先求得四边形 DFBC 是矩形，作 EGAC，交 BF 于 G，然后根据EGNEMC，对应边成比 例即可求得 tanENM2； 首先证明点 P 在 EB 的垂直平分线上，推出点 P 经过的路径是线段 PP，如图 32，当点 M 与 B 重 合时，根据勾股定理和三角形相似求得 EN，然后根据三角形中位线定理即可求得； 【解答】解： （1）解： （1）抛物线 C1：yax2+bx（a0）经过点 A（1，0）和 B（3，0） ， 解得 ， 抛物线 C1的解析式为 yx2+x， yx2+x（x+1）22， 顶点 C 的坐标为（1，2） ； （2）如图 1，作 CHx 轴于 H， A（1，0） ，C（1，2） ， AHCH2， CABACH45， 直线 AC 的解析式为 yx1， DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形， DEF45， DEFACH， EFy 轴， DEAC2 ， EF4， 设 F（m，m2+m） ，则 E（m，m1） ， （m2+m）（m1）4， 解得 m3（舍）或 m3， F（3，6） ； （3）tanENM 的值为定值，不发生变化； 如图 2 中，作 EGAC，交 BF 于 G， DFAC，BCAC， DFBC， DFBCAC， 四边形 DFBC 是平行四边形， CDF90， 四边形 DFBC 是矩形， EGBCAC2 ， ENEM，
