1、2023年长沙市中考第三次模拟数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列选项中，最小的数是（）A1BC0D2下列图案是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3下列式子从左到右的变形，是因式分解的是（）ABCD4这个数，用科学记数法表示，正确的是（）ABCD5如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（）ABCD6下列语句中，真命题是（）A是9的平方根B从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C若，则D相等的两个角是对顶角7点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上若y1y2，则m的取值范围为（）ABCD8小明调查
2、了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）条形图不小心被撕了一块，图2中 “（）”应填的颜色是（）A蓝B粉C黄D红9九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就九章算术中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程
3、是（）ABCD10如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：；若，则；若点为的中点，则；其中一定正确的个数是（）A1B2C3D4二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）11因式分解：_12“石头、剪子、布”是大家常玩的游戏，规则是：甲、乙两人随机做出“石头”、“剪子”“布”三种手势中的一种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，布”赢“石头”，手势相同不分输赢则甲不输的概率是_13如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为_14已知ABC是等腰三角形若A=40，则ABC的顶角度数是_15关
4、于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_16如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，将ADE沿直线DE折叠后，点A落在点F处，DF交对角线AC于G，则FG的长是_三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，满分72分）17计算：18先化简，再求值：，其中19如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度
5、AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）202021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题(1)参加这次调查的学生总人数为_人；(2)扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是_；(3)将条形统计图补充完整；(4)在D类的学生中，有2
6、名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率21如图，ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F(1)证明：；(2)如果，求AE、BE的长222022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两
7、款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售如果按照原价销售，平均每天可售4件经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？23如图，在RtABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使NDMN，连接AD、CD，CD交圆O于点E(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由；(2)求证：NDNE；(3)若DE2，EC3，求BC的长24已知抛物线(b，c为常数)
8、（1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n( mn)，当mxn时，恰好有，求m，n的值25定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，点到直线的距离为求的长若、分别是、边上的动点，求周长的最小值参考答案一、
9、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）12345678910DDBBBABDBD二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）11 12 136.1440或100 15 16三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，满分72分）17【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算【详解】解：【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数
10、指数幂的运算法则是解题的关键18，【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案【详解】解：原式当时，原式，故答案是： 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键19（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G分别在RtABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.（2）在ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在RtCBG中，CBG=45，则CG=BG，由此可求出CG的长然
11、后根据CD=CG+GEDE即可求出宣传牌的高度.【详解】解：（1）过B作BGDE于G，在RtABF中，i=tanBAH=，BAH=30BH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15.在RtBGC中，CBG=45，CG=BG=5+15.在RtADE中，DAE=60，AE=15，DE=AE=15.CD=CG+GEDE=5+15+515=20102.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.20(1)40人(2)108(3)见解析(4)【分析】（1）合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，据此即可得出总人数；（2）
12、结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，得出比例乘以即可得；（3）根据题意可得C类别人数为18人，据此补全条形统计图即可；（4）画出树状图，利用树状图求解即可得【详解】（1）解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，参加这次调查的学生总人数为（人），故答案为：40；（2）解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，故答案为：；（3）解：C类别人数为（人），补全图形如下：（4）解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率
13、【点睛】题目主要考查结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键21(1)见解析(2)AE=4，BE=1【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证RtBEDRtCFD（HL），即可得出结论；（2）证明RtAEDRtAFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长【详解】（1）证明：如图，连接
14、BD、CD，且平分BC，BD=CD，AD平分，于E，于F，DE=CF，DEB=DFC=90，在RtBED与RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）解：AD平分，于E，于F，DE=CF，DEB=DFC=90，在RtAED与RtAFD中，RtAEDRtAFD（HL），AE=AF，CF=AF-AC=AE-AC，由（1）知：BE=CF，AB-AE=AE-AC即5-AE=AE-3，AE=4，BE=AB-AE=5-4=1，【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键22(1)A、B两款钥
15、匙扣分别购进20件和10件(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，
16、每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，由题意可知： ，解出：，故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知：，解出：，设销售利润为元，则，是关于m的一次函数，且30，随着m的增大而增大，当时，销售利润最大，最大为元，故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润
17、为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键23(1)四边形AMCD是菱形，理由见解析；(2)证明见解析；(3)BC2【分析】(1)证明四边形AMCD的对角线互相平分，且CNM90，可得四边形AMCD为菱形；(2)可证得CMNDEN，由CDCM可证出CDMCMN，则DENCDM，结论得证；(3)证出MDCEDN，由比例线段可求出ND长，再求M
18、N的长，则BC可求出【详解】(1)四边形AMCD是菱形，理由如下：M是RtABC中AB的中点，CMAM，CM为O的直径，CNM90，MDAC，ANCN，NDMN，四边形AMCD是菱形；(2)四边形CENM为O的内接四边形，CEN+CMN180，CEN+DEN180，CMNDEN，四边形AMCD是菱形，CDCM，CDMCMN，DENCDM，NDNE；(3)CMNDEN，MDCEDN，MDCEDN，设DNx，则MD2x，由此得，解得：x或x(不合题意，舍去)，MN为ABC的中位线，BC2MN，BC2【点睛】本题考查了圆的综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及
19、相似三角形的判定与性质是解题的关键24（1）b=6，c=2019；（2） ；（3）m=1，【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y=-2x2+（b-2）x+（c-2020）可知，y=-2（x-1）2+1，易得b、c的值；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（-x0，-y0），代入函数解析式，经过化简得到c=2x02+2020，易得c2020；（3）由题意知，抛物线为y=-2x2+4x-1=-2（x-1）2+1，则y1利用不等式的性质推知：y，易得1mn由二次函数图象的性质得到：当x=m时，y最大值=-2m2+4m-1当x=n时，y最小值=-2n2+
20、4n-1所以=-2m2+4m-1，=-2n2+4n-1通过解方程求得m、n的值【详解】（1）由题可设去括号得：y=2x2+4x1，b=6，c=2019（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为、代入解析式可得：两式相加可得：4x02+2（c2020）=0c=2x02+2020x0，（3）由（1）可知抛物线为y=2x2+4x1=2（x1）2+1，y1，0mn，当mxn时，恰好有，即m1，1mn，抛物线对称轴x=1，开口向下，当mxn时，y随x增大而减小，当x=m时，ymax=2m2+4m1，当x=n时，ymin=2n2+4n1，又，将整理得：2n34n2+n+1=0变形得：（2n32n
21、2）（2n2n1）=0即：2n2（n1）（2n+1）（n1）=0（n1）（2n22n1）=0n12n22n1=0（舍去），同理整理得：（m1）（2m22m1）=01mnm1=1，（舍去），（舍去）综上所示：m=1，【点睛】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法该题计算量比较大，需要细心解答难度较大25（1）见解析；（2）BE=4；周长的最小值为【分析】（1）由旋转性质证得F+BED=BEC+BED=180，FBE=ABF+ABE=CBE+ABE=90,BF=BE,进而可证得四
22、边形为“直等补”四边形；（2）如图2，将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC,由MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT知，当T、M、N、P共线时，MNC的周长取得最小值PT，过P作PHBC交BC延长线于H，易证BFCPHC，求得CH、PH，进而求得TH，在RtPHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值【详解】（1）如图1由旋转的性质得：F=BEC，ABF=CBE，BF=B
23、EBEC+BED=180，CBE+ABE=90，F+BED=180，ABF+ABE=90即FBE=90，故满足“直等补”四边形的定义，四边形为“直等补”四边形；（2）四边形是“直等补”四边形，AB=BC，A+BCD=180，ABC=D=90，如图2，将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBF，则F=AEB=90，BCF+BCD=180，BF=BED、C、F共线，四边形EBFD是正方形，BE=FD，设BE=x，则CF=x-1，在RtBFC中，BC=5，由勾股定理得：，即，解得：x=4或x=3(舍去)，BE=4（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5,则NP=NC，MT=MC,MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT当T、M、N、P共线时，MNC的周长取得最小值PT，过P作PHBC，交BC延长线于H，F=PHC=90,BCF=PCH,BCFPCH,即，解得：,在RtPHT中，TH=,周长的最小值为【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算
