1、2019 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分）1 （3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）A5 B1 C0 D12 （3 分）根据长沙市电网供电能力提升三年行动计划 ，明确到 2020 年，长沙电网建设改造投资规模达到 15000000000 元，确保安全供用电需求数据 15000000000 用科学记数法表示为（ ）A1510 9 B1.510 9 C1.510 10 D0.1510 113 （3 分）下列计算正确的是（ ）A3a+2b5ab B （a 3） 2a 6Ca 6a3a 2 D （a+b） 2
2、a 2+b24 （3 分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A购买一张彩票，中奖B射击运动员射击一次，命中靶心C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D任意画一个三角形，其内角和是 1805 （3 分）如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，180，则2 的度数是（ ）A80 B90 C100 D1106 （3 分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）第 2 页（共 29 页）A BC D7 （3 分）在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决
3、赛，小明需要知道这 11 名同学成绩的（ ）A平均数 B中位数 C众数 D方差8 （3 分）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120，则该扇形的面积是（ ）A2 B4 C12 D249 （3 分）如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接AD，则 CAD 的度数是（ ）A20 B30 C45 D6010 （3 分）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
4、 C 的南偏东 45方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是（ ）第 3 页（共 29 页）A30 nmile B60nmileC120nmile D （30+30 ）nmile11 （3 分） 孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确的是（ ）A BC D12 （3 分）如图，ABC 中，ABAC
5、10，tanA 2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ BD 的最小值是（ ）A2 B4 C5 D10二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 （3 分）式子 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 14 （3 分）分解因式：am 2 9a 15 （3 分）不等式组 的解集是 16 （3 分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随第 4 页（共 29 页）机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新
6、放回袋中并摇匀，不断重复上述过程以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000“摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）17 （3 分）如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E ，测得 DE 50m，
7、则 AB 的长是 m18 （3 分）如图，函数 y （k 为常数，k 0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧） ，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E， F现有以下四个结论：ODM 与OCA 的面积相等； 若 BMAM 于点 M，则MBA30；若 M 点的横坐标为 1，OAM 为等边三角形，则 k2+ ；若 MF MB，则MD2 MA其中正确的结论的序号是 （只填序号）三、解答题（本大题共 8 个小题，第 1
8、9、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明、第 5 页（共 29 页）证明过程或验算步骤）19 （6 分）计算：| |+（ ） 1 2cos60 20 （6 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a321 （8 分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图等级 频数 频率优秀
9、 21 42%良好 m 40%合格 6 n%待合格 3 6%（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中 m ，n ；（2）补全条形统计图；（3）若全校有 2000 名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人22 （8 分）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DECF ，AF 与 BE 相交于点 G（1）求证：BEAF ；（2）若 AB4，DE 1，求 AG 的长第 6 页（共 29 页）23 （9 分）近日，长沙市教育局出台长沙
10、市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24 （9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” ） 四条边成比例的两个凸四边
11、形相似；（ 命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）两个大小不同的正方形相似 （ 命题）（2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，ABCA 1B1C1，BCDB 1C1D1， 求证：四边形ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似（3）如图 2，四边形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAB分别交 AD，BC 于点 E，F 记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFCD 的面积为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，
12、求 的值第 7 页（共 29 页）25 （10 分）已知抛物线 y2x 2+（b2）x +（c 2020） （b，c 为常数） （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1） ，求 b，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数 m，n（m n） ，当 mxn 时，恰好 ，求 m，n 的值26 （10 分）如图，抛物线 yax 2+6ax（a 为常数，a0 ）与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为抛物线的顶点，点 D 的坐标为（ t，0） （3t0） ，连接 BD 并延长与过 O，A，B 三点的 P 相交于点 C（1）求点 A 的
13、坐标；（2）过点 C 作 P 的切线 CE 交 x 轴于点 E如图 1，求证： CEDE；如图 2，连接 AC，BE ，BO，当 a ，CAEOBE 时，求 的值第 8 页（共 29 页）2019 年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分）1 （3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）A5 B1 C0 D1【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可【解答】解：53101，所以比3 小的数是5，故选：A【点评】此题主要考查了有理数大小比
14、较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正数都大于 0； 负数都小于 0；正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小2 （3 分）根据长沙市电网供电能力提升三年行动计划 ，明确到 2020 年，长沙电网建设改造投资规模达到 15000000000 元，确保安全供用电需求数据 15000000000 用科学记数法表示为（ ）A1510 9 B1.510 9 C1.510 10 D0.1510 11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
15、同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数据 150 0000 0000 用科学记数法表示为 1.51010故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列计算正确的是（ ）A3a+2b5ab B （a 3） 2a 6Ca 6a3a 2 D （a+b） 2a 2+b2【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可第 9 页（共 29 页）【解答】解：A、3a 与 2b
16、 不是同类项，故不能合并，故选项 A 不合题意；B、 （a 3） 2a 6，故选项 B 符合题意；C、a 6a3a 3，故选项 C 不符合题意；D、 （a+b） 2 a2+2ab+b2，故选项 D 不合题意故选：B【点评】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键4 （3 分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A购买一张彩票，中奖B射击运动员射击一次，命中靶心C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D任意画一个三角形，其内角和是 180【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和
17、不可能事件都是确定的【解答】解：A购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D任意画一个三角形，其内角和是 180，属于必然事件，符合题意；故选：D【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件5 （3 分）如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，180，则2 的度数是（ ）A80 B90 C100 D110【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案【解答】解：180，3100，ABCD，第 10 页（共 29 页）23100
18、故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键6 （3 分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A BC D【分析】根据几何体的三视图判断即可【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥故选：D【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大7 （3 分）在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这 11 名同学成绩的（ ）第 11 页（共 29 页）A平均数 B
19、中位数 C众数 D方差【分析】由于比赛取前 5 名参加决赛，共有 11 名选手参加，根据中位数的意义分析即可【解答】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 5 个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了故选：B【点评】本题考查了中位数意义解题的关键是正确的求出这组数据的中位数8 （3 分）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120，则该扇形的面积是（ ）A2 B4 C12 D24【分析】根据扇形的面积公式 S 计算即可【解答】解：S 12，故选：C【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式 S 是解题的关键9 （3 分）如图，RtA
20、BC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接AD，则 CAD 的度数是（ ）A20 B30 C45 D60【分析】根据内角和定理求得BAC60，由中垂线性质知 DADB，即DABB 30，从而得出答案【解答】解：在ABC 中，B30，C90，BAC180BC60，由作图可知 MN 为 AB 的中垂线，第 12 页（共 29 页）DADB ，DABB30，CADBACDAB30，故选：B【点评】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键10 （3 分）如图，
21、一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是（ ）A30 nmile B60nmileC120nmile D （30+30 ）nmile【分析】过点 C 作 CDAB，则在 RtACD 中易得 AD 的长，再在直角 BCD 中求出BD，相加可得 AB 的长【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D 点，ACD30，BCD45，AC 60在 Rt ACD 中， cosACD ，CDACcosACD60 30 在 Rt DCB 中， BC
22、D B45，CDBD30 ，ABAD +BD30+30 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是（30+30 ）nmile故选：D第 13 页（共 29 页）【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线11 （3 分） 孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所
23、列方程组正确的是（ ）A BC D【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决【解答】解：由题意可得，故选：A【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组12 （3 分）如图，ABC 中，ABAC 10，tanA 2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ BD 的最小值是（ ）第 14 页（共 29 页）A2 B4 C5 D10【分析】如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M由 tanA 2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方程求出 a，再证明 DH BD，推出CD+ BDCD+DH，
24、由垂线段最短即可解决问题【解答】解：如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 MBEAC，ABE 90，tanA 2，设 AEa，BE 2a，则有：100a 2+4a2，a 220，a2 或2 （舍弃） ，BE2a4 ，ABAC，BEAC，CM AC，CMBE4 （等腰三角形两腰上的高相等） ）DBH ABE，BHDBEA，sinDBH ，DH BD，CD+ BD CD+DH，CD+DHCM ，CD+ BD 4 ，CD+ BD 的最小值为 4 故选：B第 15 页（共 29 页）【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问
25、题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 （3 分）式子 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x5 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案【解答】解：式子 在实数范围内有意义，则 x50，故实数 x 的取值范围是：x 5故答案为：x5【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键14 （3 分）分解因式：am 2 9a a（m +3） （m 3） 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：am 29aa（m 29）a（m+3） （m3） 故答案为：a（m+3）
26、 （m3） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止15 （3 分）不等式组 的解集是 1x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 得： x1，解不等式 得： x2，不等式组的解集为：1x2，故答案为：1x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键第 16 页（共 29 页）16 （3 分）在一个不透明的袋子
27、中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000“摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 0.4 （结果保留小数点后一位）【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；【解答】观察表格发
28、现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在 0.4 附近，故摸到白球的频率估计值为 0.4；故答案为：0.4【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率17 （3 分）如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E ，测得 DE 50m，则 AB 的长是 100 m【分析】先判断出 DE 是ABC 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 AB2DE，问题得解【解答】解：点 D，E 分别是 AC，BC 的中点，DE 是ABC 的中位线，AB2
29、DE 250100 米故答案为：100【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键18 （3 分）如图，函数 y （k 为常数，k 0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B第 17 页（共 29 页）两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧） ，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F现有以下四个结论：ODM 与OCA 的面积相等； 若 BMAM 于点 M，则MBA30；若 M 点的横坐标为 1，OAM 为等边三角形，则 k2+ ；若 MF MB，则MD
30、2 MA其中正确的结论的序号是 （只填序号）【分析】 设点 A（m ， ） ，M（n， ） ，构建一次函数求出 C，D 坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断OMA 不一定是等边三角形，故结论不一定成立设 M（1，k） ，由OAM 为等边三角形，推出 OAOMAM，可得 1+k2m 2+ ，推出 mk，根据 OMAM ，构建方程求出 k 即可判断如图，作 MKOD 交 OA 于 K利用平行线分线段成比例定理解决问题即可【解答】解：设点 A（m ， ） ，M（n， ） ，则直线 AC 的解析式为 y x+ + ，C（m+n，0） ，D（0， ） ，S ODM n ，S OCA （m
31、+n） ，ODM 与OCA 的面积相等，故正确；反比例函数与正比例函数关于原点对称，O 是 AB 的中点，BMAM，第 18 页（共 29 页）OM OA，kmn，A（m，n） ，M（n，m） ，AM （nm ） ，OM ，AM 不一定等于 OM，BAM 不一定是 60，MBA 不一定是 30故错误，M 点的横坐标为 1，可以假设 M（1，k） ，OAM 为等边三角形，OAOM AM，1+k2m 2+ ，mk，OM AM，（1m） 2+ 1+k 2，k 24k+10 ，k2 ，m1，k2+ ，故正确，如图，作 MKOD 交 OA 于 KOFMK， ， ，OAOB ， ， ，KMOD，第 19
32、页（共 29 页） 2，DM 2AM，故正确故答案为【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19 （6 分）计算：| |+（ ） 1 2cos60 【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意
33、义和特殊角的三角函数值进行计算【解答】解：原式 +2 2 +2 11【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍20 （6 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a3【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将 a 的值代入进行计算即可第 20 页（共 29 页）【解答】解：原式 ，当 a3 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键21 （8 分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活
34、新时尚”的宣传活动为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图等级 频数 频率优秀 21 42%良好 m 40%合格 6 n%待合格 3 6%（1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中 m 20 ，n 12 ；（2）补全条形统计图；（3）若全校有 2000 名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人【分析】 （1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；（2）根据题意补全条形统计
35、图即可得到结果；（3）全校 2000 名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论【解答】解：（1）本次调查随机抽取了 2142%50 名学生，m 5040%20，n第 21 页（共 29 页）10012，故答案为：50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）2000 1640 人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 1640 人【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据22 （8 分）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DECF ，A
36、F 与 BE 相交于点 G（1）求证：BEAF ；（2）若 AB4，DE 1，求 AG 的长【分析】 （1）由正方形的性质得出BAEADF90，ABADCD，得出AEDF ，由 SAS 证明BAEADF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出EBAFAD，得出GAE+AEG90，因此AGE90，由勾股定理得出 BE 5，在 RtABE 中，由三角形面积即可得出结果【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，第 22 页（共 29 页）BAE ADF90，ABADCD，DECF，AEDF ，在BAE 和ADF 中， ，BAE ADF（SAS） ，BEAF；（2）解：由（1）得：BAEA
37、DF，EBA FAD，GAE+AEG 90，AGE90，AB4，DE 1，AE3，BE 5，在 Rt ABE 中， ABAE BEAG，AG 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键23 （9 分）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个
38、增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【分析】 （1）设增长率为 x，根据“第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可列方程求解；（2）用 2.42（1+增长率） ，计算即可求解【解答】解：（1）设增长率为 x，根据题意，得2（1+x） 22.42，第 23 页（共 29 页）解得 x12.1（舍去） ，x 20.110%答：增长率为 10%（2）2.42（1+0.1）2.662（万人） 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方
39、程，再求解24 （9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” ） 四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）两个大小不同的正方形相似 （ 真 命题）（2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，ABCA 1B1C1，BCDB 1C1D1， 求证：四边形ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似（3）如图 2，四边形 ABCD 中，ABCD
40、，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAB分别交 AD，BC 于点 E，F 记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFCD 的面积为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，求 的值【分析】 （1）根据相似多边形的定义即可判断（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可（3）四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，证明相似比是 1 即可解决问题，即证明第 24 页（共 29 页）DEAE 即可【解答】 （1）解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是
41、真命题故答案为假，假，真（2）证明：如图 1 中，连接 BD，B 1D1BCDB 1C1D1，且 ，BCDB 1C1D1，CDBC 1D1B1，C 1B1D1CBD， ， ，ABCA 1B1C1，ABDA 1B1D1，ABDA 1B1D1， ，AA 1，ADBA 1D1B1， ，ADCA 1D1C1，AA 1，ABCA 1B1C1，BCDB 1C1D1，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似（3）如图 2 中，第 25 页（共 29 页）四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似 ，EFOE +OF， ，EFABCD， ， ， + + ， ，ADDE +AE， ，2AEDE +AE
42、，AEDE ， 1【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题25 （10 分）已知抛物线 y2x 2+（b2）x +（c 2020） （b，c 为常数） （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1） ，求 b，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数 m，n（m n） ，当 mxn 时，恰好 ，求 m，n 的值【分析】 （1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式 y2x 2+（b2）第 26 页（共 29 页）x+（c2020）可
43、知， y2 （x1） 2+1，易得 b、c 的值；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x 0，y 0） ， （x 0，y 0） ，代入函数解析式，经过化简得到 c2x 02+2020，易得 c 2020；（3）由题意知，抛物线为 y2x 2+4x12（x1） 2+1，则 y1利用不等式的性质推知： ，易得 1m n由二次函数图象的性质得到：当 xm 时，y 最大值 2m 2+4m1当 xn 时，y 最小值 2n 2+4n1所以2m 2+4m1， 2n 2+4n1 通过解方程求得 m、n 的值【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y2（x1） 2+12x 2+4x1 b
44、6，c2019（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x 0，y 0） ， （x 0，y 0） ，代入解析式可得： 两式相加可得：4x 02+2（c2020）0c2x 02+2020，c2020；（3）由（1）可知抛物线为 y2x 2+4x12（x1） 2+1y10mn，当 mx n 时，恰好 ， 1，即 m11mn抛物线的对称轴是 x1，且开口向下，第 27 页（共 29 页）当 mxn 时，y 随 x 的增大而减小当 xm 时，y 最大值 2m 2+4m1当 xn 时，y 最小值 2n 2+4n1又 ， 将整理，得 2n34n 2+n+10，变形，得 2n2（n1）（2n+
45、1） （n1）0（n1） （2n 22n1）0n1，2n 22n10解得 n1 （舍去） ，n 2 同理，由 得到：（ m1） （2m 22m 1）01mn，2m 22m10解得 m11，m 2 （舍去） ，m 3 （舍去） 综上所述，m1，n 【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法该题计算量比较大，需要细心解答难度较大26 （10 分）如图，抛物线 yax 2+6ax（a 为常数，a0 ）与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为抛物线的顶点，点 D 的坐标为（ t，
46、0） （3t0） ，连接 BD 并延长与过 O，A，B 三点的 P 相交于点 C（1）求点 A 的坐标；（2）过点 C 作 P 的切线 CE 交 x 轴于点 E如图 1，求证： CEDE；如图 2，连接 AC，BE ，BO，当 a ，CAEOBE 时，求 的值第 28 页（共 29 页）【分析】 （1）令 y0，可得 ax（x +6）0，则 A 点坐标可求出；（2） 连接 PC，连接 PB 延长交 x 轴于点 M，由切线的性质可证得ECDCOE，则 CEDE；设 OEm，由 CE2OEAE，可得 ，由CAEOBE 可得 ，则，综合整理代入 可求出 的值【解答】解：（1）令 ax2+6ax0，ax（x+6）0，A（6，0） ；（2） 证明：如图，连接 PC，连接 PB 延长交 x 轴于点 M， P 过 O、A、B 三点，B 为顶点，PMOA ，PBC+ BOM90，又PCPB，PCBPBC，
