1、 2022 年长沙中考数学模拟试卷年长沙中考数学模拟试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）在实数5，1，0，2 中，比2 小的数是（ ） A5 B1 C0 D2 2（3 分） 2021 年清明文化节期间， 古城开封累计接待游客 121.76 万人次， 与 2019 年同期相比增长 45.13%；实现综合收入 5.27 亿元，同比增长 14.1%，数据 121.76 万用科学记数法表示为（ ） A121.76104 B1.2176106 C1.2176107 D0.12176108 3 （3 分）下列图形中，可以看作是
2、中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a4a6 Ba9a3a6 Ca2a22a2 D （a2）3a6 5 （3 分） （2022郑州一模）一副三角板按如图所示的位置摆放，若 BCDE，则1 的度数是（ ） A65 B70 C75 D80 6 （3 分）如图，AB、BC 为O 的两条弦，连接 OA、OC，点 D 为 AB 的延长线上一点，若CBD62，则AOC 的度数为（ ） A130 B124 C114 D100 7 （3 分）已知实数 m1，则一次函数 y（m1）x+3m 图象经过的象限是（ ） A一、二、三 B二、三、四 C一、三、四 D一、
3、二、四 8 （3 分）若一组数据 2，0，3，4，6，x 的众数为 4，则这组数据中位数是（ ） A0 B2 C3 D3.5 9 （3 分）4 件外观相同的产品中有 2 件不合格，现从中一次抽取 2 件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ） A B C D 10 （3 分）对于任意一个三位数 n，如果 n 满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（n） ，则 F（468）的值为（ ） A12 B14 C16 D18 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分
4、，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）分解因式：x2（x3）x+3 12 （3 分）如图，O 的半径为 9cm，AB 是弦，OCAB 于点 C，将劣弧 AB 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点D，则 AB 的长为 13 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，若 AC8，BD6，则菱形的周长为 14 （3 分）设 m 是一元二次方程 x2x20190 的一个根，则 m2m+1 的值为 15 （3 分）如图，点 P 在AOB 内，因为 PMOA，PNOB，垂足分别是 M、N，PMPN，所以 OP 平分AOB，理由是 16 （3 分）七年级（5）班有 A、B、C、D 四个
5、学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1） ，小丽同学绘制了扇形统计图（2） ，其中 m 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分）计算： （1）； （2） 18 （6 分）化简求值：（x2y） （x+y）（x+2y） （x2y）（2y） ，其中 x，y1 19 （6 分） （1）如图，点 M 代表某个公园，直线 l 代表公园 M 附近的一条公路根据实际需要，计划在公路 l 上某处设置一个公交站点，并使其距离公园 M 最近，请在公路 l 上画出公交站点的位置，并写出画图依据（不需要尺规作图） ； （2）将一副透明的直角三角尺，按如图所
6、示的位置摆放如果把三角尺的每条边看成线段，线段 AB 分别和 DE，CE 相交于点 F 和点 G，请根据图形回答下列问题找出图中两条互相垂直的线段，并用符号表示出来（写出一对即可） ；找出图中两条互相平行的线段，并用符号表示出来（写出一对即可） 20 （8 分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.
7、58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 （结果保留小数点后一位） （2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为 0.8，求加入的白球数量 21 （8 分）如图，已知点 E 是ABCD 中 BC 边的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 AC，BF，AFBC （1）求证：四边形 ABFC 为矩形； （2）若AFD 是等边三角形，且边长为 6，求四边形 ABFC 的面积 22（9 分） 甲、 乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、 价格一致， 每张办公
8、桌 800 元每张椅子 80 元 甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价 8 折优惠，现某公司要购买 3 张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为 x 张（x9） （1）分别用含 x 的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额； （2）顾客到哪个厂家购买更划算？ 23 （9 分）在ABC 中，ABAC，A120，AB 的垂直平分线交 BC 于 M，交 AB 于 E，AC 的垂直平分线交 BC 于 N，交 AC 于 F求证：BMMNNC 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A 和 C（1，0
9、） ，交 y 轴于点 B（0，3） ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，交抛物线于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）将线段 OE 绕着点 O 沿顺时针方向旋转得到线段 OE，旋转角为 （090） ，连接 AE，BE，求 BE+AE的最小值； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由 25 （10 分）如图 1，O 为 RtABC 的外接圆，ACB90，BC4，AC4，点 D 是O 上的动点，且点 C、D 分别位于 AB 的两侧 （1）求O 的半径； （2）当 CD4
10、时，求ACD 的度数； （3）设 AD 的中点为 M，在点 D 的运动过程中，线段 CM 是否存在最大值？若存在，求出 CM 的最大值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）在实数5，1，0，2 中，比2 小的数是（ ） A5 B1 C0 D2 【考点】实数大小比较 【专题】实数；数感 【分析】根据正数大于 0，0 大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可 【解答】解：由于正数0负数，故可先排除 0、2， 因为|5|5，|2|2，|1|1， 而 521，
11、所以521， 所以比2 小的数是5， 故选：A 【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键 2（3 分） 2021 年清明文化节期间， 古城开封累计接待游客 121.76 万人次， 与 2019 年同期相比增长 45.13%；实现综合收入 5.27 亿元，同比增长 14.1%，数据 121.76 万用科学记数法表示为（ ） A121.76104 B1.2176106 C1.2176107 D0.12176108 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感；应用意识 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定
12、 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：121.76 万12176001.2176106 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【分析】 根据中心对称图形的性质得出图形旋转 180， 与原图形能够完全重合的图形是
13、中心对称图形，分别判断得出即可 【解答】解：A旋转 180，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意； B旋转 180，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意； C旋转 180，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意； D旋转 180，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a4a6 Ba9a3a6 Ca2a22a2 D （a2）3a6 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底
14、数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】整式；运算能力 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可 【解答】解：A、a2与 a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、a9a3a6，故本选项符合题意； C、a2a2a4，故本选项不合题意； D、 （a2）3a6，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 5 （3 分）一副三角板按如图所示的位置摆放，若 BCDE，则1 的度数是（ ） A65 B70 C75 D80 【考点
15、】平行线的性质 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观 【分析】由平行线的性质可得2B45，再由三角形的外角性质可得12+D 即可求解 【解答】解：如图所示： BCDE， 2B45， 12+D45+3075 故选：C 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系 6 （3 分）如图，AB、BC 为O 的两条弦，连接 OA、OC，点 D 为 AB 的延长线上一点，若CBD62，则AOC 的度数为（ ） A130 B124 C114 D100 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【分析】根据CBD
16、 的度数可先求出弧 AC 所对应的圆周角的度数，进而可得答案 【解答】解：如图，在优弧 AC 上取点 P，连接 PA，PC， CBD62， CPA62， AOC2APC124， 故选：B 【点评】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键 7 （3 分）已知实数 m1，则一次函数 y（m1）x+3m 图象经过的象限是（ ） A一、二、三 B二、三、四 C一、三、四 D一、二、四 【考点】一次函数的性质 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【分析】根据 m1，得 m10，3m0，即得一次函数 y（m1）x+3m 图象经过的象限是一、二、四象限 【解答】解：m1， m10
17、，3m0， 一次函数 y（m1）x+3m 图象经过的象限是一、二、四象限， 故选：D 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系解答本题注意理解：直线 ykx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系k0 时，直线必经过一、三象限k0 时，直线必经过二、四象限b0 时，直线与 y 轴正半轴相交b0 时，直线过原点；b0 时，直线与 y 轴负半轴相交 8 （3 分）若一组数据 2，0，3，4，6，x 的众数为 4，则这组数据中位数是（ ） A0 B2 C3 D3.5 【考点】众数；中位数 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识 【分析】根据众数
18、的意义可求出 x4，再根据中位数的意义，排序后找出中间位置的一个数或两个数的平均数即可 【解答】解：这组数据的众数是 4，因此 x4，将这组数据从小到大排序后，处在第 3、4 位的两个数的平均数为（3+4）23.5，因此中位数是 3.5， 故选：D 【点评】考查众数、中位数的意义和求法，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，它们都反映数据集中趋势的统计量 9 （3 分）4 件外观相同的产品中有 2 件不合格，现从中一次抽取 2 件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法
19、【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力 【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可 【解答】解：把 2 件合格产品记为 A、B，2 件不合格记为 C、D， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有 8 个， 抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为， 故选：D 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 10 （3 分）对于任意一个三位数 n，如果 n 满足各个数位上的数字互相不同，且
20、都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（n） ，则 F（468）的值为（ ） A12 B14 C16 D18 【考点】有理数的加法；有理数的除法 【专题】实数；创新意识 【分析】按照题目规则，分别调换数字，求出三个数字，求和后除以 111，即可求解 【解答】解：n468，对调百位与十位上的数字得到 648，对调百位与个位上的数字得到 864，对调十位与个位上的数字得到 486， 这三个新三位数的和为 648+864+4861998， 199811118， 所以 F（468）18 故选：D 【点评】本题考查了有理数的计算，
21、熟练掌握有理数的运算法则是解答此题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）分解因式：x2（x3）x+3 （x3） （x+1） （x1） 【考点】因式分解提公因式法 【专题】整式；符号意识 【分析】直接提取公因式（x3） ，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：x2（x3）x+3 x2（x3）（x3） （x3） （x21） （x3） （x+1） （x1） 故答案为： （x3） （x+1） （x1） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 12 （3 分）如图，O 的半
22、径为 9cm，AB 是弦，OCAB 于点 C，将劣弧 AB 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点D，则 AB 的长为 6 【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题） 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力 【分析】根据翻折变换求出 ODCD3cm，OC6cm，根据垂径定理求出 ACBC，根据勾股定理求出 AC 即可 【解答】解：O 的半径为 9cm，将劣弧 AB 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D， ODCD93（cm） ，OCOD+CD6cm， OCAB，OC 过圆心 O， ACO90，ACBC，即 AB2AC， 连接 OA， 由勾股定理得：
23、AC3， 即 ACBC3， ABAC+BC6， 故答案为：6 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出 ACBC 是解此题的关键 13 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，若 AC8，BD6，则菱形的周长为 20 【考点】菱形的性质 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得 BOOD，AOOC，在 RtAOB 中，根据勾股定理可以求得 AB 的长，即可求菱形 ABCD 的周长 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，BOOD3，AOOC4，ACBD， AB5， 故
24、菱形的周长为 4520 故答案为：20 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键 14 （3 分）设 m 是一元二次方程 x2x20190 的一个根，则 m2m+1 的值为 2020 【考点】一元二次方程的解 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力 【分析】把 xm 代入方程计算即可求出所求 【解答】解：把 xm 代入方程得：m2m20190，即 m2m2019， 则原式2019+12020， 故答案为：2020 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 15 （3 分）如
25、图，点 P 在AOB 内，因为 PMOA，PNOB，垂足分别是 M、N，PMPN，所以 OP 平分AOB，理由是 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【考点】角平分线的性质 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力 【分析】由在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可求解 【解答】解：PMOA，PNOB，PMPN， OPOP 平分AOB， （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是本题的关键 16 （3 分）七年级（5）班有 A
26、、B、C、D 四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1） ，小丽同学绘制了扇形统计图（2） ，其中 m 72 【考点】条形统计图；扇形统计图 【专题】统计的应用；应用意识 【分析】根据 D 级的人数和总人数得出 D 级所占的百分比，再乘以 360 度即可得出答案 【解答】解：m36072， 答：m72， 故答案为：72 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分）计算： （1）； （2） 【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂 【
27、专题】二次根式；运算能力 【分析】 （1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解： （1）原式+2 4+； （2）原式2+2+1 +1 +1 【点评】 此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值， 正确化简二次根式是解题关键 18 （6 分）化简求值：（x2y） （x+y）（x+2y） （x2y）（2y） ，其中 x，y1 【考点】整式的混合运算化简求值 【专题】整式；运算能力 【分析】原式中括号里利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则
28、计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式（x2+xy2xy2y2）（x24y2）（2y） （x2+xy2xy2y2x2+4y2）（2y） （xy+2y2）（2y） xy， 当 x，y1 时， 原式+1 +1 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 19 （6 分） （1）如图，点 M 代表某个公园，直线 l 代表公园 M 附近的一条公路根据实际需要，计划在公路 l 上某处设置一个公交站点，并使其距离公园 M 最近，请在公路 l 上画出公交站点的位置，并写出画图依据（不需要尺规作图） ； （2）将一副透明的直角三角尺，按如
29、图所示的位置摆放如果把三角尺的每条边看成线段，线段 AB 分别和 DE，CE 相交于点 F 和点 G，请根据图形回答下列问题找出图中两条互相垂直的线段，并用符号表示出来（写出一对即可） ；找出图中两条互相平行的线段，并用符号表示出来（写出一对即可） 【考点】作图应用与设计作图；垂线；平行线的判定 【专题】作图题；几何直观 【分析】 （1）根据垂线段最短，画出图形即可； （2）根据垂线，平行线的定义判断即可 【解答】解： （1）如图，线段 MN 即为所求，理由是垂线段最短 （2）图中垂直的线段：DEAC（答案不唯一） ； 图中，平行的线段：DEBC（答案不唯一） 【点评】本题考查作图应用与设计作
30、图，垂线，平行线等知识，解题的关键是掌握垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型 20 （8 分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 （结果保留小数点后一位） （2）试估算口袋
31、中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为 0.8，求加入的白球数量 【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】 （1）根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在 0.6 左右，由此可估计摸到白球的概率为 0.6； （2）根据（1）可得摸到白球的概率是 0.6，再用 1 减去白球的概率，即可得出黑球的概率； （3）用总的个数乘以摸到黑球的概率，即可得出答案 【解答】解： （1）根据摸到白球的频率稳定在 0.6 左右， 所以摸到白球的频率将会接近 0.6； 故答案为：0.6； （2）由（1）可得： 白球有 2
32、00.612（个） ，黑球有 20128 个， 答：黑球有 8 只，白球有 12 个； （3）设加入白球 x 个， 根据题意得：， 解得：x20， 经检验 x20 是原方程的解， 答：加入的白球数量为 20 只 【点评】此题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （8 分）如图，已知点 E 是ABCD 中 BC 边的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 AC，BF，AFB
33、C （1）求证：四边形 ABFC 为矩形； （2）若AFD 是等边三角形，且边长为 6，求四边形 ABFC 的面积 【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力 【分析】 （1）证ABEFCE（AAS） ，得 ABFC，再由 ABFC，证四边形 ABFC 是平行四边形，然后由 AFBC 即可得出结论； （2）由矩形的性质得ACF90，再由等边三角形的性质得 AFDF4，CFDF3，然后由勾股定理求出 AC3，即可求解 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， A
34、BCD，ABCD， BAECFE， 点 E 是ABCD 中 BC 边的中点， BECE， AEBFEC， ABEFCE（AAS） ， ABFC， ABFC， 四边形 ABFC 是平行四边形， 又AFBC， 平行四边形 ABFC 为矩形； （2）解：由（1）得：四边形 ABFC 为矩形， ACF90， AFD 是等边三角形， AFDF6，CFDF3， AC3， 四边形 ABFC 的面积ACCF339 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明ABEFCE 是解题的关键 22（9 分） 甲、
35、 乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、 价格一致， 每张办公桌 800 元每张椅子 80 元 甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价 8 折优惠，现某公司要购买 3 张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为 x 张（x9） （1）分别用含 x 的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额； （2）顾客到哪个厂家购买更划算？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识 【分析】 （1）根据两个厂家给出的优惠方案结合总价单价数量，即可得出分别到两个厂家购买所需费用； （
36、2）分到甲厂家购买划算、到两个厂家购买费用相同及到乙厂家购买划算三种情况可得出关于 x 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）到甲厂家购买所需费用为 8003+80（x33）（80 x+1680）元； 到乙厂家购买所需费用为（8003+80 x）0.8（64x+1920）元 （2）当到甲厂家购买划算时，80 x+168064x+1920， 解得：x15； 当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80 x+168064x+1920， 解得：x15； 当到乙厂家购买划算时，80 x+168064x+1920， 解得：x15 答：当 9x15 时，到甲厂家购买更划算；当 x1
37、5 时，到两个厂家购买费用相同；当 x15 时，到乙厂家购买更划算 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是： （1）根据各数量之间的关系，列出代数式； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程） 23 （9 分）在ABC 中，ABAC，A120，AB 的垂直平分线交 BC 于 M，交 AB 于 E，AC 的垂直平 分线交 BC 于 N，交 AC 于 F求证：BMMNNC 【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】连接 AM、AN，根据线段垂直平分线性质推出 BMAM，CNAN，根据等腰三
38、角形性质和三角形的内角和定理求出BAMCAN，BC，根据 ASA 证BAMCAN，推出 AMAN，证出AMN 是等边三角形即可 【解答】证明：连接 AM、AN， 在ABC 中，A120，ABAC， BC30， 又ME、NF 分别垂直平分 AB、AC， AMBM，ANNC， MBAMAB30，NACNCA30， MAN60， 在ABM 和ANC 中， ， ABMANC， AMAN， AMN 为等边三角形， AMMNAN， BMMNNC 【点评】 本题综合考查了全等三角形的性质和判定， 线段的垂直平分线定理， 等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用， 通过做此题能培养学生综合运用
39、定理进行推理的能力， 题型较好，难度适中，综合性比较强 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A 和 C（1，0） ，交 y 轴于点 B（0，3） ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，交抛物线于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）将线段 OE 绕着点 O 沿顺时针方向旋转得到线段 OE，旋转角为 （090） ，连接 AE，BE，求 BE+AE的最小值； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【
40、专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力 【分析】 （1）根据待定系数法即可求出解析式； （2）先取 OE 的三等分点 D，得出 DEAE，当 B，E，D 三点共线时即为最小值； （3）先设出点 N 的坐标，根据矩形的性质列出关于 N 点坐标的方程组，即可求出 N 点的坐标 【解答】解： （1）把 C（1，0） ，B（0，3）代入 yx2+bx+c 中， 得：， b2，c3， yx22x+3， （2）在 OE 上取一点 D，使得 ODOE， 连接 DE，BD， ，对称轴 x1， E（1，0） ，OE1， OEOE1，OA3， ， 又DOEEOA， DOEEOA， ， ， 当 B，E，D 三点共
41、线时，BE+DE最小为 BD， BD， 的最小值为； （3）存在， A（3，0） ，B（0，3） ， 设 N（n，n22n+3） ， 则 AB218，AN2（n2+2n3）2+（n+3）2，BN2n2+（n2+2n）2， 以点 A，B，M，N 为顶点构成的四边形是矩形， ABN 是直角三角形， 若 AB 是斜边，则 AB2AN2+BN2， 即 18（n2+2n3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2， 解得：n1， N 的横坐标为或， 若 AN 是斜边，则 AN2AB2+BN2， 即（n2+2n3）2+（n+3）218+n2+（n2+2n）2， 解得 n0（与点 B 重合，舍去）或 n1，
42、 N 的横坐标是1， 若 BN 是斜边，则 BN2AB2+AN2， 即 n2+（n2+2n）218+（n2+2n3）2+（n+3）2， 解得 n3（与点 A 重合，舍去）或 n2， N 的横坐标为 2， 综上 N 的横坐标为，1，2 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质 25 （10 分）如图 1，O 为 RtABC 的外接圆，ACB90，BC4，AC4，点 D 是O 上的动点，且点 C、D 分别位于 AB 的两侧 （
43、1）求O 的半径； （2）当 CD4时，求ACD 的度数； （3）设 AD 的中点为 M，在点 D 的运动过程中，线段 CM 是否存在最大值？若存在，求出 CM 的最大值；若不存在，请说明理由 【考点】圆的综合题 【专题】几何综合题；推理能力 【分析】 （1）利用勾股定理求出 AB 即可 （2）连接 OC，OD，证明OCA60，OCD45，可得结论 （3）如图 2 中，连接 OM，OC证明 OMAD，推出点 M 的运动轨迹以 AO 为直径的J，连接 CJ，JM求出 CJJM，根据 CMCJ+JM2+2，可得结论 【解答】解： （1）如图 1 中， AB 是直径， ACB90， AC4，BC4， AB8， O 的半径为 4 （2）如图 1 中，连接 OC，OD CD4，OCOD4， CD2OC2+OD2， COD90， OCD45， ACOCOA， AOC 是等边三角形， ACO60， ACDACODCO604515 （3）如图 2 中，连接 OM，OC AMMD， OMAD， 点 M 的运动轨迹以 AO 为直径的J， 连接 CJ，JM AOC 是等边三角形，AJOJ， CJOA， CJ2， CMCJ+JM2+2， CM 的最大值为 2+2
