1、2023年湖南省长沙市开福区中考二模数学试卷一、选择题1. 2023的倒数是（ ）A. 2023B. C. D. 2. “生态环境保护就是为民造福的百年大计”，下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 2023年4月3日，长沙统计局发布了2022年国民经济和社会发展统计公报，公报显示：2022年末长沙市常住总人口约为万人，比上年末增长，共中万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，BC是O的直径，A是O上的一点，OAC=32，则B的度数是（）A
2、. 58B. 60C. 64D. 686. 如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，直线a，b被直线c所截，若，则的度数为（）A. 110B. 100C. 80D. 708. 某校为了了解某班开展学习党史情况，该校随机抽取了9名学生进行调查，他们读书的本数分别是3、2、3、2、5、1、2、5、4，则这组数据的众数和中位数是（）A. 2和3B. 2和5C. 5和3D. 3和59. 对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）A. 函数图象分布在第一、三象限B. 函数图象经过点C. 若点在其图象上，那么点也一定在其图象上D. 若点都在
3、函数图象上，且，则10. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）A. 五位B. 四位C. 三位D. 二位二、填空题11. 分解因式：_12. 若一元二次方程有两个不相等实数根和，则_13. 如图，在中，点D，E分别在边，上，若，则的长为_cm.14. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，则的周长为 _15. 如图，菱形的对角线相交于点O，H是的中点，连接，若，则_16. 勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股
4、”，把斜边称为“弦”观察下列勾股数： ；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： ，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是_三、解答题17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 如图，按照下列步骤作图：以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点；分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线，交于点M（1）试根据作图过程，说明是的平分线的理由；（2）若，求的度数20. 月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分
5、布直方图和扇形统计图（1）_，_，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为_；（3）若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数21. 如图，中，对角线，相交于点O，（1）求证：是正三角形；（2）求的面积22. 如图，是的直径，是上的一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，（1）求证：平分；（2）若求阴影部分的面积23. 某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别是多少元？（
6、2）若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利不少于1200元，则最少购进A品牌服装多少套？24. 如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接、（1）证明：（2）填空：（直接将结果写在相应横线上） ， ， （3）如图2，过点D作，垂足为N，若，求 的值（4）记，试用含m，n的式子表示25. 定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”（1）在下列函数中，是“函数”的有 （填序号）；（2）若关于x函数是
7、“函数”，且图象与直线相交于A、B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值（3）若关于x函数是X（2）函数，当时，函数有最大值，当时，求a的值2023年湖南省长沙市开福区中考二模数学试卷一、选择题1. 2023的倒数是（ ）A. 2023B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可【详解】解：2023的倒数为故选B【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键2. “生态环境保护就是为民造福的百年大计”，下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
8、【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；【详解】解：A不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；B是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意；C不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；D不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选： B【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180后与原图重合3. 2023年4月3日，长沙统计局发布了2022年国民经济和社会发展统计公报，公报显示：2022年末长沙市常住总人口约为万人，比上年末增长，共中万用科学记数法表示为（ ）A.
9、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数绝对值时，n是负数【详解】解：万=故选A【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法表示数的方法是解题关键4. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解判断即可【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；B、，故选项B计算正确，符合题意；C、，故选项C计算错误，不符合题意；D、，故选
10、项D计算错误，不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式、完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，积的乘方和幂的乘方指数是相乘5. 如图，BC是O的直径，A是O上的一点，OAC=32，则B的度数是（）A. 58B. 60C. 64D. 68【答案】A【解析】【分析】根据，根据等边对等角得到根据是直径，得到根据直角三角形的性质即可求得的度数.【详解】 均为半径，是直径， 在中， 故选A.【点睛】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.6. 如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下
11、列条件不能判定矩形是正方形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断【详解】解：A、正确邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；B、错误矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；C、正确四边形是矩形，矩形为正方形，故不符合题意；D、正确，矩形是正方形，故不符合题意故选：B【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法7. 如图，直线a，b被直线c所截，若，则的度数为（）A. 110B. 100C. 80D. 70【答案】A【解析】【分析】先根据平行线的性质得到，再根据平角的定义即可求出答案【详解】解：
12、，故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键8. 某校为了了解某班开展学习党史情况，该校随机抽取了9名学生进行调查，他们读书的本数分别是3、2、3、2、5、1、2、5、4，则这组数据的众数和中位数是（）A. 2和3B. 2和5C. 5和3D. 3和5【答案】A【解析】【分析】根据众数和中位数的定义进行判断即可【详解】解：3、2、3、2、5、1、2、5、4中出现次数最多的是2，这组数据中众数为2；将这组数据从小到大进行排序为1、2、2、2、3、3、4、5、5，排在中间的数为3，这组数据的中位数为3；这组数据的众数和中位数是2和3，故A正确故选：A【点睛】本
13、题主要考查了中位数和众数的定义，解题的关键是理解中位数和众数的定义，中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列(或者从大到小的顺序排列)之后处在数列中间位置的数值或者中间两个数的平均数；众数是指一组数值中出现次数最多的数值9. 对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）A. 函数图象分布在第一、三象限B. 函数图象经过点C. 若点在其图象上，那么点也一定在其图象上D. 若点都在函数图象上，且，则【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可【详解】A、，图象在第一、三象限，故A选项正确，不符合题意；B、反比例函数，故图象经过点，故B选项正确，
14、不符合题意；C、点在图象上，故C选项正确，不符合题意；D、不能确定点，是否在同一象限内，不能确定的大小，故原选项错误，符合题意故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大10. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）A. 五位B. 四位C. 三位D. 二位【答案】B【解析】【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可
15、【详解】解：取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为；，密码的位数至少需要四位，故选项B正确故选：B【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率二、填空题11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根和，则_【答案】1【解析】【分析】根
16、据根与系数的关系可直接得出答案【详解】解：由题意得：，故答案为：1【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为与，则，13. 如图，在中，点D，E分别在边，上，若，则的长为_cm.【答案】15【解析】【分析】证明可得 从而可得答案【详解】解： ， ， 而 经检验符合题意；故答案为：15【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程是解本题的关键14. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，则的周长为 _【答案】18【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据等量代换可得的周长，进行计算即可解答【详解】解：是的垂直平分
17、线，的周长，故答案为：18【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键15. 如图，菱形的对角线相交于点O，H是的中点，连接，若，则_【答案】【解析】【分析】由菱形的性质可得的长，则可求得的长，再由三角形中位线定理即可求得结果【详解】解：在菱形中，由勾股定理得：，H是的中点，是的中位线，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟悉这些性质与定理是解题的关键16. 勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”观察下列勾股数： ；
18、，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： ，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是_【答案】【解析】【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 则弦为，故答案为：【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键三、解答题17. 计算：【答案】【解析】【分析】根据零指数幂法则、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、负整数指数幂法则进行计算即可得到答案【详解
19、】解：原式【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键18. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得【详解】解：，当时，原式【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则19. 如图，按照下列步骤作图：以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点；分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线，交于点M（1）试根据作图过程，说明是的平分线的理由；（2）若，求的度数【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接、易证，可得；（2）依据角平分
20、线的性质和平行线的性质可求得，最后依据三角形内角和求解即可【小问1详解】连接、，根据作图知：，在与中，是的平分线【小问2详解】由题意得，是的平分线，【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、角平分线的证明和性质、平行线的性质以及三角形内角和定理；解题的关键是熟练运用相关性质转换求值20. 月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图（1）_，_，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为_；（3）若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相
21、关知识了解情况为优秀的学生人数【答案】（1），补全频数分布直方图见详解图示 （2） （3）【解析】【分析】（1）条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，由此即可求解；（2）扇形的圆心角等于该组所占比例乘以，由此即可求解；（3）先计算出达到分以上的人所占的比例，即可求解【小问1详解】解：条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，即本次抽样的总量是人，条形图中的有（人），条形图中的有人，故答案为：，；补全补全频数分布直方图如图所示，【小问2详解】解：“”的人数为人，所占比例为，所对圆心角的度数为，故答案为：【小问3详解】解：达到分以上的人数有（人），所占比例为，全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况
22、为优秀的学生人数大约为（人）【点睛】本题主要考查统计的相关知识，理解条形图，扇形图的意义，掌握计算总量的方法，圆心角的计算方法，用样本估算总体的计算方法是解题的关键21. 如图，中，对角线，相交于点O，（1）求证：是正三角形；（2）求的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，继而可得，再由根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）由是等边三角形得出，进而可得，由此得出四边形是矩形，再根据利用勾股定理可得的长，最后利用矩形的面积公式即可得【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，又，又，是等边三角形；【小问2详解】解：是等边三角形；四边形
23、是平行四边形，四边形是矩形，在中，则矩形的面积为【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题关键22. 如图，是的直径，是上的一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，（1）求证：平分；（2）若求阴影部分面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得则可得根据平行线的性质可得由得即可得出结论（2）因为由圆周角定理可知得是等边三角形，根据勾股定理可列出方程，根据即可求解【小问1详解】连接，如图，与相切于点即平分；【小问2详解】是等边三角形，设半径为在中，在中，【点睛】本题主要考查了切线的性质，
24、圆周角定理，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解此题的关键23. 某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别是多少元？（2）若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利不少于1200元，则最少购进A品牌服装多少套？【答案】（1）、两种品牌服装每套进价分别为100元、75元 （2）至少购进品牌服装的数量是16套【解析】【分析
25、】（1）首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用2000元购进种服装数量是用750元购进种服装数量的2倍”列出方程，解方程即可；（2）首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式，再解不等式即可【小问1详解】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，由题意得：解得：，经检验：是原分式方程的解，答：、两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；【小问2详解】解：设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，由题意得：，解得：，答：至少购进品牌服装的数量是16套【点睛】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意
26、，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键24. 如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接、（1）证明：（2）填空：（直接将结果写在相应的横线上） ， ， （3）如图2，过点D作，垂足为N，若，求 值（4）记，试用含m，n的式子表示【答案】（1）证明见解析； （2）2，； （3）； （4）【解析】【分析】（1）证明，可得，再利用圆周角定理可得结论；（2）证明为等腰直角三角形，可得，可得，过作交的延长线于，证明是等腰直角三角形；，证明，可得，可得，证明，证明，可得，可得；（3）证明，可得，即，可得，可得，由，可得，则，从而可得答
27、案；（4）由，可得，过作于，于，证明，可得，结合，由，即，可得【小问1详解】证明：为的直径，平分，【小问2详解】，为等腰直角三角形，过作交的延长线于，而，是等腰直角三角形；，而，同理可得：，；【小问3详解】，即，设，则，【小问4详解】，过作于，于，平分，即，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题综合程度高，难度偏大，是压轴题25. 定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”（1）在下列函数中，是“函数”
28、的有 （填序号）；（2）若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A、B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值（3）若关于x的函数是X（2）函数，当时，函数有最大值，当时，求a的值【答案】（1） （2），； （3）或【解析】【分析】（1）根据关于直线（n为常数）对称点的性质结合函数图像点的特征进行判断；（2）根据定义可得，则，设，由得，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求得，由求解k即可；（3）由题意求得 ，当时，分情况讨论y取得最大值分别求解即可【小问1详解】若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，设函数图象这两个对称点坐标分别为，而且，即，函数图象上不存在不同
29、的两点关于直线（n为常数）对称，故该函数不能为“函数”；，即，函数不存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，故该函数不能为“函数”；，即，函数不存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，故该函数不能为“函数”；当时，解得，函数存在不同的两点关于直线对称，故该函数为“函数”；故答案为：；【小问2详解】解：根据题意，则，函数的图象与直线相交于A、B两点，直线与轴交于点H，设，由得，且，根据该函数图象关于直线对称得，、是等腰直角三角形，点P到的距离为，由得，（舍去），；【小问3详解】解：由题意，得，解得，当时，函数有最大值，当时，即：时，函数有最大值，若，即时，函数当时，取得最大值，代入，得：，若，在时， 时，函数取最大值，代入，得：，解得：，综上，满足条件的值为或【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、等边三角形的判定与性质、解一元二次方程、一元二次方程的根与系数关系、解直角三角形等知识，理解新函数定义，解（2）的关键是证明为等腰直角三角形，根据边关系列方程求解；解（3）关键是根据题意求出函数解析式，利用二次函数的性质和分类讨论思想求解
