1、2018 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题, 每小题 3 分 ,共 36 分)1 （3.00 分） 2 的相反数是（ ）A 2 B C2 D2 （3.00 分）据统计， 2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部 ”，数据 10200 用科学记数法表示为（ ）A0.102 105 B10.210 3 C1.02 104 D1.0210 33 （3.00 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2+a3=a5 B3 C （x 2
2、） 3=x5 Dm 5m3=m24 （3.00 分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C5cm，5cm ，10cmD6cm，7cm ，14cm5 （3.00 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D6 （3.00 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B CD7 （3.00 分）将下列如图的平面图形绕轴 l 旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）A B C D8 （3.00 分）下列说法正确的是（ ）A任意掷一枚质地均匀的硬币 1
3、0 次，一定有 5 次正面向上B天气预报说“ 明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨C “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D “a 是实数，|a|0” 是不可能事件9 （3.00 分）估计 +1 的值是（ ）A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间10 （3.00 分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系根据图象，下列说法正确的是（ ）A小明吃早餐用了 25minB小
4、明读报用了 30minC食堂到图书馆的距离为 0.8kmD小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min11 （3.00 分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？” 这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500米，则该沙田的面积为（ ）A7.5 平方千米 B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米12 （3.00 分）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点
5、P（x 03，x 0216） ，则符合条件的点 P（ ）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无穷多个二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分)13 （3.00 分）化简： = 14 （3.00 分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 度15 （3.00 分）在平面直角坐标系中，将点 A（2，3 ）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应的点 A的
6、坐标是 16 （3.00 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是 17 （3.00 分）已知关于 x 方程 x23x+a=0 有一个根为 1，则方程的另一个根为 18 （3.00 分）如图，点 A，B，D 在O 上，A=20，BC 是O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则OCB= 度三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第
7、 22、23 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19 （6.00 分）计算：（ 1） 2018 +（3） 0+4cos4520 （6.00 分）先化简，再求值：（a+b ） 2+b（ab）4ab ，其中 a=2，b= 21 （8.00 分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“ 打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6 分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 &nb
8、sp; 名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？22 （8.00 分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC=80千米，A=45，B=30（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可
9、以少走多少千米？（结果精确到 0.1千米） （参考数据： 141， 1.73）23 （9.00 分）随着中国传统节日“ 端午节”的临近，东方红商场决定开展 “欢度端午，回馈顾客” 的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200元（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？24 （9.00 分）如图，在 ABC
10、中，AD 是边 BC 上的中线，BAD=CAD，CEAD ，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3（1）求 CE 的长；（2）求证：ABC 为等腰三角形（3）求ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离25 （10.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m 为常数，m1，x 0 ）的图象经过点 P（m，1）和 Q（1，m） ，直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，点 M（x，y ）是该函数图象上的一个动点，过点 M 分别作x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A，B（1）求OCD 的度数；（2）当 m=3，1x3 时，存在点 M 使
11、得OPMOCP，求此时点 M 的坐标；（3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1？请说明你的理由26 （10.00 分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CBCD ，则该四边形 “十字形” （填“是”或“不是”）（2）如图 1，A，B，C ，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，ADB CDB= ABD CBD ，当 6AC 2+
12、BD27 时，求 OE的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a ，b，c 为常数，a 0，c 0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧） ，B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0， ac） ，记“ 十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB ，COD， AOD，BOC 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； = ； = ；“ 十字形”ABCD 的周长为 12 2018 年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在
13、答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题, 每小题 3 分 ,共 36 分)1 （3.00 分） 2 的相反数是（ ）A 2 B C2 D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解：2 的相反数是 2，故选：C2 （3.00 分）据统计， 2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部 ”，数据 10200 用科学记数法表示为（ ）A0.102 105 B10.210 3 C1.02 104 D1.0210 3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，
14、要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：10200=1.0210 4，故选：C3 （3.00 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2+a3=a5 B3 C （x 2） 3=x5 Dm 5m3=m2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、a 2+a3，无法计算，故此选项错误；B、3 2 = ，故此选项错误；C、 （ x2） 3=x6，故此选项错误；D、m 5m3=m2，正确故选：D4 （3.00 分）下列长
15、度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C5cm，5cm ，10cmD6cm，7cm ，14cm【分析】结合“ 三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论【解答】解：A、5+4=9，9=9，该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8 +8=16，1615，该三边能组成三角形，故此选项正确；C、 5+5=10，10=10，该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13 14，该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B5 （3.00 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
16、 ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A6 （3.00 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B CD【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：解不等式 x+20 ，得：x 2，解不等式 2x40，得：x2 ，则不等式组的解集为2 x2，将解集表示在数轴上如下：故选：C7 （3.00 分）将下列如图
17、的平面图形绕轴 l 旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）A B C D【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果【解答】解：绕直线 l 旋转一周，可以得到圆台，故选：D8 （3.00 分）下列说法正确的是（ ）A任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上B天气预报说“ 明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨C “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D “a 是实数，|a|0” 是不可能事件【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5
18、 次正面向上，错误；B、天气预报说“ 明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨，错误；C、 “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、 “a 是实数，|a|0” 是必然事件，故此选项错误故选：C9 （3.00 分）估计 +1 的值是（ ）A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围【解答】解：3 2=9，4 2=16， ， +1 在 4 到 5 之间故选：C10 （3.00 分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，
19、小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系根据图象，下列说法正确的是（ ）A小明吃早餐用了 25minB小明读报用了 30minC食堂到图书馆的距离为 0.8kmD小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min【分析】根据函数图象判断即可【解答】解：小明吃早餐用了（258）=17min，A 错误；小明读报用了（5828）=30min，B 正确；食堂到图书馆的距离为（0.8 0.6）=0.2km，C 错误；小明从图书馆回家的速度为 0.810=0.08km/min， D 错误；故选：B11 （3.00 分）我国
20、南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？” 这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500米，则该沙田的面积为（ ）A7.5 平方千米 B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案【解答】解：5 2+122=132，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形，这块沙田面积为： 550012500=750000
21、0（平方米）=7.5（平方千米）故选：A12 （3.00 分）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点P（x 03，x 0216） ，则符合条件的点 P（ ）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点 P（x 03，x 0216） ，即可求得点 P 的坐标，从而可以解答本题【解答】解：对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点P（x 03，x 0216） ，x 0216a （x 03） 2+a（x 03
22、） 2a（x 04） （x 0+4）a（x 01） （x 04）（x 0+4）a（x 01）x 0=4 或 x0=1，点 P 的坐标为（ 7，0）或（ 2， 15）故选：B二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分)13 （3.00 分）化简： = 1 【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可【解答】解：原式= =1故答案为：114 （3.00 分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 90 度【分析】根据圆心
23、角=360百分比计算即可；【解答】解：“ 世界之窗”对应扇形的圆心角=360 （110%30% 20%15%）=90，故答案为 9015 （3.00 分）在平面直角坐标系中，将点 A（2，3 ）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应的点 A的坐标是 （1，1） 【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案【解答】解：将点 A（ 2，3）向右平移 3 个单位长度，得到（1，3） ，再向下平移 2 个单位长度，平移后对应的点 A的坐标是：（ 1，1） 故答案为：（1，1） 16 （3.00 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6
24、的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是 【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答【解答】解：正方体骰子共六个面，点数为 1，2，3，4，5，6，偶数为2，4 ，6 ，故点数为偶数的概率为 = ，故答案为： 17 （3.00 分）已知关于 x 方程 x23x+a=0 有一个根为 1，则方程的另一个根为 2 【分析】设方程的另一个根为 m，根据两根之和等于 ，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设方程的另一个根为 m，根据题意得：1+m=3 ，解得：m=2故答案为：218 （3.00 分）如图，点 A，B，D 在O 上，A=20，BC 是
25、O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则OCB= 50 度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB 的度【解答】解：A=20，BOC=40，BC 是 O 的切线，B 为切点，OBC=90，OCB=9040=50，故答案为：50三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 22、23 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19 （6.00 分）计算：（ 1） 2018 +（3） 0+4c
26、os45【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=12 +1+4 =12 +1+2 =220 （6.00 分）先化简，再求值：（a+b ） 2+b（ab）4ab ，其中 a=2，b= 【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入 a、b 的值，进而可得答案【解答】解：原式=a 2+2ab+b2+abb24ab=a2ab，当 a=2，b= 时，原式=4+1=521 （8.00 分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了
27、若干名居民开展主题为“ 打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6 分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 50 名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【分析】 （1）根据总数=个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）共抽取：4+10+
28、15+11+10=50（人） ，故答案为 50；（2）平均数= （46+ 107+158=119+1010）=8.26；众数：得到 8 分的人最多，故众数为 8中位数：由小到大排列，知第 25，26 平均分为 8 分，故中位数为 8 分；（3）得到 10 分占 1050=20%，故 500 人时，需要一等奖奖品 50020%=100（份） 22 （8.00 分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC=80千米，A=45
29、，B=30（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1千米） （参考数据： 141， 1.73）【分析】 （1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角ACD 中，解直角三角形求出 CD，进而解答即可；（2）在直角CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出汽车从 A地到 B 地比原来少走多少路程【解答】解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，ABCD，sin30= ，BC=80 千米，CD=BCsin30=80 （千米） ，AC= （千米） ，AC+B
30、C=80+40 401.41+80=136.4（千米） ，答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米；（2）cos30= ，BC=80（千米） ，BD=BCcos30=80 （千米） ，tan45= ，CD=40 （千米） ，AD= （千米） ，AB=AD+BD=40+40 40 +401.73=109.2（千米） ，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BCAB=136.4 109.2=27.2（千米） 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米23 （9.00 分）随着中国传统节日“ 端午节”的临近，东方红商场决定开展 “欢度端午，
31、回馈顾客” 的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200元（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【分析】 （1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据“打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200
32、 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数 打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据题意得： ，解得： 答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒 120 元（2）80 40+100120800.8401000.75120=3640（元） 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元24 （9.00 分）如图，在 ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，BAD=CAD，CEAD ，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3（1）求 CE
33、 的长；（2）求证：ABC 为等腰三角形（3）求ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离【分析】 （1）证明 AD 为 BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；（2）通过证明ABD CAD 得到 AB=AC；（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设P 的半径为R， Q 的半径为 r，在 RtPBD 中利用勾股定理得到（R3） 2+42=R2，解得 R=，则 PD= ，再利用面积法求出 r= ，即 QD= ，然后计算 PD+QD 即可【解答】 （1）解：AD 是边 BC 上的中线，BD=CD，CEAD，AD 为BCE 的中位线，CE=2AD=6；（2）
34、证明：BD=CD，BAD=CAD ，AD=AD ，ABD CAD，AB=AC，ABC 为等腰三角形（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，在 RtABD 中，AB= =5，设P 的半径为 R，Q 的半径为 r，在 RtPBD 中， （R 3） 2+42=R2，解得 R= ，PD=PAAD= 3= ，S ABQ +SBCQ +SACQ =SABC ， r5+ r8+ r5= 38，解得 r= ，即 QD= ，PQ=PD+QD= + = 答：ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 25 （10.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m 为常数，m1，x 0 ）的
35、图象经过点 P（m，1）和 Q（1，m） ，直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，点 M（x，y ）是该函数图象上的一个动点，过点 M 分别作x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A，B（1）求OCD 的度数；（2）当 m=3，1x3 时，存在点 M 使得OPMOCP，求此时点 M 的坐标；（3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1？请说明你的理由【分析】 （1）想办法证明 OC=OD 即可解决问题；（2）设 M（ a， ） ，由OPM OCP，推出 = = ，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；（3）不存在分三种情形说明：当 1x
36、5 时，如图 1 中；当 x1 时，如图 2 中；当 x5 时，如图 3 中；【解答】解：（1）设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ，y= x+m+!，令 x=0，得到 y=m+1，D（0，m+1） ，令 y+0，得到 x=m+1，C（m+1，0） ，OC=OD，COD=90，OCD=45（2）设 M（ a， ） ，OPMOCP， = = ，OP 2=OCOM，当 m=3 时，P（3，1） ，C（4，0） ，OP2=32+12=10，OC=4，OM= ， = ，10=4 ，4a 425a2+36=0，（4a 29） （a 24）=0，a= ，a=2，1a3 ，a= 或 2，当
37、 a= 时，M（ ，2） ，PM= ，CP= ， （舍弃） ，当 a=2 时，M（2， ） ，PM= ，CP= ， = = ，成立，M（ 2， ） （3）不存在理由如下：当 m=5 时，P（5，1） ，Q（1，5） ，设 M（x， ） ，OP 的解析式为： y= x，OQ 的解析式为 y=5x，当 1x5 时，如图 1 中，E （ ， ） ，F（x， x） ，S=S 矩形 OAMBSOAF SOBE=5 x x =4.1，化简得到：x 49x2+25=0，O，没有实数根当 x1 时，如图 2 中，S=SOGH S OAM =2.5，不存在，当 x5 时，如图 3 中，S=SOTS S OBM
38、=2.5，不存在，综上所述，不存在26 （10.00 分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CBCD ，则该四边形 不是 “十字形” （填“是”或“不是”）（2）如图 1，A，B，C ，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，ADB CDB= ABD CBD ，当 6AC 2+BD27 时，求 OE的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a ，b，c 为常数，a
39、0，c 0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧） ，B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0， ac） ，记“ 十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB ，COD， AOD，BOC 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； = ； = ；“ 十字形”ABCD 的周长为 12 【分析】 （1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出ADB +CAD= ABD+CAB，进而判断出AED= AEB=90，即：ACBD，再判断出四边形 OMEN 是矩形，进而得出 OE2=2 （AC 2+BD2） ，即可得出结论；（3）由题意得
40、，A（ ，0） ，B （0，c ） ，C （ ，0） ，D （0 ，ac ） ，求出 S= ACBD= （ac+c ） ，S 1= OAOB= ，S 2= OCOD=，S 3= OAOD= ，S 4= OBOC= ，进而建立方程 + = + ，求出 a=1，再求出b=0，进而判断出四边形 ABCD 是菱形，求出 AD=3 ，进而求出 c=9，即可得出结论【解答】解：（1）菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是：“ 十字形” ，平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形不是“十字形” ，故答案为：菱形，正方形；如图，当 CB=CD 时，在ABC 和 ADC 中， ，ABCADC（
41、SSS） ，BAC=DAC，AB=AD，ACBD，当 CBCD 时，四边形 ABCD 不是“十字形” ，故答案为：不是；（2）ADB +CBD= ABD+CDB，CBD=CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180AED=180 AEB，AED= AEB=90，ACBD，过点 O 作 OMAC 于 M，ONBD 于 N，连接 OA，OD，OA=OD=1，OM 2=OA2AM2，ON 2=OD2DN2，AM= AC，DN= BD，四边形OMEN 是矩形，ON=ME，OE 2=OM2+ME2，OE 2=OM2+ON2=2 （AC 2+BD2） ，6AC 2+BD27，2 OE 22 ，
42、OE 2 ， （OE0） ；（3）由题意得，A（ ，0） ，B （0，c ） ，C （ ，0） ，D （0 ，ac ） ，a 0 ，c 0，OA= ，OB= c，OC= ，OD= ac，AC= ，BD=acc，S= ACBD= （ac+c） ，S 1= OAOB= ，S 2= OCOD=，S3= OAOD= ，S 4= OBOC= ， = + ， = + ， + = + ， =2，a=1，S=c ，S 1= ，S 4= ， ，S=S 1+S2+2 ，c = +2 ， =c ， = ，b=0，A（ ，0） ，B（0，c） ，C（ ，0） ，d （0，c） ，四边形 ABCD 是菱形，4AD=12 ，AD=3 ，即：AD 2=90，AD 2=c2c，c 2c=90，c= 9 或 c=10（舍） ，即：y=x 29
