1、2023年四川省达州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1的倒数的绝对值是（）A2023BC2023D2下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）ABCD3世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A7.6109B7.6108C7.6109D7.61084下列运算正确的是（）Ax2+x3x5B2x2x21Cx2x3x6Dx6x3x35如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A6B8C10D126若x2是关
2、于x的一元二次方程x2+axa20的一个根，则a的值为（）A1或4B1或4C1或4D1或47为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）4569户数3421则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A中位数是5吨B众数是5吨C极差是3吨D平均数是5.3吨8抛物线yx2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y（x1）24，则b、c的值为（）Ab2，c6Bb2，c0Cb6，c8Db6，c29如图，已知点A1、A2、A2024在函数y2x2位于第二象限的图象上，点B1、B2、B2024在函数y2x2位于第一象
3、限的图象上，点C1、C2、C2024在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2、C2023A2024B2024B2024都是正方形，则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为（）A1012BCD10已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1的实数）；其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）11已知a2+3a1，则代数式2a2+6a1的值为 12在一不透明的袋子里装有除颜色
4、外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 个绿色小球13如图，在ABC中，BC30，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则ACE的周长为 14如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC2AB，点E在线段AC上，且AE3EC，点D为OB的中点，若ADE的面积为3，则k的值为 15如图，ABC是O内接正三角形，将ABC绕点O顺时针旋转30得到DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：DQN30；DNQANM；DNQ的周长等于AC的长；NQQC其中正确的结论是 （把
5、所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16（8分）（1）计算：（1）0+|2cos45+（）1（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+10有实数根，求m的取值范围17（7分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表组别成绩组中值频数第一组90x100954第二组80x9085m第三组70x8075n第四组60x706521根据图表信息，回答下列问题：（1）参加活动选拔的学生共有 人；表中m ，n ；（2）若将各组的组中值视为该组
6、的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率18（7分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i1：，且AB26米为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过53时，可确保山体不滑坡（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8
7、，cos530.6，tan531.33，cot530.75）19（10分）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点ABC，（1）求出ABC的边长，并判断ABC是否为直角三角形；（2）画出ABC关于点O的中心对称图形A1B1C1；（3）画出ABC绕点O按顺时针方向旋转90后得到的图形A2B2C2；（4）A1B1C1可能由A2B2C2怎样变换得到？ （写出你认为正确的一种即可）20（8分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E在BC上，且ABDE，（1）试判断四边形ABED的形状，并说明理由；（2）若ABADDC，ECBE，求B的度数；当DC4cm时，求四边形ABED的面积（结果
8、精确到0.01cm2）21（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？22（10分）如图，ABC为O的内接三角形，P为BC延长线上一点，PACB，AD为O的直径，过C作CGAD
9、交AD于E，交AB于F，交O于G（1）判断直线PA与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2ABAF23（8分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数yx1，令y0，可得x1，我们就说1是函数yx1的零点已知函数yx22mx2（m+3）（m为常数）（1）当m0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线yx10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式24（12分）如图，二次函数yax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，2），交x轴于A
10、、B两点，其中A（1，0），直线l：xm（m1）与x轴交于D（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由25（12分）我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当+180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做
11、ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD BC；如图3，当BAC90，BC8时，则AD长为 猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，C90，D150，BC12，CD2，DA6在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由2023年四川省达州市中考数学一模试卷（参考答案与详解）一、选择题
12、（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1的倒数的绝对值是（）A2023BC2023D【解答】解：的倒数是2023，的倒数的绝对值是|2023|2023故选：A2下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）ABCD【解答】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形故选：C3世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A7.6109B7.6108C7.6109D7.6108【解答】解：将0
13、.000000076用科学记数法表示为7.6108，故选：B4下列运算正确的是（）Ax2+x3x5B2x2x21Cx2x3x6Dx6x3x3【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；B、2x2x2x2，原式计算错误，故本选项正确；C、x2x3x5，原式计算错误，故本选项错误；D、x6x3x3，原式计算正确，故本选项正确；故选：D5如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A6B8C10D12【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a4，b6，则2c10，12三角形的周长20，故6中点三角形周长10故选：B6若x2
14、是关于x的一元二次方程x2+axa20的一个根，则a的值为（）A1或4B1或4C1或4D1或4【解答】解：x2是关于x的一元二次方程x2+axa20的一个根，（2）2+a（2）a20，即a2+3a40，整理，得（a+4）（a1）0，解得 a14，a21即a的值是1或4故选：A7为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）4569户数3421则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A中位数是5吨B众数是5吨C极差是3吨D平均数是5.3吨【解答】解：这10个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9；中位数是：（5+5）25吨，故A正确；众
15、数是：5吨，故B正确；极差是：945吨，故C错误；平均数是：（34+45+26+9）105.3吨，故D正确故选：C8抛物线yx2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y（x1）24，则b、c的值为（）Ab2，c6Bb2，c0Cb6，c8Db6，c2【解答】解：函数y（x1）24的顶点坐标为（1，4），是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，121，4+31，平移前的抛物线的顶点坐标为（1，1），平移前的抛物线为y（x+1）21，即yx2+2x，b2，c0故选：B9如图，已知点A1、A2、A2024在函数y2x2位于第二象限的图象上，点B1、B2、B2
16、024在函数y2x2位于第一象限的图象上，点C1、C2、C2024在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2、C2023A2024B2024B2024都是正方形，则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为（）A1012BCD【解答】解：OA1C1B1是正方形，OB1与y轴的夹角为45，OB1的解析式为yx，联立方程组得：，解得 ，B点的坐标是：（，），OB11；同理可得：正方形C1A2C2B2的边长C1B22；依此类推，正方形C2023A2024C2024B2024的边长是为20241012故选：B10已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5
17、个结论：abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1的实数）；其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个【解答】解：由二次函数的图象开口向下可得a0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得c0，由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c0的根的判别式b24ac0，把x1代入yax2+bx+c，得：ya+b+c，由函数图象可以看出x1时二次函数的值为正，对称轴为x1，a，b异号，b0，abc0；故abc0，此选项错误；当x1时，ax2+bx+c0，ab+c0，（ab+c）0，bac；故此选项正确；当x2时，ax2+bx+c0，4a+2b+c0；2c3b；当x3时函
18、数值小于0，y9a+3b+c0，且x1，即a，代入得9（）+3b+c0，得2c3b，正确；当x1时，y的值最大此时，ya+b+c，而当xm时，yam2+bm+c，所以a+b+cam2+bm+c，故a+bam2+bm，即a+bm（am+b），正确正确故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）11已知a2+3a1，则代数式2a2+6a1的值为1【解答】解：a2+3a1，原式2（a2+3a）1211，故答案为：112在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有20个
19、绿色小球【解答】解：设袋子里有x个绿色小球，根据题意得：，解得：x20，经检验x20是原方程的解，故答案为：2013如图，在ABC中，BC30，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则ACE的周长为【解答】解：过A点作AFBC，垂足为F，BC30，ABAC2AF，BC，BFCF，AC2AF2+CF2，AC2（AC）2+（）2，解得AC2，AF1，DE垂直平分AB，AEBE，ACE的周长为AE+EC+ACBE+EC+ACBC+AC故答案为14如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC2AB，点E在线段AC上，且AE3EC，点D为OB的中点，若AD
20、E的面积为3，则k的值为【解答】解：连DC，如图，AE3EC，ADE的面积为3，CDE的面积为1，ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则ABa，OC2AB2a，而点D为OB的中点，BDODb，S梯形OBACSABD+SADC+SODC，（a+2a）bab+4+2ab，ab，把A（a，b）代入双曲线y，kab故答案为：15如图，ABC是O内接正三角形，将ABC绕点O顺时针旋转30得到DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：DQN30；DNQANM；DNQ的周长等于AC的长；NQQC其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）【解答】解：连接OA、OD、O
21、F、OC、DC、AD、CF，如图，ABC绕点O顺时针旋转30得到DEF，AODCOF30，ACDAOD15，FDCCOF15，DQNQCD+QDC15+1530，所以正确；同理可得AMN30，DEF为等边三角形，DEDF，弧DE弧DF，弧AE+弧AD弧DC+弧CF，而弧AD弧CF，弧AE弧DC，ADEDAC，NDNA，在DNQ和ANM中，DNQANM（AAS），所以正确；ACD15，FDC15，QDQC，而NDNA，ND+QD+NQNA+QC+NQAC，即DNQ的周长等于AC的长，所以正确；DEF为等边三角形，NDQ60，而DQN30，DNQ90，QDNQ，QDQC，QCNQ，所以错误故答案为
22、三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16（8分）（1）计算：（1）0+|2cos45+（）1（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+10有实数根，求m的取值范围【解答】解：（1）（1）0+|2cos45+（）11+2+41+45；（2）当m20，即m0时，方程变为x+10，有实数根；当m20，即m0时，原方程要有实数根，则0，即（2m+1）24m24m+10，解得m，则m的范围是m且m0综上所述，m的取值范围为m17（7分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整
23、的统计图表组别成绩组中值频数第一组90x100954第二组80x9085m第三组70x8075n第四组60x706521根据图表信息，回答下列问题：（1）参加活动选拔的学生共有50人；表中m10，n15；（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率【解答】解：（1）第一组有4人，所占百分比为8%，学生总数为：48%50；n5030%15，m504152110故答案为50，10，15；（2）74.4
24、；（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同恰好选中A和B的结果有2种，其概率为18（7分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i1：，且AB26米为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过53时，可确保山体不滑坡（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（2）为了消除
25、安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.33，cot530.75）【解答】解：（1）斜坡AB的坡比为i1：，BE：EA12：5，设BE12x，则EA5x，由勾股定理得，BE2+EA2AB2，即（12x）2+（5x）2262，解得，x2，则BE12x24，AE5x10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FHAD于H，则tanFAH，AH18，BF18108，答：BF至少是8米19（10分）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点ABC，（1）求出A
26、BC的边长，并判断ABC是否为直角三角形；（2）画出ABC关于点O的中心对称图形A1B1C1；（3）画出ABC绕点O按顺时针方向旋转90后得到的图形A2B2C2；（4）A1B1C1可能由A2B2C2怎样变换得到？先将A2B2C2绕A2点按顺时针方向旋转90，再将所得图形向右平移6个单位即得到A1B1C1（写出你认为正确的一种即可）【解答】解：（1）AB，AC，BC，AB2+AC2BC2，ABC是直角三角形（2）、（3）所画图形如下所示：（4）先将A2B2C2绕A2点按顺时针方向旋转90，再将所得图形向右平移6个单位即得到A1B1C1（变换可以不同，只要正确即可）故答案为：先将A2B2C2绕A2
27、点按顺时针方向旋转90，再将所得图形向右平移6个单位即得到A1B1C120（8分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E在BC上，且ABDE，（1）试判断四边形ABED的形状，并说明理由；（2）若ABADDC，ECBE，求B的度数；当DC4cm时，求四边形ABED的面积（结果精确到0.01cm2）【解答】解：（1）ADBC，ABDE，四边形ABED是平行四边形；（2）四边形ABED是平行四边形，ADBE，ABDE，ABADDC，ECBEDECDEC，DCE是等边三角形，C60，四边形ABCD是等腰梯形BC60，DC4cmBEECDC4cm，作DFBC于点F，则，在RtDCF中，根据勾股定理，得
28、：，四边形ABED的面积21（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式ykx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，y与
29、x之间的函数关系式y2x+60（10x18）；（2）W（x10）（2x+60）2x2+80x6002（x20）2+200，对称轴x20，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，10x18，当x18时，W最大，最大为192即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元（3）由1502x2+80x600，解得x115，x225（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元22（10分）如图，ABC为O的内接三角形，P为BC延长线上一点，PACB，AD为O的直径，过C作CGAD交AD于E，交AB于F，交O于G（1）判断直线PA与O的位置关系，并说明理由；（
30、2）求证：AG2ABAF【解答】（1）解：直线PA与O的位置关系：直线PA与O相切，理由：连接CD，OC，如图，AD为O的直径，ACD90，D+DAC90BD，PACB，DPACPAC+DAC90，DAP90，OAPA，OA为O的半径，直线PA与O相切；（2）证明：连接BG，AD为O的直径，CGAD，ABGAGC，GAFBAG，AFGAGB，AG2ABAF23（8分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数yx1，令y0，可得x1，我们就说1是函数yx1的零点已知函数yx22mx2（m+3）（m为常数）（1）当m0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
31、（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线yx10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式【解答】解：（1）当m0时，该函数的零点为和；（2）令y0，得（2m）242（m+3）4（m+1）2+200无论m取何值，方程x22mx2（m+3）0总有两个不相等的实数根即无论m取何值，该函数总有两个零点（3）依题意有x1+x22m，x1x22（m+3）由，解得m1函数的解析式为yx22x8令y0，解得x12，x24A（2，0），B（4，0）作点B关于直线yx10的对称点B，连接AB，则AB与直线yx10的交点就是满足条件的M点易
32、求得直线yx10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，10）连接CB，则BCD45BCCB6，BCDBCD45BCB90即B（10，6）设直线AB的解析式为ykx+b，则，解得：k，b1；直线AB的解析式为，即AM的解析式为24（12分）如图，二次函数yax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，2），交x轴于A、B两点，其中A（1，0），直线l：xm（m1）与x轴交于D（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是
33、否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为C（0，2），b0，c2；yax2+bx+c过点A（1，0），0a+02，a2，抛物线的解析式为y2x22当y0时，2x220，解得x1，点B的坐标为（1，0）；（2）设P（m，n）PDBBOC90，当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：若OCBDBP，则，即，解得n由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标为（m，）或（m，），点P在第一象限，点P的坐标为（m，）若OC
34、BDPB，则，即，解得n2m2由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标为（m，2m2）或（m，22m），P在第一象限，m1，点P的坐标为（m，2m2）综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m2）（3）方法一：假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形如图，过点Q作QEl于点EDBP+BPD90，QPE+BPD90，DBPQPE在DBP与EPQ中，DBPEPQ，BDPE，DPEQ分两种情况：当P（m，）时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；当P（m，2（m1）时，B（1，0
35、），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；综上所述，不存在满足条件的点Q方法二：若在第一象限内存在点Q，B（1，0），P（m，），点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90而成，将点P平移至原点，得P（0，0），则点B（1m，），将点B顺时针旋转90，则点Q（，m1），将点P平移回P（m，），则点Q平移后即为点Q，Q（，），将点Q代入抛物线得：m2m0，m11，m20，Q1（1，0），Q2（0，）（均不合题意舍去），B（1，0），P（m，2m2），同理可得Q（2m，3m3），将点Q代入抛物线得：3m32（2m）22，2m211m+90，m11，m2，Q1（1，0），Q2（，）（均
36、不合题意舍去）综上所述，不存在满足条件的点Q25（12分）我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当+180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为ADBC；如图3，当BAC90，BC8时，则AD长为 4猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图4
37、，在四边形ABCD，C90，D150，BC12，CD2，DA6在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由【解答】解：（1）如图2中，ABC是等边三角形，ABBCACABAC，DBDC，ADBC，BAC60，BAC+BAC180，BAC120，BC30，ADABBC，故答案为如图3中，BAC90，BAC+BAC180，BACBAC90，ABAB，ACAC，BACBAC，BCBC，BDDC，ADBCBC4，故答案为4（2）结论：ADBC理由：如图1中，延长AD到M，使得ADDM，连接BM，CMBDDC，ADDM，四边
38、形ACMB是平行四边形，ACBMAC，BAC+BAC180，BAC+ABM180，BACMBA，ABAB，BACABM，BCAM，ADBC（3）存在理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BEAD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作PCD的中线PN连接DF交PC于OADC150，MDC30，在RtDCM中，CD2，DCM90，MDC30，CM2，DM4，M60，在RtBEM中，BEM90，BM14，MBE30，EMBM7，DEEMDM3，AD6，AEDE，BEAD，PAPD，PBPC，在RtCDF中，CD2，CF6，tanCDF，CDF60ADF90AEB，CBECFD，CBEPCF，CFDPCF，CFD+CDF90，PCF+CPF90，CPFCDF60，易证FCPCFD，CDPF，CDPF，四边形CDPF是矩形，CDP90，ADPADCCDP60，ADP是等边三角形，APD60，BPFCPF60，BPC120，APD+BPC180，PDC是PAB的“旋补三角形”，在RtPDN中，PDN90，PDAD6，DN，PN（也可利用旋补中线长AB，求出AB即可）
