1、江苏省淮安市金湖县2022-2023学年八年级下期中数学试题一、选择题（共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 某地区有10所高中，30所初中，要了解该地区的中学生视力情况，下列哪种抽样方式获得的数据最能够反映该地区的中学生视力情况（ ）A. 从该地区随机挑一所中学的学生B. 从该地区的一所高中和一所初中各挑一个年级的学生C. 从该地区40所中学随机选取1000名学生D. 从该地区30所初中随机抽出500名学生3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞
2、月4. 为了解全校600名八年级学生的身高，从该校八年级随机抽取了50名学生测量身高那么在这个问题中，样本是（ ）A. 50B. 被抽取的50名学生的身高C. 被抽取的50名学生D. 全校600名八年级学生的身高5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 6. 菱形的对角线长分别为6和8，它的面积为（ ）A. 5B. 20C. 24D. 487. 如图，是的对角线，点E在上，则是（ ）A. B. C. D. 8. 正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（ ）A. 一直变大B. 保持不变C. 先变大后变小D. 先变
3、小后变大二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9. 某产品生产企业开展有奖促销活动，将每8件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是_10. 如图，在中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于_11. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是_12. 如图，四边形为平行四边形，则点A的坐标为_13. 某地区八年级共有学生名，为了解该地区八年级学生平均每天完成课外作业的时间情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个
4、主要步骤进行排序：分析数据；用直方图或扇形统计图将个数据进行整理：得出结论；从名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天完成课外作业的时间合理的排序是_（只填序号）14. 如图，在中，对角线、相交于点O，则的长为_15. 如图，边长为将平移得到，且，则阴影部分的面积为_16. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将沿折叠，点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为_三、解答题（本大题共有11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图所示，点E是的边的中点，连接并延长，交的延长线于点F（1）求证：；（2）连接、，则四边形 （填“
5、是”或“不是”）平行四边形18. 下图中，图（1）一个菱形，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形对边中点，共得到5个菱形；第二次划分：如图（3）所示，对菱形按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，依次划分下去（1）根据题意，第四次划分共得到_个菱形，第次划分共得到_个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到个菱形?为什么?19. 为了解某校八年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名八年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图根据图表信息，解答下列问题：（1） ，
6、 ：（2）补全条形统计图：（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级1000名学生中，上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数20. 某校抽查了八（1）班20名学生，测量了他们在赛跑后的脉搏次数，结果如下（单位：次）：144，150，156，165，171，149，162，160，135，159，150，164，168，153，158，139，161，157，154，147（1）填写表格 每分钟脉搏次数划记丅_正正一一频数2_861（2）每分钟脉搏次数在这一组的频率是 ；（3）若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择哪一种统计图？画出你所选择的统计图，并在图中标明相应数据
7、，21. 如图，已知平行四边形，E为的中点，仅用无刻度直尺作图（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）（1）在图1中，作的中点；（2）在图2中，作的中点22. 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿）1002005001000小石子落在圆内（含圆上）的次数m2342102206小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n77158398794 0.2990.2660.2560.259（1）通过以上
8、信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）；（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留）23. 题目：如图：已知中，用直尺和圆规作矩形（保留作图痕选，不写作法）以下的图1、图2是小华所作的图形，请解决以下问题：（1）如图1，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是矩形”；（2）如图2的作法是“以点A为圆心，长为半径画弧；以点C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D”，请判断小华所作的四边
9、形是不是矩形，并说明理由24. 如图，已知在四边形中，动点P从点A开始沿边向点D以1cm/s速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以2cm/s的速度运动，P、O分别从点AC同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（1）用含t的代数式表示： cm， cm；当四边形为矩形时，求出t的值；（2）直接写出：当t为 时，？25. （1）【方法探究】如图1，在四边形中，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点求证：；（2）方法应用】如图2，在四边形中，点P、Q分别为、的中点，求的长；如图3，在四边形中，点P、Q分别为、的中点，则 26. 数学兴趣小组活动中，小亮进行数学
10、探究活动在正方形中，点E是射线上一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转到的位置，连接（1）如图1点E在线段上已知，求点F到直线的距离；直接写出： ；连接，点M为的中点，若正方形的边长为，直接写出：在点E从点A运动到点B的过程中，点M所经过的路径长为 ；（2）当点E在点B的右侧，且点P在的延长线上时，存在某一位置使四边形为菱形请在图2中画出示意图：若正方形的边长为6，求出此时的长27. 小华根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究：在中，点M在边上，且，点E是线段上任意一点，连接将沿翻折得到（1）【问题解决】如图1沿AE翻折后，点F恰好与点M重合，已知，且，则 ；（2）【问题
11、探究】如图2，沿AE翻折后，点F落在边上判断四边形的形状，并证明：已知，求四边形面积；如图3，在的条件下，将四边形沿方向平移，得到四边形，连接、，当四边形的周长最小时， ，平移距离 江苏省淮安市金湖县2022-2023学年八年级下期中数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称与中心对称的定义逐项判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图
12、形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，轴对称图形是：一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合； 中心对称图形是：图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合2. 某地区有10所高中，30所初中，要了解该地区的中学生视力情况，下列哪种抽样方式获得的数据最能够反映该地区的中学生视力情况（ ）A. 从该地区随机挑一所中学的学生B. 从该地区的一所高中和一所初中各挑一个年级的学生C. 从该地区40所中学随机选取1000名学生D. 从该地区30所初中随机抽出500名学生【答案】C【解析】【分析】根据抽取样本注意事项
13、就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现【详解】解：某地区有10所高中和30所初中要了解该地区中学生的视力情况，A，B，D中进行抽查不具有普遍性，对抽取的对象划定了范围，因而不具有代表性C、本题中为了了解该地区中学生的视力情况，从该地区40所中学里随机选取1000名学生就具有代表性故选C【点睛】本题考查抽样调查熟练掌握抽取的样本要具有广泛性与代表性，是解题的关键3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞月【答案】D【解析】【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件
14、下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；B、水涨船高是必然事件，不符合题意；C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；D、水中捞月是不可能事件，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键4. 为了解全校600名八年级学生的身高，从该校八年级随机抽取了50名学生测量身高那么在这个问题中，样本是（ ）A. 50B. 被抽取的50名学生的身高C. 被抽取的50名学生D. 全校600名八年级学生的身高【答案】B【解析】【分析】根据样本的定义，即可求解【详解】解：在这个问题中，样本是被抽取的50名学生的身高故选：
15、B【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平
16、行四边形的判定及性质是解题的关键6. 菱形的对角线长分别为6和8，它的面积为（ ）A. 5B. 20C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可【详解】解：菱形的面积为：；故选C【点睛】本题考查求菱形的面积熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键7. 如图，是的对角线，点E在上，则是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得到，进而得到，设的度数为，列式计算即可【详解】解：，设的度数为，则：，；故选A【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性
17、质，并灵活运用，是解题的关键8. 正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（ ）A. 一直变大B. 保持不变C. 先变大后变小D. 先变小后变大【答案】B【解析】【分析】如图，连接，则，即，进而可得结果【详解】解：如图，连接，矩形的面积保持不变，故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质连接，将面积关系进行转化是解题的关键二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9. 某产品生产企业开展有奖促销活动，将每8件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概
18、率是_【答案】#【解析】【分析】根据概率公式进行计算即可【详解】解：从其中一箱中随机抽取1件产品，共有8种等可能的结果，其中能中奖有2种情况，；故答案为：【点睛】本题考查求概率熟练掌握概率公式，是解题的关键10. 如图，在中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于_【答案】130#130度【解析】【分析】根据三角形内角和定理可求，再根据旋转的性质可得旋转角为【详解】解：， ，根据旋转的性质可得：旋转角为，故答案为：130【点睛】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键11. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率
19、是_【答案】【解析】【分析】设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义（反映随机事件出现的可能性大小）计算即可【详解】解：设每小格的面积为1，整个墙的面积为9，黑色区域的面积为3，最终停在黑色区域上的概率为：故答案为：【点睛】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率12. 如图，四边形为平行四边形，则点A的坐标为_【答案】【解析】【分析】由题意知，进而可得点坐标【详解】解：由题意知，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，
20、坐标与图形解题的关键在于熟练掌握平行四边形对边相等13. 某地区八年级共有学生名，为了解该地区八年级学生平均每天完成课外作业的时间情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序：分析数据；用直方图或扇形统计图将个数据进行整理：得出结论；从名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天完成课外作业的时间合理的排序是_（只填序号）【答案】【解析】【分析】直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可得到答案；【详解】解：由题意可得，根据数据收集过程可得，首先要先设计调查表格，然后抽样、分析数据、整理数据，最后得出结论，故答案为：【点睛】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正
21、确掌握调查的过程是解题关键14. 如图，在中，对角线、相交于点O，则的长为_【答案】3【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，勾股定理求出，即可得解【详解】解：中，对角线、相交于点O，；故答案为：【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理熟练掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分，是解题的关键15. 如图，的边长为将平移得到，且，则阴影部分的面积为_【答案】12【解析】【分析】利用平行的性质可得，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，同时可证得，再证明四边形是矩形，由此可得阴影部分的面积等于矩形的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算【详解】解：将平移得到，四边形
22、是平行四边形，四边形是矩形，故答案为：12【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平移的性质，证明四边形是矩形是解题的关键16. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将沿折叠，点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为_【答案】【解析】【分析】连接，证明，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可【详解】解：连接，四边形为正方形，点E是的中点，折叠，设，则：，在中，解得：；故答案为：【点睛】本题考查正方形中的折叠问题熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键三、解答题（本大题共有11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字
23、说明、证明过程或演算步骤）17. 如图所示，点E是的边的中点，连接并延长，交的延长线于点F（1）求证：；（2）连接、，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形【答案】（1）见解析 （2）是【解析】分析】（1）利用证明三角形全等即可；（2）根据全等，得到，即可得出结论【小问1详解】证明：，点E是的边的中点，又，；【小问2详解】四边形是平行四边形；理由如下：，又，四边形是平行四边形【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键18. 下图中，图（1）是一个菱形，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形对边中点，共得到5个菱形；第
24、二次划分：如图（3）所示，对菱形按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，依次划分下去（1）根据题意，第四次划分共得到_个菱形，第次划分共得到_个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到个菱形?为什么?【答案】（1）17； （2）不能够得到2023个菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据第1次划分，第2次划分，第3次划分得到的菱形数量规律推出第次划分得到的菱形数量；（2）令，解出，若为整数则可以得到个菱形，若不为整数则不能得到个菱形【小问1详解】第一次划分：，第二次划分：，第三次划分：，第四次划分：，第次划分：，故答案为：；【小问2详解】由题
25、可知：，解得，所以不能得到个菱形【点睛】此题考查整式中图形类的规律探索，解题关键是找出每个图形数量的变化，进而找到数据的变化规律19. 为了解某校八年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名八年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图根据图表信息，解答下列问题：（1） ， ：（2）补全条形统计图：（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级1000名学生中，上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数【答案】（1）200，30 （2）图见解析 （3）估计该校八年级1000名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的有500人
26、【解析】【小问1详解】解：由题意可得：（人）， 故答案为：200，30【小问2详解】活动3天的人数为：（人），补全图形如下：【小问3详解】该校八年级1000名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为：（人）答：估计该校八年级1000名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的有500人【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，利用样本估计总体，理解题意，获取两个图中相关联的信息是解本题的关键20. 某校抽查了八（1）班20名学生，测量了他们在赛跑后的脉搏次数，结果如下（单位：次）：144，150，156，165，171，149，162，160，135，159，
27、150，164，168，153，158，139，161，157，154，147（1）填写表格 每分钟脉搏次数划记丅_正正一一频数2_861（2）每分钟脉搏次数在这一组的频率是 ；（3）若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择哪一种统计图？画出你所选择的统计图，并在图中标明相应数据，【答案】（1）见解析 （2） （3）扇形统计图，图形见解析【解析】【分析】（1）根据题意，填写表格，即可；（2）根据频率等于频数与总数量的比值，即可求解；（3）根据扇形统计图的意义，即可求解【小问1详解】解：根据题意，填写表格如下：每分钟脉搏次数划记丅正正一一频数23861【小问2详解】解：每分钟脉搏
28、次数在这一组的频率是；故答案为：【小问3详解】解：若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图，每分钟脉搏次数在这一组的百分比为；每分钟脉搏次数在这一组的百分比为；每分钟脉搏次数在这一组的百分比为；每分钟脉搏次数在这一组的百分比为；每分钟脉搏次数在这一组的百分比为；画出扇形统计图，如下：【点睛】本题主要考查了频数分布表，求频率，扇形统计图，熟练掌握频率等于频数与总数量的比值是解题的关键21. 如图，已知平行四边形，E为的中点，仅用无刻度直尺作图（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）（1）在图1中，作的中点；（2）在图2中，作的中点【答案】（1）图见解析 （2）图见
29、解析【解析】【分析】（1）连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求；（2）在（1）图的基础上，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求【小问1详解】如图所示：点即为所求；平行四边形，分别为的中点，四边形为平行四边形，是的中点；【小问2详解】如图所示，点即为所求；由（1）知，为的中点，同法（1）可得：四边形均为平行四边形，是的中点【点睛】本题考查作图复杂作图熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键22. 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记
30、录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿）1002005001000小石子落在圆内（含圆上）的次数m2342102206小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n77158398794 0.2990.2660.2560.259（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）；（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留）【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据提供
31、的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率公式求出封闭图形的面积【小问1详解】解：；当投掷的次数很多时，则的值越来越接近；故答案为：；【小问2详解】解：；随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近，故答案为：；【小问3详解】解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：，答：估计整个封闭图形的面积是平方米【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比23. 题目：如图：已知中，用直尺和圆规作矩形（保留作图痕选，不写作法）以下的图1、图2是小华所作的图形，请解决以
32、下问题：（1）如图1，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是矩形”；（2）如图2的作法是“以点A为圆心，长为半径画弧；以点C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D”，请判断小华所作的四边形是不是矩形，并说明理由【答案】（1）有三个角是直角 （2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形，进行判定；（2）先证明四边形是平行四边形，即可得到四边形是矩形【小问1详解】解：由作图痕迹可知：，四边形是矩形，依据是：有三个角是直角的四边形是矩形；故答案为：有三个角是直角；【小问2详解】四边形是矩形，理由如下：由作图过程可知：，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形【点睛】
33、本题考查矩形的判定熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键24. 如图，已知在四边形中，动点P从点A开始沿边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以2cm/s的速度运动，P、O分别从点AC同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（1）用含t的代数式表示： cm， cm；当四边形为矩形时，求出t值；（2）直接写出：当t为 时，？【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；根据四边形为矩形时，列式计算即可；（2）分四边形为平行四边形和等腰梯形，两种情况进行求解即可【小问1详解】解：动点P从点A开始沿边向点D以
34、1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以2cm/s的速度运动，运动的时间为t秒，；故答案为：；动点P从点A开始沿边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以2cm/s的速度运动，动点P从点A运动到点D的时间为，动点Q从点C运动到点B的时间为，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，；，当四边形为矩形时，即：，解得：，满足题意；【小问2详解】当四边形为平行四边形时，此时，即：，解得：；当四边形为等腰梯形时，满足，如图，如图所示，分别过点和点作，垂足分别为、，则：，四边形为矩形，四边形为矩形，解得：，满足题意；综上：或时，故答案为：或【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平
35、行四边形的性质熟练掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键25. （1）【方法探究】如图1，在四边形中，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点求证：；（2）【方法应用】如图2，在四边形中，点P、Q分别为、的中点，求的长；如图3，在四边形中，点P、Q分别为、的中点，则 【答案】（1）见解析（2）5（3）【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理，即可得证；（2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理和勾股定理进行求解即可；（3）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，推出为等腰三角形，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可【详解】解（1
36、）点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，；（2）连接，取的中点，连接，点P、Q分别为、的中点，即：，；（3）连接，取的中点，连接，点P、Q分别为、的中点， ，即：，过点作于点，【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定性质，勾股定理解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线26. 数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动在正方形中，点E是射线上一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转到的位置，连接（1）如图1点E在线段上已知，求点F到直线的距离；直接写出： ；连接，点M为的中点，若正方形的边长为，直接写出：在点E从点A运动到点B的过程中，点M所经过的路径长为 ；（2）当点E在
37、点B的右侧，且点P在的延长线上时，存在某一位置使四边形为菱形请在图2中画出示意图：若正方形的边长为6，求出此时的长【答案】（1）1；3； （2）图见详解；【解析】【分析】（1）过作，易得即可得到答案；由可得，即可得到答案；连接、交于一点根据正方形的对角线互相垂直平分且相等即可得到是中点，延长至H使，根据三角形中位线可得点M的移动轨迹为线段，结合勾股定理即可得到答案；（2）根据菱形性质可得，垂直平分即可找到点P，连接，以P为圆心长为半径画圆交于E，再分别以E，C为圆心长为半径画圆交于一点即为F点，即可得到答案；根据的作图直接求解即可得到答案；【小问1详解】 解：过作，四边形是正方形，绕点E顺时针
38、旋转到，在与中，； ，； 连接、交于一点，四边形是正方形，垂直平分，即交点为M点，延长至H使，连接，点M的移动轨迹为线段，根据勾股定理可得，故答案为3；【小问2详解】解：四边形为菱形，垂直平分，以为圆心为半径找到点P，连接，以P为圆心长为半径画圆交于E，再分别以E，C为圆心长为半径画圆交于一点即为F点，如图所示；由得，正方形的边长为6，；【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质与判定，解题的关键是根据题意作出辅助线找到相应点27. 小华根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究：在中，点M在边上，且，点E是线段上任意一点，连接将沿翻折得
39、到（1）问题解决】如图1沿AE翻折后，点F恰好与点M重合，已知，且，则 ；（2）【问题探究】如图2，沿AE翻折后，点F落在边上判断四边形形状，并证明：已知，求四边形的面积；如图3，在的条件下，将四边形沿方向平移，得到四边形，连接、，当四边形的周长最小时， ，平移距离 【答案】（1）2 （2）四边形是菱形，证明见解析；4；，【解析】【分析】（1）沿AE翻折后，点F恰好与点M重合、，可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得、，进而得到，最后根据直角三角形角所对的边是斜边的一半即可解答；（2）由翻转的性质可得、，再根据平行四边形的性质可得、，进而说明四边形是平行四边形，然后再结合即可解答；由折叠的性质
40、和菱形的性质可得，如图：过A作，则；再根据勾股定理可得，然后结合已知条件可得，进而求得，最后用平行四边形的面积公式计算即可；如图：作点E关于的对称点I，连接，则,过I作且，连接，先说明当三点共线时，四边形的周长有最小值，再解直角三角形说明；延长交于J，则四边形是矩形可得，然后再证，利用相似三角形对应边成比例列式求得；过作，在上截取,则,，然后解直角三角形可得，进而说明，最后根据三角形外角的性质即可解答【小问1详解】解：沿AE翻折后，点F恰好与点M重合，,，故答案为2【小问2详解】解：四边形是菱形，证明如下：沿AE翻折后，点F落在边上,，四边形是平行四边形四边形是菱形沿AE翻折后，点F落在边上四边形是菱形如图：过A作，即，则，即四边形的面积为如图：作点E关于的对称点I，连接，则,过I作且，连接四边形是平行四边形当三点共线时，最小四边形的周长为当三点共线时，四边形的周长有最小值,，则 ,延长交于J，则四边形是矩形 ，即，解得：过作，在上截取,则,，解得【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键
