1、广东省广州市2023届高三二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若为实数，且，则（ ）A. 2B. 1C. D. 2. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）A. B. C. D. 3. 已知两个非零向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 6.
2、已知椭圆C：（），过点且方向向量为光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（ ）A. （）B. （）C. （）D. （）8. 已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起已知第1，
3、2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B. 该零件是次品的概率为0.03C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D. 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为10. 已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（ ）A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A. 若轴
4、，则的周长为B. 若直线交双曲线的左支于点，则C. 面积的最小值为D. 的取值范围为12. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）A. 若取得最小值，则B. 若，则平面C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为D. 直线到平面的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为_.14. 已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为_.15. 在数列中，若，则正整数_16. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间“折线距离”
5、.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为_，的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设是数列的前n项和，已知，.（1）求，；（2）令，求.18. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，.（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；（2）已知该产品年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成
6、本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.19. 记的内角、的对边分别为、，已知.（1）求；（2）若点边上，且，求.20. 如图，在直三棱柱中，点D是的中点，点E在上，平面.（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，
7、过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.22. 已知函数，.（1）当时，求实数的取值范围；（2）已知，证明：.广东省广州市2023届高三二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若为实数，且，则（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得出，计算即可得解【详解】由题意得，故选：C2. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义求出集合，即可得解.【详解】因为，则，故集合的元素个数为.故选：B.3. 已知两个非零向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
8、D【解析】【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故选:D.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案【详解】由，则，又，则，即，所以故选：D5. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
9、解析】【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以 ,进而可得取的中点为，过的中点作，连接,所以 ,故,在直角三角形中， 故，由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，故选：A6. 已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性
10、质列式求解即可.【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.因为方向向量的直线斜率为，则，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，则，故，离心率.故选：A7. 已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（ ）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】D【解析】【分析】根据恒成立，可得，再结合，求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】因为恒成立，所以，即，所以或，所以或，当时，则，与题意矛盾，当时，符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为（）.故选：D8. 已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的
11、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，因为函数为偶函数，则，联立可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，整理可得，解得.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有3台车床加工同一型
12、号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B. 该零件是次品的概率为0.03C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D. 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为【答案】BC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D【详解】记事件：车床加工的零件为
13、次品，记事件：第台车床加工的零件，则，对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为，故D错误故选：BC10. 已知函数定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】由是偶函数及图像可得出结论.【详解】显然是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为，且，,则，；，；，.故选：ACD.11. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点
14、、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A. 若轴，则的周长为B. 若直线交双曲线的左支于点，则C. 面积的最小值为D. 的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.【详解】双曲线的标准方程为，则，易知点、，双曲线的渐近线方程为.对于A选项，当轴，直线的方程为，联立，可得，此时，则，此时，的周长为，A错；对于B选
15、项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，所以，即，B对；对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，可得，联立可得，即点，联立可得，即点，所以，所以，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，当时，当时，因为函数在上单调递减，此时，当时，因为函数在上单调递减，此时，综上所述，的取值范围是，D对.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲
16、线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围12. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）A. 若取得最小值，则B. 若，则平面C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为D. 直线到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】将正四面体放入正方体中，
17、建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，则，因为点，分别为和重心，所以点的坐标为，点的坐标为所以 设，则，所以，所以，对于：因为，所以，当时，即，取得最小值，故A错误；对于B：若，则，所以，因为，设平面的一个法向量为，则，取，则，因为，所以平面，即平面，故B正确；对于C：若平面，则，即，即，设平面的一个法向量为，因为，则，取，则，因为，所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，又因为点为等边三角形的重心，所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，设三棱锥外接球的半径为，则，即
18、，解得，所以三棱锥PABC外接球的表面积为，故C选项正确；对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，所以，设平面的一个法向量为，因为，所以，取，则，因为，且直线平面，所以直线平面，所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，则点到平面的距离，即直线到平面的距离为，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为_.【答案】8【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为1
19、6，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.故答案为：814. 已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为_.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出与的关系,可得的值.【详解】二项式的展开式的通项为，因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，即，可得n的一个值为3.故答案为：3（答案不唯一）15. 在数列中，若，则正整数_【答案】10【解析】【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可【详解】由，令，则，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，又为正整数，所以，即，解得或（
20、舍去）故答案为：1016. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为_，的最小值为_【答案】 . #0.5 . 【解析】【分析】作出平面区域并计算平面区域的面积；设，显然，求的最小值，即的最小值，的最大值，令，对函数求导，得到单调性，可求出最值，即可求出的最小值.【详解】设，当时，则，即，当时，则，即，当时，则，即当时，则，即，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：则.如下图，设，显然，求的最小值，即的最小值，的最大值，又，下面求的最小值，令，即，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递
21、增，所以时，有最小值，且，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设是数列的前n项和，已知，.（1）求，；（2）令，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.【小问1详解】由得即，即，又，所以，【小问2详解】当时，当时，两式相加可得，得，由于，所以 18. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到
22、如下散点图，并计算得：，.（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.【答案】（1） （2）当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值【解析】【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；（2）由可得，可计算出
23、年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.【小问1详解】解：令，则关于的线性回归方程为，由题意可得，则，所以，关于的回归方程为.【小问2详解】解：由可得，年利润，当时，年利润取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.19. 记的内角、的对边分别为、，已知.（1）求；（2）若点在边上，且，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.【小问1详解】解：因为，由余
24、弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，因为，所以，.【小问2详解】解：因为，则为锐角，所以，因为，所以，所以，设，则，在和中，由正弦定理得，因为，上面两个等式相除可得，得，即，所以，.20. 如图，在直三棱柱中，点D是的中点，点E在上，平面.（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明；（2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公
25、式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.【小问1详解】取中点，连接、，如图所示：，点是中点，又是的中点，又在直三棱柱中，有， 平面，平面，平面，且面，平面平面，平面，且平面，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.【小问2详解】由（1）知平面，则，设，则，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，此时，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有，设平面的一个法向量为，则有，取，解得，设直线与平面所成的角为，故直线与平
26、面所成角的正弦值为.21. 已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.【答案】（1） （2） 或【解析】【小问1详解】设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得 ，所以C的方程为【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，联立，所以，设直线的倾斜角为，则 所以，所以 ，由题意可知四边形为梯形，所以 ，设，则 ，所以，当单调递增，当单调递减，所以当时，即时，面积最小，此时，故直
27、线的方程为： ，即 或【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用必要时也可以利用导数求解最值.另外在解析几何中还要注意向量的应用.22. 已知函数，.（1）当时，求实数的取值范围；（2）已知，证明：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明出，在时，可得出，在时，分析可知，综合可得出实数的取值范围；（2）由（1）变形可得，令，可得出，可得出，证明出，可得出，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【小问1详解】解：令，则，当时，则函数在上单调递增，当时，则函数在上单调递减，所以，即，所以，当时，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，.【小问2详解】证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，所以，即，所以，令，则，且不恒为零，所以，函数上单调递增，故，则，所以，所以，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
