1、2021 年汕头市普通高考第一次模拟考试数学试题年汕头市普通高考第一次模拟考试数学试题 本试卷共 6页，22小题，满分 150分，考试用时 120分钟 考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等信息填涂在答题卡相应位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 第第 I 卷卷 选择题选择题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知集合 04AxZx ，120,Bx xxxN，则AB （ ） A. 1 B. 1,2 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3 【答案】C 2. 在复平面内，复数 3 1 i i 的共轭复数对应点的坐标所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 3. 若 1 3 5 a ，则 1 5 log 15a （ ） A. 1 B. 1 C. 1 5 D. 3 【答案】B 4. 已知sin 3cos 36 ，则sin2的值是（ ） A. 2 3
3、 B. 4 3 7 C. 2 3 D. 4 3 7 【答案】D 5. 在正项等比数列 n a中， 24 16a a ， 45 24aa，则数列 n a的通项公式为（ ） A. 1 2n n a - = B. 2n n a C. 3n n a D. 1 3 n n a 【答案】A 6. 已知1x ， 0y ，且318yxx，则3xy的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 15 2 D. 13 2 【答案】B 7. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1,1,2,3,5，为边的 正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的
4、弧线就是斐波 那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等右图为该螺旋线的前一部 分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（ ） A. 8 15 3 B. 4 15 3 C. 125 15 192 D. 125 15 64 【答案】A 8. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照 3（语文、数学、英语）2（物理、历史）选 14（化学、生物、地理、政治）选 2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的 概率为（ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 5 12 D. 1 2 【答案】C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共
5、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 已知双曲线 22 :1 63 xy C的左、右两个焦点分别为 12 FF、，直线(0)ykx k与 C交于AB、两点， AEx轴，垂足为 E，直线BE与 C的另一个交点为 P，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形 12 AFBF为平行四边形 B. 12 90FPF C. 直线BE的斜率为 2 k D. 90PAB 【答案】AC 10. 已
6、知定义在 R上的奇函数，满足(2) ( )0fxf x ，当(0,1x时， 2 ( )logf xx ，若函数 ( )( )tan()F xf xx ，在区间 1, m 上有 10个零点，则 m 的取值可以是（ ） A. 3.8 B. 3.9 C. 4 D. 4.1 【答案】AB 11. 知函数 sin 0 4 f xx ，则下述结论中正确的是（ ） A. 若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在0,2有且仅有2个极小值点 B. 若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在 2 0, 15 上单调递增 C. 若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则的范是 15 19 , 88
7、D. 若 f x的图象关于 4 x 对称，且在 5 , 18 36 单调，则的最大值为9 【答案】ACD 12. 函数 ln ( ) x f x x ，则下列说法正确的是（ ） A. (2)(3)ff B. ln e C. 若 ( )f xm 有两个不相等的实根 12 xx、，则 2 12 x xe D. 若25 , xy xy、均为正数，则25xy 【答案】BD 第第卷卷 非选择题非选择题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知向量2,2a ，8, 6b ，则tan, a b_ 【答案】7 14. 国家发展改革委、住房城
8、乡建设部于 2017年发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，规定 46 个城市在 2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上某市在实施垃圾分类之前，从本市人 口数量在两万人左右的 240 个社区中随机抽取 50 个社区，对这 50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进 行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过 28 吨/天的确定为“超标” 社区： 垃圾 量x 12.5,15.5 15.5,18.5 18.5,21.5 21.5,24.5 24.5,27.5 27.5,30.5 30.5,33.5 频数 5 6 9 12 8 6 4 通过频数分布表
9、估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值x _（精确到0.1） ；假设该市人口数 量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样本平均值x， 2 近 似为样本方差 2 s，经计算得5.2s 请利用正态分布知识估计这 240个社区中“超标”社区的个数_ 参考数据：()0.6827PX；(22 )0.9545PX； (33 )0.9974PX. 【答案】 (1). 22.8 (2). 38 15. 写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方程_ 【答案】 2 2 1 2 x y （答案不唯一，符合要求就可以） 16. 在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的等边三角形，
10、SAB是以AB为斜边的直角三角形，二面 角SAB C的大小为60，则该三棱锥外接球的表面积为_ 【答案】 52 9 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，给出条件： 3 2 n n Sm mR； 1 1 2 nn Sam mR ，且 1 1a 若_，请在这两个条 件中选一个填入上面的横线上并解答. （1）求m的值及数列 n a的通项公式； （2）设 1 11 n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 【答案】条件
11、选择见解析： （1） 1 2 m ， 1 3 n n a； （2） 3 2 31 n n n T . 18. 在ABC中，角 ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知： 5,2,45bcB （1）求边BC的长和三角形ABC的面积； （2）在边BC上取一点 D，使得 4 cos 5 ADB?，求tanDAC值 【答案】 （1）3BC ； 3 2 ABC S； （2） 2 11 . 19. 如图，在圆柱 1 OO中，四边形ABCD是其轴截面，EF为 1 O的直径，且EFCD， 2AB ， 0BCa a （1）求证：BEBF； （2）若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为 6 3 ，求二面角A
12、BEF平面角的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 3 . 20. 为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大 力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产 线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各 100 件玩具， 在抽取的 200件玩具中， 根据检测结果将它们分为“A”、 “B”、 “C”三个等级，,A B等级都是合格品， C等级是次品，统计结果如表所示： 等级 A B C 频数 100 75 25 （表二） 合格品 次品 合计 甲 80
13、乙 5 合计 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见， 所有的次品必须由厂家自行销毁 （1）请根据所提供的数据，完成上面的22列联表（表二） ，并判断是否有99.5%的把握认为产品的合格 率与技术升级有关？ （2）每件玩具生产成本为 20 元，,A B等级产品的出厂单价分别为 m 元、40元若甲生产线抽检的玩具 中有 35件为 A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利 12 元，则 A 等级产品的出产单价为多少元？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd 2 0 P
14、Kk 0.05 0.025 0.010 0.005 0 001 0 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10 828 【答案】 （1）列联表见解析；有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关； （2）60 元. 21. 已知函数( ) lnf xxxa有两个相异零点 1212 ,xxxx （1）求 a 的取值范围 （2）求证： 12 42 3 a xx 【答案】 （1）(1,)； （2）证明见解析. 22. 在平面直角坐标系xOy中，P为坐标原点， 3,0M，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之 和等于4 （1）求动点P的轨迹方程； （2过3,0M作互相垂直的两条直线 1 l、 2 l， 1 l与动点P的轨迹交于A、B， 2 l与动点P的轨迹交于点 C、D，AB、CD的中点分别为E、F； 证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标 求四边形ACBD面积的最小值 【答案】 （1） 2 2 10 4 x yy ； （2）证明见解析，定点坐标为 4 3 ,0 5 ； 32 25 .
