1、2023年湖南省长沙市中考第二次模拟数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列根式是最简二次根式的是（）ABCD2如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（）A B C D3第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城，将成为杭州年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地公顷，建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（）ABCD4如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件，使，则添加的条件不能为（）ABCD5为庆祝党的二十大召开，班级开展了以“中国共产党史”为主题的知识竞赛，该班得分情况如表全班41名同学的成
2、绩的众数和中位数分别是（）成绩（分）6570768092100人数25131173A76，78B76，76C80，78D76，806如图的直径弦，连接，若，那么的度数为（）ABCD7函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则函数的大致图象为（）A B C D8如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）AB若，则CD9九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间
3、多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（）ABCD10如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，连接、，它们相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（）ABCD二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）11因式分解：_12若代数式有意义，则x的取值范围是_13已知圆锥的母线长，底面半径，则它的侧面展开扇形的圆心角为_14若方程有实数根，则a的取值范围是_15如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与的三边相切，已知，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为_（取3）16老虎狐
4、狸和兔子赛跑赛完后，老虎说：“我第一”狐狸说：“我第二”兔子说：“我不是第一”它们中仅有一个说了谎，那么第二名是_三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，满分72分）17计算：18先化简，再求值：，其中满足a满足19如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，在同一平面内）(1)求，两点的高度差；(2)求居民楼的高度（结果精确到，参考数据：）20某校为落实“双减”工作，增强
5、课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A音乐；B体育；C美术；D阅读；E人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查一共随机抽取了_名学生；补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；扇形统计图中圆心角_度；(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；(3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰
6、好抽中甲、乙两人的概率21如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为(1)求证：；(2)若，求的长22丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）354045每天销售数量y（件）908070(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？23如图，在中
7、，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，求的长24我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”根据该约定，完成下列各题（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则_，_，_（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于的“T函数”（，且，是常数）经过坐标原点，且与直线（，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经
8、过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由25已知：如图，在四边形和中，点在上，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点设运动时间为解答下列问题：（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；（3）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式；（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由全解全析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）12345678910BCBCDAADBC1B【分析】利用最简二次根式定义
9、：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可【详解】解：A、原式，不符合题意；B、原式为最简二次根式，符合题意；C、原式，不符合题意；D、原式，不符合题意故选：B【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键2C【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案【详解】由几何体可知，该几何体的左视图为： 故选：C【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示3B【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把
10、原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数【详解】解：将数用科学记数法表示为故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值4C【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行判断即可【详解】A、在中，；B、在中，；C、不能证明；D、在中，；故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键5D【分析】根据众数和中位数的定义进行解答即可【详解】解：将全班41名同学的成绩中
11、出现次数最多的是76分，因此众数为76，将全班41名同学的成绩从小到大进行排序，排在第21位的是80分，因此中位数为80，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后,最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数值6A【分析】先根据垂直的条件可计算出，再根据圆周角定理得到，然后利用得到即可【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等边对等角，直角
12、三角形两锐角互余掌握圆周角定理是解题的关键7A【分析】观察图象得：与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，可得，即可求解【详解】解：观察图象得：与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，函数的图象经过第二、三、四象限故选：A【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键8D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知项错误【详解】解：由作法得：，选项的结论正确；，是等边三角形，选项的结论正确；作半径，如图，选项的结论正确；圆周角所对的弧为，圆心角所
13、对的弧为，选项错误；故选：【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键9B【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解【详解】解：规定时间为x天，慢马所需的时间为，快马所需时间为，又快马的速度是慢马的倍，可列出方程，故选：A【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键10C【分析】由平行四边形的性质得出，证出，得出对应边成比例，即可得出结论【详解】解：
14、四边形是平行四边形，选项A、B、D正确，C错误；故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键11【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式可进行求解【详解】解：原式；故答案为【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键12且【分析】根据题意可得且，求出x的取值范围即可【详解】解:有意义，且，且，故答案为：且【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键13#120度【分析】首先可求得圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，再利用弧长
15、公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的底面周长为，设扇形的圆心角为，解得，故圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为，故答案为：【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，理解圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题关键14【分析】若方程为一元二次方程，则有，求解，求解；若，方程为一元一次方程，判断有实数根，进而求解取值范围即可【详解】解：若方程为一元二次方程，则有，解得且若，方程为一元一次方程，有实数根故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，一元一次方程的根解题的关键在于全面考虑的情况15#0.5【分析】利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再根据切线长
16、定理求出圆的半径，分别求出三角形和圆的面积即可【详解】解：，如图设三角形内切圆为O，与三边分别相切于点E、F、G，连接，四边形是矩形，圆的面积为，从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内切圆，简单的概率公式，解题关键是利用切线长定理求出三角形内切圆半径16兔子【详解】如果老虎说谎了，那么狐狸和兔子讲的是真话，推知狐狸第二，兔子第三，老虎第一，与老虎说谎矛盾，所以老虎说的是真话如果狐狸说谎了，那么老虎和兔子讲的是真话，推知老虎第一，狐狸第三，兔子第二，与题意相符如果兔子说谎了，那么兔子第一，与老虎说的是真话矛盾综上所述，说谎的是
17、狐狸，得第二名的是兔子17【分析】分别根据绝对值的性质、零指数及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可【详解】解：原式【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键18，【分析】根据分式的混合运算法则即可化简再解方程，得出a的值，最后由分式有意义的条件确定a的值，代入化简后的式子求值即可【详解】解：解方程：，解得：，原式【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件掌握分式的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题关键19(1)9m(2)24m【分析】（1）过
18、点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案（2）过点作于，设，在中，解得，在中，求出的值，即可得出答案【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，答：，两点的高度差为 3分（2）过点作于，由题意可得，设，在中，解得，在中，解得，答：居民楼的高度约为 6分【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键20(1)200；见解析；54(2)1120(3)【分析】（1）由组的人数及其所占百分比可得样本容量；由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；用乘以 组人数所占比例即可；（2）用乘以组人数所占比例即可；（3）根
19、据题意列出树状图即可求解【详解】（1）解：（1）；1分 组人数， 2分补全的条形统计图如图所示：； 3分（2）解：； 5分（3）解：画树状图如下：从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，因此，（恰好抽中甲、乙两人） 8分【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21(1)证明见解析(2)cm【分析】（1）利用ASA证明即可；（2）过点E作EGBC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在RtPED中，由勾股定理求得答案【详解】（1）四边形ABC
20、D是矩形，AB=CD，A=B=ADC=C=90，由折叠知，AB=PD，A=P，B=PDF=90，PD=CD，P=C，PDF =ADC，PDF-EDF=ADC-EDF,PDE=CDF，在PDE和CDF中，,（ASA）； 4分（2）如图，过点E作EGBC交于点G，四边形ABCD是矩形,AB=CD=EG=4cm，又EF=5cm，cm,设AE=xcm，EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，DE=GC=GF+FC=3+x，在RtPED中，,即，解得，BC=BG+GC= (cm） 8分【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用
21、勾股定理是解题的关键22(1)y2x+160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为ykx+b，用待定系数法可得y2x+160；（2）根据题意得（x30）（2x+160）1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w（x30）（2x+160）2x2+220x48002（x55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（
22、元/件）之间的关系式为ykx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，y2x+160； 3分（2）根据题意得：（x30）（2x+160）1200，解得x150，x260，规定销售单价不低于成本且不高于54元，x50，答：销售单价应定为50元； 6分（3）设每天获利w元，w（x30）（2x+160）2x2+220x48002（x55）2+1250，20，对称轴是直线x55，而x54，x54时，w取最大值，最大值是2（5455）2+12501248（元）， 9分答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键
23、是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程23（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为ABC的中位线，即可求证；（2）根据题中条件证明BNDDNA，再根据AB=AC，进行等量代换即可证明；（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形的性质即可求解【详解】（1）如图，连接OD，AB为的直径，ADB=90，AB=AC，BD=CD，点D为BC的中点，又AO=BO，OD为ABC的中位线，ODAC，ODMN，故是的切线 3分（2）ADB=90，1+3=90，3+5=90，2+3=90，
24、2=5，AB=AC，ADBC，4=5，1=2，1=4，N=N，BNDDNA，AB=AC， 6分（3），BD=CD=3，AC=，AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，BNDDNA，即，解得： 9分【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用24（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；（2）分和
25、两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，将点代入得：，故答案为：； 3分（2）由题意，分以下两种情况：当时，假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，则，解得，与相矛盾，假设不成立，所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”； 5分当时，函数是一条平行于轴的直线，是“函数”
26、，它有无数对“点”； 6分综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）由题意，将代入得：，设点与点是“函数”图象上的一对“点”，则，解得， 8分联立得：，“函数”与直线交于点，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，即，解得，则直线的解析式为，当时，因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为 10分【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键25（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=,【分析】（1
27、）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、QHF的面积、CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；（4）延长AC交EF与T，证得ATEF，要使点P在AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：由题意，CE=2，CMBF，即：，解得：CM=，要使点在线段的垂直平分线上， 只需QM=CM=，t=； 2分（2）如图，AC=10，EF
28、=10，sinPAH=，cosPAH=，sinEFB=，在RtAPH中，AP=2t，PH=APsinPAH=，在RtECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，在RtQNF中，QF=10-t-=，QN=QFsinEFB=()=，四边形为矩形，PH=QN，=，解得：t=3； 4分（3）如图，过Q作QNAF于N，由（2）中知QN=，AH=APcosPAH=，BH=GC=8-，GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，=，S与t的函数关系式为：； 7分（4）存在，t=证明：如图，延长AC交EF于T，AB=BF,BC=BF, ，ABCEBF，BAC=BEF，EFB+BEF=90，BAC+EFB=90，ATE=90即PTEF，要使点在的平分线上，只需PH=PT，在RtECM中，CE=2,sinBEF=，CT=CEsinBEF =，PT=10+-2t=，又PH=，=，解得：t= 10分【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型
