1、2023年山东省聊城东昌府区中考一模数学试题一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1. 2023的相反数的倒数是（ ）A. 2023B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，若，过点C作，则的度数为（ ）A. B. C. D. 5. 某市举行“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，时代中学要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是（ ）甲乙丙丁平均分8590
2、9085方差50425042A 甲B. 乙C. 丙D. 丁6. 不等式组解集是（ ）A. B. 或C. D. 7. 在平面直角坐标系中点关于x轴的对称点为，关于原点的对称点为，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在中，三个顶点A，B，C均在上，过圆心O，连接当时，的度数是（ ）A. 45B. 55C. 65D. 7510. 一元二次方程配方后可化为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，已知的，以点为圆心，为半径，作交于点若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）A. B. 1C. D. 12. 如
3、图，在等腰直角中，点O为斜边中点，连接，点E，F分别从A，C两点同时出发，以的速度沿，运动，到点C，B时停止运动设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分只要求填写最后结果）13. 因式分解：_14. 一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围为_15. 如图，是将绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点落在边上时得到的，边与交于点D，若，则_16. 汽车行驶到某一十字路口有三种等可能性的选择：直行、左转、右转两辆由南向北行驶的汽车在同时经过该十字路口后，反向行驶的概率是_17. 如图，已知，以为直角边作
4、，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，按此规律进行下去，则的直角边的长为_三、解答题（本题共8个小题，共69分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18. 先化简，再求值：，其中19. 为了更好地打造生态文明城，桃源社区计划用公益基金购进甲、乙两种体育器材供市民锻炼身体调查发现：若购买甲种体育器材3个，乙种体育器材2个，共需要资金1.2万元；若购买甲种体育器材4个，乙种体育器材3个，共需要资金1.7万元（1）甲、乙两种体育器材的单价分别是多少万元？（2）若该社区计划购进这两种体育器材共20个，而最多提供公益基金4.8万元，甲种体育器材至少购进多少个？20. 为开展学习宣
5、传贯彻党的二十大精神活动，某中学就有关“党的二十大精神”的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表成绩等级分数段频数（人数）优秀a良好b较好12一般10较差3请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：（1）统计表中的_，_；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是_度；（2）补全上面的成绩条形统计图；（3）若该校共有学生2400人，估计该校学生对“党的二十大精神”的了解程度达到良好以上（含良好）的人数21. 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处
6、测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度22. 如图，在四边形中，过A点作交的延长线于点F，且，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长23. 如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作轴，过点B作轴，交于点，且交y轴于点D，连接（1）当时，求此时点A，B的坐标；（2）当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？24. 如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作于点G，延长交于点E，连接，交于点F（1）求证：是圆O的切线；（2）若，求圆O的半径25. 如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称（1）求该抛物线
7、的表达式，并求出点D的坐标；（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标；（3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标2023年山东省聊城东昌府区中考一模数学试题一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1. 2023的相反数的倒数是（ ）A. 2023B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据相反数和倒数的定义进行求解即可【详解】解：2023的相反数是，的倒数是，2023的相反数的倒数是，故选D【点睛】本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是熟知只有符
8、号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；乘积为1的两个数互为倒数2. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图的定义求解即可【详解】解：从左边看到的几何体的图形为：，故选：B【点睛】本题考查了三视图的有关知识，掌握三视图的概念是解题的关键3. 下列计算正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则及二次根式的性质化简，依次计算并判断【详解】解：A、，故错误；B、，故错误；C、，故正确；D、，故错误；故选：C【点睛】此题考查了整式的计算和二次根式的性质，正确掌握
9、同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则及二次根式的性质化简是解题的关键4. 如图，在中，若，过点C作，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质求出的度数即可【详解】解：如图所示，设交于F，故选C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键5. 某市举行“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，时代中学要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是（ ）甲乙丙丁平均分85
10、909085方差50425042A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】根据应选择平均分大且方差小的同学参赛进行求解即可【详解】解：从平均分看，乙、丙的平均分相同且都高于甲、丁的平均数，故应从乙、丙中选择一人参赛，从方差来看，乙、丁的方差相同且都低于甲、丙的方差，故应从乙、丁中选择一人参赛，综上所述，应选择乙同学参赛，故选B【点睛】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，正确理解题意是解题的关键6. 不等式组的解集是（ ）A. B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出结论【详解】解：由，得：；由，得：；故选D【点睛】本题考
11、查解一元一次不等式组正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键7. 在平面直角坐标系中点关于x轴的对称点为，关于原点的对称点为，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出的坐标，再根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出的坐标即可【详解】解：在平面直角坐标系中点关于x轴的对称点为，关于原点的对称点为，点的坐标是，故选A【点睛】本题主要考查了关于x轴对称和关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键在于熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数8. 下列计算正确的是（ ）A.
12、 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可【详解】解：A、和不同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；B、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；C、，计算错误，不符合题意；D、，计算正确，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键9. 如图，在中，三个顶点A，B，C均在上，过圆心O，连接当时，的度数是（ ）A. 45B. 55C. 65D. 75【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理得到，求出，利用等边对等角求出的度数得到，即可求出的度数【详解】解：是的直
13、径，故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握圆周角定理是解题的关键10. 一元二次方程配方后可化为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都除以2再都加上，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可【详解】解：，即，故选D【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键11. 如图，已知的，以点为圆心，为半径，作交于点若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长
14、相等列式计算即可【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意可知：，底面圆的周长等于弧长，解得，该圆锥的底面圆的半径是故选A【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等12. 如图，在等腰直角中，点O为斜边的中点，连接，点E，F分别从A，C两点同时出发，以的速度沿，运动，到点C，B时停止运动设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式
15、和二次函数的性质对各选项进行判断即可【详解】解：根据题意可得，为等腰直角三角形，在和中与的函数图象为开口向上的抛物线一部分，顶点为，自变量为故选：B【点睛】本题考查动点问题与函数图象及二次函数图像性质，抓住问题的变化趋势、变化速度、横轴纵轴的实际意义得到正确的图象是解决此题的关键二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分只要求填写最后结果）13. 因式分解：_【答案】【解析】分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式分解因式即可【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了综合利用公式法和提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键14. 一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范
16、围为_【答案】且【解析】【分析】根据根的判别式得到，然后解不等式即可【详解】依题意得：且解得：故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程没有实数根，当时，方程有两个相等的实数根注意二次项系数不能为015. 如图，是将绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点落在边上时得到的，边与交于点D，若，则_【答案】#82度【解析】【分析】由三角形内角和得，利用旋转的性质得，则再由三角形内角和定理得到，即可得到利用三角形内角和定理和对顶角相等即可得到答案【详解】解：，是将绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点落在边上时得到的，故答案为：【点睛】此题考查了旋
17、转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质等知识，充分利用旋转的性质是解题的关键16. 汽车行驶到某一十字路口有三种等可能性的选择：直行、左转、右转两辆由南向北行驶的汽车在同时经过该十字路口后，反向行驶的概率是_【答案】【解析】【分析】先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到两车反向行驶的结果数，最后依据概率计算公式求解即可【详解】解：设用A、B、C分别表示直行，左转、右转，列表如下：ABCA（A、A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B、B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C、C）由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中两车反向行驶的结果数有2种，两车反向行驶的概率为，故答案
18、为：【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键17. 如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，按此规律进行下去，则的直角边的长为_【答案】【解析】【分析】通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论【详解】解：由题意得：在中，；在中，；在中，；在中，；在中，当时，故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、找规律数字的变化类，读懂题意，找到直角边长度的变化规律是解题的关键三、解答题（本题共8个小题，共69分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18. 先
19、化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据特殊角三角函数值的混合计算法则求出x的值，最后代值计算即可【详解】解：；，原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键19. 为了更好地打造生态文明城，桃源社区计划用公益基金购进甲、乙两种体育器材供市民锻炼身体调查发现：若购买甲种体育器材3个，乙种体育器材2个，共需要资金1.2万元；若购买甲种体育器材4个，乙种体育器材3个，共需要资金1.7万元（1）甲、乙两种体育器材的单价分别是多少万元？（2）若该社区计划购进这两种体育器材共20个，而最多提供公益基金4.8万
20、元，甲种体育器材至少购进多少个？【答案】（1）甲种体育器材的单价是0.2万元，乙种体育器材的单价是0.3万元 （2）12【解析】【分析】（1）设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，列二元一次方程组解答；（2）设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进个，根据最多提供公益基金4.8万元列不等式解答【小问1详解】解：设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，则，解得，答：甲种体育器材单价是0.2万元，乙种体育器材的单价是0.3万元；【小问2详解】设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进个，则，甲种体育器材至少购进12个【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一
21、元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程组或不等式是解题的关键20. 为开展学习宣传贯彻党的二十大精神活动，某中学就有关“党的二十大精神”的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表成绩等级分数段频数（人数）优秀a良好b较好12一般10较差3请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：（1）统计表中的_，_；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是_度；（2）补全上面的成绩条形统计图；（3）若该校共有学生2400人，估计该校学生对“党的二十大精神”的了解程度达到良好以上（含良好）的人数【答案】（1）50，
22、25，90 （2）见解析 （3）1800人【解析】【分析】（1）根据“一般”的信息可求出本次调查的总人数，从而得出的值，再利用乘以“良好”的人数所占百分比即可得圆心角的度数；（2）根据的值补全条形统计图即可；（3）利用该校学生总人数乘以达到良好以上（含良好）的人数所占百分比即可得【小问1详解】解：本次调查的总人数为（人），则，成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是，故答案为：50，25，90【小问2详解】解：补全成绩条形统计图如下：【小问3详解】解：（人），答：估计该校学生对“党的二十大精神”的了解程度达到良好以上（含良好）的人数为1800人【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关
23、联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键21. 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度【答案】小山的高度为米【解析】【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高【详解】解：设为米，则米， ，而米，在中，则米，米，在中，解得答：小山的高度为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键22. 如图，在四边形中，过A点作交的延长线于点F，且，
24、连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明，得到，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论；（2）如图所示，过点A作于H，先解得到，根据菱形的性质得到，则，进一步求出，解求出，解求出，即可求出【小问1详解】证明：，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；【小问2详解】解：如图所示，过点A作于H，四边形是菱形，在中，在中，【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键23. 如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作轴，过点B作轴
25、，交于点，且交y轴于点D，连接（1）当时，求此时点A，B的坐标；（2）当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1） （2），的面积最大，最大面积是【解析】【分析】（1）根据，设，得到，根据面积列方程，求解即可；（2）设，则，根据求出函数解析式，利用二次函数的性质解答即可【小问1详解】解：轴轴，设，解得，或（舍去），；【小问2详解】设，则，当时，的面积最大，此时，最大面积是【点睛】此题是函数的综合题，反比例函数的性质，一元二次方程，二次函数的最值，正确掌握各函数的图象及性质是解题的关键24. 如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作于点G，延长交于点E，连接，交于点F（1）求
26、证：是圆O的切线；（2）若，求圆O的半径【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接，先根据等边对等角证明，即可证明，再由，得到，由此即可证明是圆O的切线；（2）如图所示，连接，先根据等边对等角得到，再由平行线的性质推出，则，设，则，再证明，得到； 又三线合一定理得到，进一步证明，得到，则，；证明，得到，解得，则圆O的半径为【小问1详解】证明：如图所示，连接，又为半径，是圆O的切线；【小问2详解】解：如图所示，连接，又，设，；是直径，又，又，；，即，解得，圆O的半径为【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅
27、助线是解题的关键25. 如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称（1）求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标；（3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标【答案】（1）， （2）或 （3）存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标和对称轴，由此即可求出点D的坐标；（2）先求出直线的解析式为，设，则，由轴，（点E在
28、点F左侧），得到，解方程即可得到答案；（3）设点P的坐标为，利用勾股定理求出，再分当，则，当时，则，当时，则，利用勾股定理建立方程求解即可【小问1详解】解：把点和点代入抛物线解析式中得：，抛物线解析式为；令，则，抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，；【小问2详解】解：设直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，轴，（点E在点F左侧），解得或，或；【小问3详解】解：设点P的坐标为，当，则，解得或，点P的坐标为或；当时，则，解得，点P的坐标为；当时，则，解得，点P的坐标为；综上所述，存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键
