1、2023年天津市中考数学冲刺专题练7四边形一选择题（共13小题）1（2023河西区模拟）如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），(1，3)，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A(2，3)B(3，3)C(23，3)D(33，3)2（2023河东区校级模拟）如图，菱形的边长为2，ABC45，则点A的坐标为（）A（2，2）B(2，2)C(2，2)D(2，2)3（2023武清区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（3，2），点B（1，2），点C（3，2），则点D的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（1，3）D（2，3）4（2023滨海新区模拟）如图，正
2、方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB绕点C逆时针旋转90，则旋转后点D的对应点D的坐标是（）A（2，10）B（2，0）C（2，10）D（2，0）5（2023河东区校级模拟）如图，四边形OABC是正方形，B点的坐标是（0，-2），则点C的坐标为（）A（22，-22）B（22，1）C（1，1）D（1，-22）6（2023西青区校级模拟）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E（2，3），则点F的坐标为（）A（1，5）B（2，3）C（5，1）D（3，2）7（2023西青区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为
3、（4，0），点C的坐标为（4，4），点D在y轴上，则点B的坐标为（）A（4，2）B（2，8）C（8，4）D（8，2）8（2023南开区模拟）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（）A（4，2）B（5，2）C（4，3）D（5，3）9（2022滨海新区一模）如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）A（4，2）B（5，2）C（4，4）D（5，4）10（2022红桥区三模）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在第一象限，若点A（0，2）
4、，点B（3，0），则点C的坐标为（）A（2，3）B（2，5）C（5，2）D（5，3）11（2022河西区二模）如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（25，0），则顶点B的坐标为（）A（6，3）B（3，6）C（0，6）D（2+25，3）12（2022河东区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为（）A（6，3）B（8，3）C（6，4）D（8，4）13（2022河北区二模）如图，四边形OABC是菱形，AC6，OB8，则顶点C的坐标是（）A（23，0）B（3，0）C（4，0）D（5
5、，0）二填空题（共10小题）14（2023河西区模拟）如图，在正方形ABCD中，点F在边CD的延长线上，点E是边BC上的一点，且BEDF，连接EF交边AD于点G过点A作ANEF，垂足为点M，交边CD于点N若BE5，CN8，则线段AN的长为 15（2023河东区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AD10，点E在BC边上（不与端点重合），BFAE于点F，连接DF，当ADF是等腰三角形时，EC的长等于 16（2023河东区校级模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH给出下列结论：AFDE；DG=255；HDBG；F
6、GAF=15；ABGDHF其中正确的结论有 （请填上所有正确结论的序号）17（2023西青区校级模拟）如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，F为边BC延长线上一点，且AECF，点G为边BC上一点，且BGE2BFE，BEG的周长为8，AE1，DG与EF交于点H，连接CH，则CH的长为 18（2023南开区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD2，AB=6，B是锐角，AEBC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF若EFD90，则AE的长为 19（2023西青区校级模拟）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H若GE5，则FH的长为 20（
7、2022滨海新区一模）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为 21（2022天津二模）如图，在正方形ABCD中，点E，P分别是边AD，BC上的点，PE交AC于点F，PEACED，DE=3，过点F作CE的垂线，分别交CE，CD于点H，G，则CG的值为 22（2022河西区一模）如图，边长为2的菱形ABCD的顶点D在等边EFA的边EA上，点B在FA的延长线上，若D为AE的中点，连接FC，则FC的长为 23（2022滨海新区二模）如图，正方形ABCD的边长为42，E是CD边上一点，DE3CE，连接BE与AC相交于点M，过点
8、M作MNBE，交AD于点N，连接BN，则点E到BN的距离为 三解答题（共6小题）24（2023河西区模拟）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在矩形的边OC上，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OPQ30，点O的对应点O落在第一象限设OQt（）如图，当t1时，求OQA的大小和点O的坐标；（）如图，若折叠后重合部分为四边形，OQ，OP分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围；（）当折痕PQ恰好过点A时，求折叠后重合部分的面积 ；当点P与点C重合时，求折叠后重
9、合部分的面积 （直接写出答案即可）25（2023滨海新区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，OA在x轴的负半轴上，OC在y轴的正半轴上（）若OA2，AB1如图1，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转（090）得到矩形（OA1B1C1），当点A的对应点A1落在BC边上时，求点A1的坐标；如图，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转（090）得到矩形OA2B2C2，当点B的对应点B2落在轴的正半轴上时，求点A2的坐标；（）若OAm，ABn，如图3，设边OA2与BC交于点E，若A1EEC=6-1，请直接写出nm的值26（2022滨海新区一模）如图，已知一个矩形纸片OABC，将该纸
10、片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(6，23)，点D是矩形边OA上的动点，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点B，点A的对应点A（1）如图，当点D与点A重合时，CB与x轴交于E点求点E和点B的坐标在直线AC上是否存在点P，使PB+PE的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由（2）在纸片折叠的过程中，连接AB，BB，当ABB的面积最大时，求点B的坐标（直接写出结果即可）27（2022河东区二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将AOM沿直线AM对折，使O点落在O处
11、（）如图，当OAM30时，求点O的坐标；（）如图，连接CO，当COAM时（i）求点M的坐标；（ii）连接OB，求AOM与AOB重叠部分的面积；（）当点M在线段OC（不包括端点）上运动时，请直接写出线段OC的取值范围28（2022滨海新区二模）在平面直角坐标系中，CDO为等边三角形，点D在第二象限，点C在x轴负半轴上，ABO为直角三角形，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OBOC，ABO30，OA2（）如图，求点D的坐标；（）将CDO沿x轴向右平移，得到CDO，点C，D，O的对应点分别为C，D，O，设OOt，CDO与ABO重叠部分的面积为S如图，当CDO与ABO重叠的部分为四边形时，DO与
12、AB相交于点E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当1039t1639时，求S的取值范围（直接写出结果即可）29（2022河西区二模）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，OAB90，B30，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）（）如图，当OP1时，求点P的坐标；（）如图，折叠该纸片，使折痕PH所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点O的对应点为O，设OHtPHO与OAB重叠部分的面积为S若折叠后PHO与OAB重叠部分的面积为四边形时，PO与AB相交于点C，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当23t53时，求
13、S的取值范围（直接写出结果即可）参考答案解析一选择题（共13小题）1（2023河西区模拟）如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），(1，3)，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A(2，3)B(3，3)C(23，3)D(33，3)【解答】解：O（0，0），A(1，3)，OA=12+(3)2=2，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，ABx轴，ABOA2，xB1+23，点B的坐标为（3，3），故选：B2（2023河东区校级模拟）如图，菱形的边长为2，ABC45，则点A的坐标为（）A（2，2）B(2，2)C(2，2)D(2，2)【解答】解：过点A作AEx轴，垂足为E，则A
14、EO90，ABC45，AEO90，AOEOAE45，OE2+AE2AO2，OEAE，菱形的边长为2，即AO2，AEO90，OE2+AE22AE2AO2，即2AE222，解得：OE=AE=2点A坐标为(2，2)，故选：D3（2023武清区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（3，2），点B（1，2），点C（3，2），则点D的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（1，3）D（2，3）【解答】解：平行四边形ABCD的顶点A（3，2），点B（1，2），点C（3，2），ADBC，ADBC4，A点的横坐标为3，D点的横坐标为431，ADBC，D点和A点的纵坐标相等为2，D点的坐标
15、为（1，2）故选：A4（2023滨海新区模拟）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB绕点C逆时针旋转90，则旋转后点D的对应点D的坐标是（）A（2，10）B（2，0）C（2，10）D（2，0）【解答】解：如图，CDB绕点C逆时针旋转90后得CDB，BDBD，BCBC，四边形OABC是正方形，D（5，3），BC5，BD2，BOBC+CO10，BD2，点D的坐标为（2，10）故选：A5（2023河东区校级模拟）如图，四边形OABC是正方形，B点的坐标是（0，-2），则点C的坐标为（）A（22，-22）B（22，1）C（1，1）D（1，
16、-22）【解答】解：连接AC交OB于D，如图：四边形OABC是正方形，ADO90，CDAD=12ACDBOD=12OB，B（0，-2），OB=2，CDOD=22，C（22，-22），故选：A6（2023西青区校级模拟）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E（2，3），则点F的坐标为（）A（1，5）B（2，3）C（5，1）D（3，2）【解答】解：过点E作x轴的垂线EH，垂足为H过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O，点E（2，3），OH2，EH3，四边形OEFG是正方形，OGEO，GOMOEH，OGMEOH，在OGM与EOH中，OGM=EOHOG=EOG
17、OM=OEH，OGMEOH（ASA），GMOH2，OMEH3，G（3，2）O（-12，52）点F与点O关于点O对称，点F的坐标为 （1，5）故选：A7（2023西青区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，4），点D在y轴上，则点B的坐标为（）A（4，2）B（2，8）C（8，4）D（8，2）【解答】解：连接AC，BD，AC、BD交于点E，四边形ABCD是菱形，OA4，AC4，EDOAEB4，AC2EA4，点B坐标为（8，2），故选：D8（2023南开区模拟）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的
18、坐标是（）A（4，2）B（5，2）C（4，3）D（5，3）【解答】解：如图，在OABC中，O（0，0），A（4，0），OABC4，BCAO，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，B（5，2）；故选：B9（2022滨海新区一模）如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）A（4，2）B（5，2）C（4，4）D（5，4）【解答】解：连接AC，BD，交于点E，四边形ABCD是菱形，ACBD，AEEC，BEDE，A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），E（4，2），B（4，4）故选：C10（2022红桥区三模）如图，将正方形ABCD放在平面直
19、角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在第一象限，若点A（0，2），点B（3，0），则点C的坐标为（）A（2，3）B（2，5）C（5，2）D（5，3）【解答】解：过C作CEx轴于E，AOBBEC90，四边形ABCD为正方形，ABC90，ABBC，ABO+CBE90，ABO+OAB90，OABCBE，在AOB和BEC中，AOB=BECOAB=CBEAB=BC，AOBBEC（AAS），OABE，OBCE，点A（0，2），点B（3，0），OABE2，OBCE3，OEOB+BE5，点C的坐标为（5，3）故选：D11（2022河西区二模）如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（
20、2，3），（25，0），则顶点B的坐标为（）A（6，3）B（3，6）C（0，6）D（2+25，3）【解答】解：在OABC中，O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（25，0），OCBA25，又BACO，点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，B（2+25，3），故选：D12（2022河东区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为（）A（6，3）B（8，3）C（6，4）D（8，4）【解答】解：过点C作CEx轴于点E，CEBBOA90，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，ABO+CBE90，ABO+BAO90，
21、BAOCBE，AOBBEC（AAS），BEAO，BOCE，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），BOCE4，AOBE2，OEOB+BE6，点C的坐标为（6，4），故选：C13（2022河北区二模）如图，四边形OABC是菱形，AC6，OB8，则顶点C的坐标是（）A（23，0）B（3，0）C（4，0）D（5，0）【解答】解：设AC与OB的交点为H，四边形OABC是菱形，AHHC3，OHBH4，ACBO，OC=OH2+HC2=9+16=5，点C（5，0），故选：D二填空题（共10小题）14（2023河西区模拟）如图，在正方形ABCD中，点F在边CD的延长线上，点E是边BC上的一点，且BED
22、F，连接EF交边AD于点G过点A作ANEF，垂足为点M，交边CD于点N若BE5，CN8，则线段AN的长为 434【解答】解：解法一：如图，连接AE，AF，EN，四边形ABCD为正方形，ABAD，BCCD，ABEBCDADF90，BEDF，ABEADF（SAS），BAEDAF，AEAF，EAF90，EAF为等腰直角三角形，ANEF，EMFM，EAMFAM45，AEMAFM（SAS），EMNFMN（SAS），ENFN，设DNx，BEDF5，CN8，CDCN+DNx+8，ENFNDN+DFx+5，CEBCBECDBEx+85x+3，在RtECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2EN2，即82+（x+
23、3）2（x+5）2，解得：x12，DN12，ADBCBE+CE5+x+320，AN=AD2+DN2=202+122=434，解法二：可以用相似去做，ADN与FCE相似，设正方形边长为x，DNEC=ADCF，即x-8x-5=xx+5，解得：x20在ADN中，利用勾股定理可求得AN434，故答案为：43415（2023河东区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AD10，点E在BC边上（不与端点重合），BFAE于点F，连接DF，当ADF是等腰三角形时，EC的长等于 5【解答】解：在正方形ABCD中，ABAD10，BFAE，ABAF，ADAF，当ADF是等腰三角形时，分两种情况：当DFAD10时，如图
24、，过点D作DGAE于点G，DFAD，AGFG，BFAE，DGAAFB90，ADG90DAGABF，ABAD，ABFADG（AAS），BFAG，AGFGBF，AF2BF，AF2+BF2AB2，5BF2100，BF25，AFBEFB90，ABE90，ABF90EBFBEF，ABFBEF，BFEF=AFBF=ABBE，25EF=2=10BE，BE5，CEBCBE5；当DFAF时，BFAE，四边形ABCD是正方形，点F在AC与BD的交点上，点E与点C重合，此时CE0，当ADF是等腰三角形时，EC的长等于5故答案为：516（2023河东区校级模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、
25、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH给出下列结论：AFDE；DG=255；HDBG；FGAF=15；ABGDHF其中正确的结论有 （请填上所有正确结论的序号）【解答】解：四边形ABCD为正方形，ADCBCD90，ADCD，E和F分别为BC和CD中点，DFEC2，ADFDCE（SAS），AFDDEC，FADEDC，EDC+DEC90，EDC+AFD90，DGF90，即DEAF，故正确；AD1，DF=12CD=12，AF=AD2+DF2=1+14=52，SADF=12ADDF=12AFDG，DG=ADDFAF=11252=55，故错误；FG=DF2-DG2=14-15=5
26、10，FGAF=51052=15，故正确；H为AF中点，HDHF=12AF=54，HDFHFD，ABDC，HDFHFDBAG，AG=AD2-DG2=1-15=255，AB1，ABDH=ABHF=455=AGDF，ABGDHF，故正确；ABGDHF，而ABAG，则ABG和AGB不相等，故AGBDHF，故HD与BG不平行，故错误；故答案为：17（2023西青区校级模拟）如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，F为边BC延长线上一点，且AECF，点G为边BC上一点，且BGE2BFE，BEG的周长为8，AE1，DG与EF交于点H，连接CH，则CH的长为 322【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADC
27、D，DAFDCE90，在ADE和CDF中，AD=CDDAF=DCEAE=CF，ADECDF（SAS），DEDF，BGE2BFE，BGEBFE+GEF，GEFGFE，GEGF，在DEG和DFG中，DE=DFGE=GFGD=GD，DEGDFG（SSS），EHHF，H为EF的中点，又BEG的周长为8，BE+GB+GE8，BE+GB+GF8，BE+BC+CF8，CFAE，BA+CB8，BCBA4，过点H作HMBF，交BF于M，HMAB，HM=12BE，AB4，CFAE1，BE413，HM2-12=32，BFBC+CF4+15，MF=12BF=52，CMMFCF=52-1=32，CH=HM2+CM2=(
28、32)2+(32)2=322故答案为：32218（2023南开区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD2，AB=6，B是锐角，AEBC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF若EFD90，则AE的长为 5【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BEx，四边形ABCD是平行四边形，DQBC，QBEF，AFFB，AFQBFE，QFAEFB（AAS），AQBEx，QFEF，EFD90，DFQE，DQDEx+2，AEBC，BCAD，AEAD，AEBEAD90，AE2DE2AD2AB2BE2，（x+2）246x2，整理得：x2+2x30，解得x1或3（舍弃），BE1，AE=AB2-BE
29、2=6-1=5，故答案为：519（2023西青区校级模拟）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H若GE5，则FH的长为52【解答】解：过点H作HMAB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，如图FH是AE的垂直平分线，ANF90，ANNE，AGGE，BAE+AFN90，四边形ABCD是正方形，ABCADCBAD90，ABADBC，BAE+AEB90，AFNAEB，HMAB，AMHHMF90，四边形ADHM是矩形，ADHMAB，在ABE和HMF中，ABE=HMFAEB=HFMAB=HM，ABEHMF（AAS），FHAE，G在AE的垂
30、直平分线HF上，GAGE5，BD是正方形ABCD的对角线，ABGCBG45，在ABG和CBG中，AB=CBABG=CBGBG=BG，ABGCBG（SAS），AGCG，GABGCB，GEGC，GECGCE，GECGAB，GEC+GEB180，GAB+GEB180，AGE360ABE（BAG+GEB）3609018090，GAGE5，在RtAGE中，AE=AG2+GE2=52，FHAE52，故答案为：5220（2022滨海新区一模）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为 985【解答】解：如图，延长DG、CB，二线交于点
31、H，四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，DAEHBE90，AEBE，AEDBEHDAEHBE，BHAD3，BF2CF，BC3，BF2，CF1，FHFB+BH3+25，CHFH+CF1+56，四边形ABCD是正方形，DCH90，ADBC，DAGHFG，DH=CD2+CH2=32+62=35，DGGH=ADFH=35，DGDH=38，DG=38DH=3835=985，故答案为：98521（2022天津二模）如图，在正方形ABCD中，点E，P分别是边AD，BC上的点，PE交AC于点F，PEACED，DE=3，过点F作CE的垂线，分别交CE，CD于点H，G，则CG的值为 23【解答】解：四边形AB
32、CD是正方形，ADBC，BDCD90，CED90DCE，PEACED，PEC1802CED1802（90DCE）2DCE，ADBC，EPCPEACED90DCE，过点E作EMCP于M，如图1所示：则四边形CDEM为矩形，DECM，ADBC，ECPCED，EPCPEA，PEACED，ECPEPC，CEP是等腰三角形，EMCP，CMPM，PC2CM2DE23，FGCE，DCE+CGF90，DCE+CED90，CGFCED，CPFCED，CGFCPF，四边形ABCD是正方形，GCFPCF45，CFCF，CGFCPF（AAS），CGCP23故答案为：2322（2022河西区一模）如图，边长为2的菱形A
33、BCD的顶点D在等边EFA的边EA上，点B在FA的延长线上，若D为AE的中点，连接FC，则FC的长为 27【解答】解：如图，过C作CMAB于M，则CMBCMF90，菱形ABCD是边长为2，ADABBC2，ADBC，D为AE的中点，AE2AD4，EFA是等边三角形，EAF60，AFAE4，ADBC，BEAF60，CMB90，BCM90B30，BM=12BC1，CM=BC2-BM2=22-12=3，FBAF+AB4+26，FMFBBM615，在RtCMF中，由勾股定理得：FC=FM2+CM2=52+(3)2=27，故答案为：2723（2022滨海新区二模）如图，正方形ABCD的边长为42，E是CD
34、边上一点，DE3CE，连接BE与AC相交于点M，过点M作MNBE，交AD于点N，连接BN，则点E到BN的距离为 17【解答】解：过M作MHBC于H，交AD于K，连接NE，如图：四边形ABCD是正方形，ABADBCCD42，BCD90，ACB45DAC，DE3CE，CE=2，在RtBCE中，tanEBC=CEBC=242=14，BE=BC2+CE2=34，MHBH=tanEBC=14，BH4MH，ACB45，CMH是等腰直角三角形，MHCH，设MHCHx，则BH4x，BH+CHBC42，4x+x42，解得x=425，BH=1625，CHMH=425=DK，BM=BH2+MH2=4345，DAC4
35、5，MKMABH，MNBE，BMH90NMKMNK，BHM90MKN，BHMMKN（AAS），MNBM=4345，NKMH=425，ANADNKDK=1225，BN=AB2+AN2=8175，设点E到BN的距离为h，2SBENBNhBEMN，h=BEMNBN=3443458175=17，故答案为：17三解答题（共6小题）24（2023河西区模拟）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在矩形的边OC上，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OPQ30，点O的对应点O落在第一象限设OQt（）如图，当t1时，求
36、OQA的大小和点O的坐标；（）如图，若折叠后重合部分为四边形，OQ，OP分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围；（）当折痕PQ恰好过点A时，求折叠后重合部分的面积 3或103；当点P与点C重合时，求折叠后重合部分的面积 3或103（直接写出答案即可）【解答】解：（）如图中，过点O作OHOA于点H在RtPOQ中，OPQ30，PQO60，由翻折的性质可知QOQO1，PQOPQO60，OQAOQH180606060，QHQOcos60=12，OH=3QH=32，OHOQ+QH=32，O（32，32）；（）如图中，A（3，0），OA3，OQt，AQ3tEQ
37、A60，QE2QA62t，OQOQt，EOt（62t）3t6（2t3）；（）如图中，当点Q与A重合时，重叠部分是APF，过点P作PGAB于点G在RtPGF中，PGOA3，PFG60，PF=PGsin60=23，OPAAPFPAF30，FPFA23，SAPF=12AFPG=1223333，观察图象可知当3t23时，重叠部分的面积是定值33，满足条件的t的值可以为3或103（答案不唯一）故答案为：3或10325（2023滨海新区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，OA在x轴的负半轴上，OC在y轴的正半轴上（）若OA2，AB1如图1，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转（09
38、0）得到矩形（OA1B1C1），当点A的对应点A1落在BC边上时，求点A1的坐标；如图，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转（090）得到矩形OA2B2C2，当点B的对应点B2落在轴的正半轴上时，求点A2的坐标；（）若OAm，ABn，如图3，设边OA2与BC交于点E，若A1EEC=6-1，请直接写出nm的值【解答】解：（）如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD1，OABC2，OCA190，在RtOCA1中，CA1=A1O2-OC2=3，A1（-3，1）如图2中，作A2Hy轴于HOB2=12+22=5，SOA2B2=12OB2A2H=12OA2A2B2，A2H=255，OH=A2O2-A2H2=455，A2（-255，455）（）EOCA2OB2，OCEOA2B2，OCEOA2B2，ECOC=A2B2OA2，ECn=nm，EC=n2m，在RtOCA1中，CA1=m2-n2，A1E=m2-n2-n2m，A1EEC=6-1，m2-n2-n2m=（6-1）n2m，整理得：m4m2n26n40，（m23n2）（m2+2n2）0，m23n2，m0n0，m=3n，nm=3326（2022滨海新区一模）如图，已知一个矩形纸
