1、 2023年中考数学高频考点突破训练：圆的切线的证明1如图，O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A（1）求证：BC为O的切线；（2）求B的度数2如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长3如图，已知O的直径为AB，ACAB于点A，BC与O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA（1）求证：ED是O的切线（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度4如图，已知O的半径为1，DE是O的直径，过点D作O的切线AD，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCOE
2、是平行四边形（1）求AD的长；（2）BC是O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由5如图，在O中，AB是直径，AD是弦，ADE = 60，C = 30判断直线CD是否是O的切线，并说明理由；若CD = ，求BC的长6如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，OFAB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且ACE+AFO=180.（1）求证：EM是O的切线；（2）若A=E,BC=，求阴影部分的面积.（结果保留和根号）.7如图，已知AB是O的直径，锐角DAB的平分线AC交O于点C，作CDAD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E（1）求证：直线CD为O的切线；（2）当
3、AB2BE，且CE时，求AD的长8如图，等圆O1 和O2相交于A,B两点，O2 经过O1 的圆心O1,两圆的连心线交O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=2.求证：（1）BM是O2的切线；（2）求弧AM的长. 9已知BC是O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是O的弦，AEC=30（1）求证：直线AD是O的切线；（2）若AEBC，垂足为M，O的半径为4，求AE的长10如图，已知AB是O直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，BCD=BAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若D=30，BD=2，求图中阴影部分的面积11如图，在RtABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点
4、E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）已知O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长12如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将ACD沿AD折叠得到AED，AE交半圆于点F，连接DF（1）求证：DE是半圆的切线：（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论13如图，在中，是边上的一点，连接，使，是上的一点，以为直径的经过点（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求阴影部分的面积（结果保留根号和）14已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC
5、于F，连接OD，DF（1）求证：AB是O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若C=45，求证：GF2=DGOE15如图，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交ABC的外接圆O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使BDM=DAC（1）求证：直线DM是O的切线；（2）求证：DE2=DFDA16如图，在ABC中，C=90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留）17如图，已知AB是O的直径，弦CD与直径AB相交于点F点
6、E在O外，作直线AE，且EAC=D（1）求证：直线AE是O的切线（2）若BAC=30，BC=4，cosBAD=，CF=，求BF的长18如图，AC为O的直径，B为O上一点，ACB=30，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DEAC，垂足E在CA的延长线上，连接BE（1）求证：BE是O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积参考答案1解：（1）证明：如图，连接OA、OB、OC，AB与O切于A点，OAAB，即OAB=90四边形ABCD为菱形，BA=BC在ABO和CBO中，ABCCBO（SSS）BOC=OAC=90OCBCOC是O的半径，BC为O的切线（2）连接BD，ABCCBO，AOB=
7、COB四边形ABCD为菱形，BD平分ABC，CB=CD点O在BD上BOC=ODC+OCD，而OD=OC，ODC=OCDBOC=2ODCCB=CD，OBC=ODCBOC=2OBCBOC+OBC=90，OBC=30ABC=2OBC=60【解析】试题分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OAAB，即OAB=90，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断ABOCBO，则BCO=BAO=90，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由ABOCBO得AOB=COB，则AOB=COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有BOC=ODC+OCD，
8、则BOC=2ODC，由于CB=CD，则OBC=ODC，所以BOC=2OBC，根据BOC+OBC=90可计算出OBC=30，然后利用ABC=2OBC计算即可试题解析：（1）连结AO、CO、DO AB与O切于A点，OAAB，即OAB=90，四边形ABCD为菱形，BA=BC，在ABO和CBO中，ABOCBO（SSS），BCO=BAO=90，OCBC，BC为O的切线；（2）解：ABOCBO，ABO=CBO，四边形ABCD为菱形，BD平分ABC，DA=DC，点O在BD上，BOC=ODC+OCD，而OD=OC，ODC=OCD，BOC=2ODC，而CB=CD，OBC=ODC，BOC=2OBC，BOC+OBC
9、=90，OBC=30，ABC=2OBC=60考点：1切线的判定与性质；2菱形的性质2解：（1）证明：连接OA ，BC为O的直径，BAC=90B+ACB=90 OA=OC，OAC=OCACAD=B，CAD+OAC=90，即OAD=90OAAD点A在圆上 AD是O的切线 （2）CEAD ，CED=OAD=90 CEOACEDOADCE=2，设CD=x，则OD=x+8， ，解得x=经检验x=是原分式方程的解，CD的长为【解析】试题分析：（1）连接OA ，证明OAAD即可（2）由CEDOAD得比例式，求解即可3（1）证明见解析；（2）10.【分析】（1）首先连接OD已知D点在圆上，说明OD是半径，所以
10、只要证明ODED即可通过证明AOEDOE得到OAE=ODE=90，从而证得结论；（2）利用线段垂直平分线的判定定理推出OEAD，从而得到OEBC，最后根据AOEABC求得BC的长度【解析】（1）如图：首先连接ODACAB，BAC=90，即OAE=90在AOE与DOE中，OA=OD，ED=EA,OE=OE，AOEDOE（SSS），OAE=ODE=90，即ODED又OD是O的半径，ED是O的切线；（2）如图，在OAE中，OAE=90，OA=3，AE=4，由勾股定理求得OE=5AB是直径，ADB=90（直径所对的圆周角是直角），即ADBC又OA=OD，AE=DE，OE垂直平分AD（到线段两个端点距离
11、相等的点在这条线段的垂直平分线上），OEAD，OEBC，AOEABC，BC=2OE=25=10，即BC的长度是104（1）AD=2（2）是，理由见解析【分析】（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线
12、【解析】分析：解：（1）连接BD，则DBE=90，四边形BCOE为平行四边形，BCOE，BC=OE=1在RtABD中，C为AD的中点，BC=AD=1AD=2（2）BC为O的切线证明如下：连接OB，BCOD，BC=OD，四边形BCDO为平行四边形AD为O的切线，ODAD四边形BCDO为矩形OBBCOB是O的半径，BC为O的切线5答案见解析【分析】（1）根据切线的判定定理，连接OD，只需证明ODCD，根据三角形的外角的性质得A=30，再根据等边对等角得ADO=A，从而证明结论；（2）在30的直角三角形OCD中，求得OD，OC的长，则BC=OC-OB【解析】（1）CD是O的切线证明：如图，连接OD
13、ADE=60，C=30，A=30 OA=OD，ODA=A=30ODE=ODA+ADE=30+60=90，ODCDCD是O的切线 （2）解：在RtODC中，ODC=90， C=30， CD= tanC= ，OD=CDtanC= =3OC=2OD =6OB=OD=3，BC=OC-OB=6-3=3【点评】本题考查了切线的判定定理.证明CD是O的切线是解题的关键.6（1）详见解析；（2）；【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到AOF=90，根据三角形的内角和得到ACE=90+A，根据等腰三角形的性质得到OCE=90，得到OCCE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到ACB=90，推出ACO=BC
14、E，得到BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解析】：（1）连接OC，OFAB，AOF=90，A+AFO+90=180，ACE+AFO=180，ACE=90+A，OA=OC，A=ACO，ACE=90+ACO=ACO+OCE，OCE=90，OCCE，EM是O的切线；（2）AB是O的直径，ACB=90，ACO+BCO=BCE+BCO=90，ACO=BCE，A=E，A=ACO=BCE=E，ABC=BCE+E=2A，A=30，BOC=60，BOC是等边三角形，OB=BC=，阴影部分的面积=，【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关
15、键7（1）证明见解析；（2），AD【解析】试题分析：（1）连接OC，由AC平分DAB得到DAC=CAB，然后利用等腰三角形的性质得到OCA=CAB，接着利用平行线的判定得到ADCO，而CDAD，由此得到CDAD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为O的切线；（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在RtOCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解试题解析：(1)连接OCAC平分DABDACCABOAOCOCACABOCADACADCOCDADCDADCD为O的切线；（2）AB2BO ， AB2BEB
16、OBECO 设BOBECOx ， OE2x在RtOCE中，OC2CE2OE2， x2()2(2x)2 x1 AE3 ，E30 ，AD考点：1.切线的判定与性质2.勾股定理3.圆周角定理8（1）见解析；（2）.【分析】（1）连接O2B，由MO2是O1的直径，得出MBO2=90从而得出结论：BM是O2的切线；（2）根据O1B=O2B=O1O2，则O1O2B=60，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度.【解析】（1）连结O2B，MO2是O1的直径，MBO2=90，BM是O2的切线；(2)O1B=O2B=O1O2，O1O2B=60，AB=2，BN=，O2B=2，.【点评】本题考查了切线的判
17、定和性质、弧长的计算以及相交两圆的性质，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键.9（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求出ABC=30，进而求出BAD=120，即可求出OAB=30，结论得证；（2）先求出AOC=60，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论【解析】（1）如图，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=30，根据三角形的内角和定理得，BAD=120，连接OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，点A在O上，直线AD是O的切线；（2）连接OA，AEC=30，AOC=60，BCAE于M，AE=2AM，OMA=90，在Rt
18、AOM中，AM=OAsinAOM=4sin60=2，AE=2AM=4【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键10（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为【解析】【分析】（1）连接OC，易证BCD=OCA，由于AB是直径，所以ACB=90，所以OCA+OCB=BCD+OCB=90，CD是O的切线；（2）设O的半径为r，AB=2r，由于D=30，OCD=90，所以可求出r=2，AOC=120，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.【解
19、析】（1）如图，连接OC，OA=OC，BAC=OCA，BCD=BAC，BCD=OCA，AB是直径，ACB=90，OCA+OCB=BCD+OCB=90OCD=90OC是半径，CD是O的切线（2）设O的半径为r，AB=2r，D=30，OCD=90，OD=2r，COB=60r+2=2r，r=2，AOC=120BC=2，由勾股定理可知：AC=2，易求SAOC=21=S扇形OAC=，阴影部分面积为.【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.11（1）证明见解析；（2）BC=，AD=【分析】（1）连
20、接OE，由OB=OE知OBE=OEB、由BE平分ABC知OBE=CBE，据此得OEB=CBE，从而得出OEBC，进一步即可得证；（2）证BDEBEC得，据此可求得BC的长度，再证AOEABC得，据此可得AD的长【解析】（1）如图，连接OE，OB=OE，OBE=OEB，BE平分ABC，OBE=CBE，OEB=CBE，OEBC，又C=90，AEO=90，即OEAC，AC为O的切线；（2）EDBE，BED=C=90，又DBE=EBC，BDEBEC，即，BC=；AEO=C=90，A=A，AOEABC，即，解得：AD=【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判
21、定与性质12（1）证明见解析（2）四边形ODFA是菱形【解析】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到OAD=ODA，由图形翻折变换的性质可得到CDA=EDA，再根据CDAB即可得出结论；（2）连接OF，可知OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出ODAF，进而可得出FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论试题解析：（1）如图，连接OD，则OA=OD，OAD=ODA，AED由ACD对折得到，CDA=EDA，又CDAB，CAD+CDA=ODA+EDA=90，D点在半圆O上，DE是半圆的切线；（2）四边形ODFA是菱形，如
22、图，连接OF，CDOB，OCD是直角三角形，OC=BC=OB=OD，在RtOCD中，ODC=30，DOC=60，DOC=OAD+ODA，OAD=ODA=FAD=30，ODAF，FAO=60，又OF=OA，FAO是等边三角形，OA=AF，OD=AF，四边形ODFA是平行四边形，OA=OD，四边形ODFA是菱形考点：1、切线的判定；2、菱形的判定；3、圆周角定理；4、翻折变换（折叠问题）13（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，利用圆中半径组成的等腰三角形和已知条件，可知，从而是的切线（2），所以可以利用特殊三角形三角函数求出ODC,扇形ODE，作差求出阴影部分面积.【解析】（1）证明：，而，
23、点在上，是的切线（2），在中，【点评】圆中角的计算与证明，常用的隐含条件是两条半径所构成的等腰三角形，圆周角定理，同弧所对圆周角相等，所以要求把三角形的知识有一个深刻的理解,特别是等腰三角形，特殊直角三角形知识要熟练.14（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）过O作OHAB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；（2）由条件可证明DGFDFO，再利用相似三角形的性质可证得结论【解析】1）如图，过O作OHAB，四边形OABC为菱形，AB=BC，BC为O的切线，ODBC，且OD为O的半径，ABOH=BCOD，OH=OD，AB为O
24、的切线；（2）由（1）可知ODCB，AODO，AOD=90，DFO=AOD=45，C=45，且ODC=90，DOF=45，在OGF中，DGF为OGF的外角，DGF=DOF+GFO=45+GFO，DFO=DFG+GFO=45+GFO，DGF=DFO，且GDF=FDO，DGFDFO，即DFGF=DGOF，OF=OD=OE，DF=GF，GF2=DGOE【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用15（1）证明见解析; （2）证明见解析;【分析】（1）连接DO，并延长交O于点G，连接BG；易证BADDAC；根据圆周角定理
25、可得GBAD；即可得MDBG；由GBDG90，MDBBDG90即可得直线DM是O的切线；（2）连接BE，先证EBDBED，即可得DBDE，再证DBFDAB，根据相似三角形的性质可得BD2DFDA，所以DE2DFDA【解析】证明：（1）如图1，连接DO，并延长交O于点G，连接BG；点E是ABC的内心，AD平分BAC，BADDACGBAD，MDBG，DG为O的直径，GBD90，GBDG90MDBBDG90直线DM是O的切线；（2）如图2，连接BE点E是ABC的内心，ABECBE，BADCADEBDCBECBD，BEDABEBAD，CBDCADEBDBED，DBDECBDBAD，ADBADB，DBF
26、DAB，BD2DFDADE2DFDA16（1）直线BC与O相切，证明见解析；（2）【分析】（1）连接OD，证明ODAC，即可证得ODB=90，从而证得BC是圆的切线；（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积【解析】解：（1）BC与O相切理由如下：连接ODAD是BAC的平分线BAD=CADOD=OAOAD=ODACAD=ODAODACODB=C=90，即ODBC又BC过半径OD的外端点D，BC与O相切；（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF
27、=x+2根据勾股定理得：，即，解得：x=2，即OD=OF=2OB=2+2=4RtODB中OD=OBB=30DOB=60S扇形DOF=则阴影部分的面积为SODBS扇形DOF=故阴影部分的面积为17（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD，由直径所对的圆周角是直角得：ADB=90，则ADC+CDB=90，所以EAC+BAC=90，则直线AE是O的切线；（2）分别计算AC和BD的长，证明DFBAFC，列比例式得：，得出结论【解析】（1）连接BD，如图，AB是O的直径，ADB=90，即ADC+CDB=90，EAC=ADC，CDB=BAC，EAC+BAC=90，即BAE=90，直线AE是O的切线；
28、（2）AB是O的直径，ACB=90，在RtACB中，BAC=30，AB=2BC=24=8，由勾股定理得：AC=，在RtADB中，AD=6，BD= =，BDC=BAC，DFB=AFC，DFBAFC，BF=【点评】本题考查了切线的判定与性质；解直角三角形；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等；相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识相似三角形的判定与性质是关键18（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接，根据和都是等腰三角形，即可得到再根据三角形的内角和得到进而得出是的切线；（2）根据，可以得到半圆的面积，即可的面积，即可得到阴影部分的面积【解析】解：（1）如图所示，连接，中，中， 是的切线；（2）当时，为的直径，又，阴影部分的面积=半圆的面积-的面积=
