1、浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线，平面，且，则下列结论一定成立的是（ ）A. ，是异面直线B. C 内所有直线与平行D. ，没有公共点3. 设的内角A，所对的边分别为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 25. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，那么（ ）A. 长度大于的长度B. 的面积为2C. 的面积为4D
2、. 6. 在菱形中，则的值是（ ）A. B. C. D. 7. 已知点，则向量在方向上的投影向量为（ ）A B. C. D. 8. 在正方体中，为棱一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）A. 所得截面是六边形B. 截面过棱的中点C. 截面不经过点D. 截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分9. 已知平面向量，满足，则下列结论正确的是（ ）A. 与的夹角为B. 向量是单位向量C. 与可以作为直角坐标
3、平面的一组基底D. 可以取到210. 设的内角，所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则符合条件的有两个D. 若，则为等腰三角形或直角三角形11. 如图是底面半径为2圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕顶点逆时针滚动，当这个圆锥转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则下列结论正确的是（ ）A. 圆锥的母线长为12B. 圆锥的侧面积为C. 圆锥的侧面展开图扇形圆心角为D. 圆锥的体积为12. 已知复数，满足，（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 的最小值为D. 的最小值为4非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
4、13. 若为虚数单位，则复数的虚部为_14. 设的内角，所对的边分别为，若，则_15. 长方体中，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为_.16. 在直角坐标平面内，若对任意实数，点都满足，则的最小值为_四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设是虚数单位，复数满足（1）求复数；（2）若复数为纯虚数，求实数的值18. 设的内角，所对的边分别为，向量与平行（1）若，求的面积；（2）若，求角的大小19. 设的内角，所对的边分别为，已知（1）求角的值；（2）若，边上的两条中线，相交于点，求20. 鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥
5、的称呼如图，三棱锥是一鳖臑，其中，且高，（1）求三棱锥的体积和表面积；（2）求三棱锥外接球体积和内切球的半径21. 在直角梯形中，已知，动点、分别在线段和上，和交于点，且，（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）求的取值范围浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可判断.【详解】解：由题意知：，实部大于0，虚部小于0，故在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2. 已知直
6、线，平面，且，则下列结论一定成立的是（ ）A. ，是异面直线B. C. 内所有直线与平行D. ，没有公共点【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，举特例说明判断选项A，B，C；利用面面平行的定义判断D作答.【详解】在长方体中，平面平面，视平面为平面，平面为平面，如图，直线为直线a，满足，若直线为直线b，满足，显然有，A不正确；直线为直线a，满足，若直线为直线b，满足，显然，是异面直线，B不正确；直线为直线b，满足，直线，而直线AB与直线b是异面直线，C不正确；因，于是得平面与没有公共点，从而得，没有公共点，D正确.故选：D3. 设的内角A，所对的边分别为，若，则等于（ ）A. B. C. D.
7、 【答案】A【解析】【分析】根据，求得各角的大小，利用正弦定理求得答案.【详解】由于，故，故，故选：A4. 已知向量，且，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】求出的坐标后可求的值.详解】，由可得，解得，故选：C5. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，那么（ ）A. 的长度大于的长度B. 的面积为2C. 的面积为4D. 【答案】C【解析】【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意是的中点，且轴，轴，三角形中，三角形中，,，所以A选项错误.，C选项正确.，B选项错误.由于，所以三角形不是等腰直角三角形，
8、所以D选项错误.故选：C6. 在菱形中，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，进而可求得的值.【详解】由题意可知，因此，.故选：A.7. 已知点，则向量在方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，则在方向上的投影向量为，即可求解【详解】由，得，所以在方向上的投影向量为故选：B8. 在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）A. 所得截面六边形B. 截面过棱的中点C. 截面不经过点D. 截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点
9、【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，作出过三点的正方体的截面，再逐项推理判断作答.【详解】在正方体中，依题意，直线FG与直线交于点P，显然，直线FE交DA延长线于点Q，则有，如图，连接，则有，而平面平面，平面平面，平面与平面有公共点，则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于，连，因，则四边形是平行四边形，于是得，即平面平面，因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，连交分别于点O，H，连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，A不正确，C不正确；由知，即，B不正确；由得，即，则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，D正确.故选：D【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面
10、的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分9. 已知平面向量，满足，则下列结论正确的是（ ）A. 与的夹角为B. 向量是单位向量C. 与可以作为直角坐标平面的一组基底D. 可以取到2【答案】AC【解析】【分析】求出向量，夹角判断A；求向量的模判断B；由向量，是否共线判断C；利用数量积运算求出范围判断D作答.【详解】因，则，而，
11、解得，A正确；因，则，B不正确；由选项A知，向量，不共线，则与可以作为直角坐标平面的一组基底，C正确；因，则，又，即，令，于是有，即，而，因此有，解得，D不正确.故选：AC10. 设的内角，所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则符合条件的有两个D. 若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由余弦定理与数量积的定义计算，对于B，由正弦函数性质判断，对于C，由正弦定理判断三角形解的个数，对于D，由正弦定理与二倍角公式化简后判断【详解】对于A，而，故A错误，对于B，若，则，故，B正确，对于C，由正弦定理得，故，故A有两解，符合条件的有
12、两个，C正确对于D，若，则，即，得或，故或，为等腰三角形或直角三角形，D正确故选：BCD11. 如图是底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕顶点逆时针滚动，当这个圆锥转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则下列结论正确的是（ ）A. 圆锥的母线长为12B. 圆锥的侧面积为C. 圆锥的侧面展开图扇形圆心角为D. 圆锥的体积为【答案】BC【解析】【分析】设圆锥的母线长为，由侧面积公式结合题意，求出母线，即可判断选项，由扇形面积公式即可判断选项，求出底面周长，然后利用弧长公式求出圆心角，即可判断选项，利用圆锥的体积公式，即可判断选项【详解】解：设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的
13、圆的面积为，又圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以，解得，所以圆锥的母线长为6，故选项错误；圆锥的侧面积，故选项正确；因为圆锥的底面周长为，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，故选项正确；圆锥的高，所以圆锥的体积为，故选项错误故选：12. 已知复数，满足，（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 的最小值为D. 的最小值为4【答案】ABC【解析】【分析】根据复数的几何意义作出复数对应的点所在的图形，数形结合，可判断A；根据复数以及其共轭复数的模的关系，判断B；数形结合判断C,D.【详解】由可知，表示的复数所
14、对应的点都落在两点连线的中垂线上，即如图直线m上，m与y轴交点为 ，由可知， 对应的点都在以点为圆心，半径为2的圆上，如图，则的最小值为 ，的最大值为 ，而 ，故，故A正确；由于，故，故B正确； 对应的点在直线上，如图，和直线m关于x轴对称，过点A作n的垂线，交圆于D,交n于E点，则的最小值即为的长，为 ，故C正确；设中对应的圆与x轴切于B点，过B作m的垂线，垂足为C,则的最小值即为BC的长，即为 ，故D错误，故选：ABC非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若为虚数单位，则复数的虚部为_【答案】#【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，进而可得其虚部.【详解】因
15、为，所以其虚部为，故答案为：.14. 设的内角，所对的边分别为，若，则_【答案】#【解析】【分析】由余弦定理与数量积定义求解【详解】由余弦定理得，而，化简得，解得，故故答案为：15. 长方体中，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为_.【答案】【解析】【分析】长方体有三种侧面展开形式，利用勾股定理可以求出每种展开方式的长，最后比较大小得出最短路线的长.【详解】将长方体侧面展开有三种方式如下图：的长有以下三种可能：第种方式：；第方式：；第种方式：.所以蚂蚁爬行的最短路线的长为.故答案为：【点睛】本题考查了长方体侧面展开方式求长方体表面两点距离最短问题，考查了分类讨论思想，考查了
16、公股定理，考查了数学运算能力.16. 在直角坐标平面内，若对任意实数，点都满足，则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】设P为(x，y)，根据对任意实数tR可求出的范围，从而可求的最小值【详解】设P为(x，y)，则，对任意实数，当且仅当x0，时取等号故答案为：5四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设是虚数单位，复数满足（1）求复数；（2）若复数为纯虚数，求实数的值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用复数乘法运算及复数模的运算求出即可求出.（2）利用复数乘法运算结合纯虚数定义计算作答.【小问1详解】依题意，所以.【小问2详解】由（1）
17、知，为纯虚数，解得，所以实数的值为.18. 设的内角，所对的边分别为，向量与平行（1）若，求的面积；（2）若，求角的大小【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再用正弦定理求出角A，利用余弦定理、面积定理计算作答.（2）用角C表示角B，再利用差角的正弦公式化简计算作答.【小问1详解】因为向量与，则，在中，由正弦定理得：，而，即，则有，即，又，解得，当，时，由余弦定理得：，即有，而，解得，所以的面积.【小问2详解】由（1）知，由得：，则有，即，整理得，而，解得，所以.19. 设的内角，所对的边分别为，已知（1）求角的值；（2）若，边上的两条中线，相交于点，求【
18、答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据，得到，再利用余弦定理求解；（2）法1：由，利用余弦定理求得边a，再利用中线长公式求得MC，BN，由是的重心，得到MP，NP，在中，利用余弦定理求解；法2：利用向量法，由，利用夹角公式求解；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，利用夹角公式求解.【小问1详解】解：因为，所以由正弦定理得：，整理得：，所以，又因，所以；【小问2详解】法1：因为，所以，由中线长公式知：，得，又因为是的重心，所以，连结，则，在中，；法2：（向量法），故，同理得，所以；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立
19、直角坐标系，则， 所以，所以20. 鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼如图，三棱锥是一鳖臑，其中，且高，（1）求三棱锥的体积和表面积；（2）求三棱锥外接球体积和内切球的半径【答案】（1），表面积为 （2）外接球体积为，内切球半径为【解析】【分析】（1）利用公式可求体积及表面积.（2）利用补体法可求外接球的半径，从而可求外接球的体积，利用等积法可求内切球的半径.【小问1详解】由题设可得，而三棱锥的高为，三棱锥的体积，又，三棱锥的表面积.【小问2详解】由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球即为三棱锥外接球的直径.
20、因为，所以三棱锥外接球体积为.记内切球的球心为，连结，得到四个等高的三棱锥，且该高为内切球的半径，则， 得，所以，故三棱锥内切球的半径为.21. 在直角梯形中，已知，动点、分别在线段和上，和交于点，且，（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）求的取值范围【答案】（1）； （2）； （3）【解析】【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出ABC和BC长度，当AEBC时，求出BE长度，从而可得；(2)设，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围【小问1详解】在直角梯形中，易得，为等腰直角三角形，故；【小问2详解】，当时，设，则，不共线，解得，即；【小问3详解】，由题意知，当时，取到最小值，当时，取到最大值，的取值范围是
