1、2018-2019 学年浙江台州椒江二校联考八年级下期中数学试卷学年浙江台州椒江二校联考八年级下期中数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 2 （3 分）以下列各组数为一个三角形的三边长，能够成直角三角形的是（ ） A1，2，4 B1，2 C1，3，5 D1， 3 （3 分）下列命题正确的是（ ） A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 4
2、 （3 分）如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中 点 M，N，如果测得 MN20m，那么 A，B 两点间的距离是多少？（ ） A20m B30m C40m D50m 5 （3 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是（2，0） ， （0，1） ，点 C，D 在坐标轴上， 则菱形 ABCD 的周长等于（ ） A B4 C4 D20 6 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，一棵大树在离地面 9 米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底 BC 的 12 米处，则大树断裂之
3、前的高度为（ ） A9 米 B15 米 C21 米 D24 米 8 （3 分）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 3 和 9，那么图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B，C 分别落在MON 的边 OM，ON 上，若 OAOC，要求只用 无刻度的直尺作MON 的平分线小明的作法如下：连接 AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射线 OE 平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三 角形的“三线合一” 小明的作法依据是（ ） A B C D 10 （3 分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，
4、在我国古算书周髀算经中早有记载如图 1，以 直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形 内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A直角三角形的面积 B最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算的结果等于 12 （3 分）小刚用三根木条做一个直角三角形木架，现有长为 30cm 和 40cm 的两根木条，那么第三根木条 的长应为 cm （可保留根号） 13 （3 分）如图，在矩
5、形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD，垂足为点 E，若 EAC2CAD，则BAE 度 14 （3 分）定义一种新的运算：a*b+（b0） ，则 2*3 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA9，AC12，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过 点 D 分别作 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，点 G 为四边形 DEAF 对角线交点，则线段 GF 的最小值 为 16 （3 分）如图，已知正方形 ABCD，P 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 APAB，CBE 由DAP 平移得到，若过点 E 作 EQAC，
6、点 Q 为垂足，则有以下结论：四边形 PECD 为菱形； 无论点 P 运动到何处，DPQ 都为等腰直角三角形；若DQC60，则有 2BEDP；无论点 P 运动到何处，CQP 一定大于 135其中正确结论的序号为 三、 解答题 （本题有三、 解答题 （本题有 7 小题， 第小题， 第 17 至至 19 题每题题每题 6 分， 第分， 第 20 题至题至 22 题每题题每题 8 分， 第分， 第 23 题题 10 分， 共分， 共 52 分）分） 17 （6 分）计算： （1）+5； （2） （+） （）+ 18 （6 分） 图， 图均为 44 的正方形网格， 每个小正方形的顶点称为格点 在图中已
7、画出线段 AB， 在图中已画出线段 CD，其中 A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图： （1）在图中，以 AB 为对角线画一个菱形 AEBF，且 E，F 为格点； （2）在图中，以 CD 为对角线画一个对边不相等的四边形 CGDH，且 G，H 为格点，CGDCHD 90 19 （6 分）如图，CE 是ABC 外角ACD 的平分线，AFCD 交 CE 于点 F，FGAC 交 CD 于点 G求 证：四边形 ACGF 是菱形 20 （8 分）已知长方形的长 a，宽 b （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长 21 （8 分）数学老师在课堂上
8、展示一矩形纸片，如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm他要将此 矩形做一个梯形教具，现进行如下操作： 先将矩形 ABCD 的点 D 折叠到对角线 AC 上的点 F 处，折痕为 CE，再将折叠的部分裁掉； 问： （1）所裁部分 DE 的长； （2）所裁成的梯形 ABCE 的面积是多少？ 22 （8 分）阅读下面材料，并回答下列问题： 小明遇到这样一个问题，如图 1，在ABC 中，DEBC 分别交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，已知 CD BE，CD3，BE5，求 BC+DE 的值 小明发现，过点 E 作 EFDC，交 BC 延长线于点 F，构造BEF，经过推理和计算能够使问题得
9、到解决 （如图 2）请你解答： （1）证明：DECF； （2）求出 BC+DE 的值； （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，已知ABCD 和矩形 ABEF，AC 与 DF 交于点 G，ACBFDF，求AGF 的度数 23 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB8，点 E、F 分别在 AD 和 AB 上，AE3，AF4 （1）点 P 在边 BC 上运动、四边形 EFPH 是平行四边形，连接 DH 当四边形 FPHE 是菱形时，线段 BP ； 当点 P 在边 BC 上运动时，DEH 的面积会不会变化？若变化，求其最大值；若不变，求出它的值； 当DEH 是等腰三角形时，求 B
10、P 的长； （3）若点 E 沿 EDC 向终点 C 运动，点 F 沿 FBC 终点 C 运动，速度分别为每秒 3 个单位长度 和每秒 4 个单位长度，当其中一个点到达终点 C 时，另一个点也停止运动，求 EF 的中点 O 的运动路径 长（要求写出简略的计算过程） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案 【解答】解：由题意可知：x50， x5 故选：B 【
11、点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基 础题型 2 （3 分）以下列各组数为一个三角形的三边长，能够成直角三角形的是（ ） A1，2，4 B1，2 C1，3，5 D1， 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 【解答】解：A、12+2242，故不能够成直角三角形； B、12+（）222，故能够成直角三角形； C、12+3252，故不能够成直角三角形； D、12+（）2（）2，故不能够成直角三角形 故选：B 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只 要利用勾股定理的逆
12、定理加以判断即可 3 （3 分）下列命题正确的是（ ） A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法判断即可 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题； B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； 故选：A 【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握 矩形的判定方法是解题的关键 4 （3 分）如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A
13、，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中 点 M，N，如果测得 MN20m，那么 A，B 两点间的距离是多少？（ ） A20m B30m C40m D50m 【分析】根据三角形中位线定理知 AB2MN 【解答】解：如图，AC 和 BC 的中点是 M，N， MN 是ABC 的中位线， AB2MN40m即 A、B 两点间的距离是 40m 故选：C 【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 5 （3 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是（2，0） ， （0，1） ，点 C，D 在坐标轴上， 则菱形
14、 ABCD 的周长等于（ ） A B4 C4 D20 【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可 【解答】解：A，B 两点的坐标分别是（2，0） ， （0，1） ， AB， 四边形 ABCD 是菱形， 菱形的周长为 4， 故选：C 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理解答 6 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B C D 【分析】根据同类二次根式的定义和合并同类二次根式的法则逐一判断可得 【解答】解：A、与 2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B、3（31）2，此选项正确； C、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； D、不能再计算、化简，此选项错误； 故选
15、：B 【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义和合并同类二次 根式的法则 7 （3 分）如图，一棵大树在离地面 9 米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底 BC 的 12 米处，则大树断裂之 前的高度为（ ） A9 米 B15 米 C21 米 D24 米 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可 【解答】解：由题意得 BC9，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得：AB15 米 所以大树的高度是 15+924 米 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理熟记 9，12，15 这组勾股数，计算的时候较快 8 （3 分）如图，
16、长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 3 和 9，那么图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】设两个正方形的边长是 x、y（xy） ，得出方程 x23，y29，求出 x，y3，代入阴影部 分的面积是（yx）x 求出即可 【解答】解：设两个正方形的边长是 x、y（xy） ， 则 x23，y29， x，y3， 则阴影部分的面积是（yx）x（3）33， 故选：B 【点评】本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B，C 分别落在MON 的边 OM，ON 上，若 OAOC，要求只用 无刻度的直尺作MON 的平分线小明的作法如下
17、：连接 AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射线 OE 平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三 角形的“三线合一” 小明的作法依据是（ ） A B C D 【分析】利用矩形的性质得到 AECE，则 OE 为等腰三角形底边上的中线，利用等腰三角形的性质可得 到射线 OE 平分MON 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， AECE， 而 OAOC， OE 为AOC 的平分线 故选：C 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已 知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也
18、考查了矩形的性 质和等腰三角形的性质 10 （3 分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图 1，以 直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形 内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A直角三角形的面积 B最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 【分析】根据勾股定理得到 c2a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可 【解答】解：设直角三角形的斜边长为 c，较长直角边为 b，较短直角边为 a， 由勾股定理得，c2a2+b2， 阴影部分的面积c
19、2b2a（cb）a2ac+aba（a+bc） ， 较小两个正方形重叠部分的宽a（cb） ，长a， 则较小两个正方形重叠部分底面积a（a+bc） ， 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 c2 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算的结果等于 【分析】先把化成 2，再合并即可 【解答】解：2 故答案为： 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，掌握混合运算的步骤和配方法的
20、步骤是解题的关键 12 （3 分）小刚用三根木条做一个直角三角形木架，现有长为 30cm 和 40cm 的两根木条，那么第三根木条 的长应为 50 或 cm （可保留根号） 【分析】无法确定边长为 40cm 的边是直角三角形的斜边还是直角边，要讨论（1）边长为 40cm 的边为 直角边， （2）边长为 40cm 的边为斜边 【解答】 解：（1） 当边长为 40cm 的斜边是直角边时， 则第三根木条为斜边， 且长为cm50cm； （2）当边长为 40cm 的边为斜边时，则第三根木条为直角边， 则第三条边的长为cm10cm， 故答案为 50cm 或 10cm 【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理
21、的灵活运用，本题中讨论边长为 40cm 的边是直角边还是斜 边是解题的关键 13 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD，垂足为点 E，若 EAC2CAD，则BAE 22.5 度 【分析】首先证明AEO 是等腰直角三角形，求出OAB，OAE 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ACBD，OAOC，OBOD， OAOBOC， OADODA，OABOBA， AOEOAD+ODA2OAD， EAC2CAD， EAOAOE， AEBD， AEO90， AOE45， OABOBA67.5， BAEOABOAE22.5 故答案为 22.
22、5 【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现AEO 是等腰直角三 角形这个突破口，属于中考常考题型 14 （3 分）定义一种新的运算：a*b+（b0） ，则 2*3 【分析】先根据新定义列出算式 2*3+，再进一步计算可得 【解答】解：根据题意得 2*3+ + ， 故答案为： 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA9，AC12，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过 点 D 分别作 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，点 G 为四边形 DEAF 对角线交点，
23、则线段 GF 的最小值 为 【分析】由勾股定理求出 BC 的长，再证明四边形 DEAF 是矩形，可得 EFAD，根据垂线段最短和三 角形面积即可解决问题 【解答】解：连接 AD、EF， BAC90，且 BA9，AC12， BC15， DEAB，DFAC， DEADFABAC90， 四边形 DEAF 是矩形， EFAD， 当 ADBC 时，AD 的值最小， 此时，ABC 的面积ABACBCAD， AD， EF 的最小值为， 点 G 为四边形 DEAF 对角线交点， GFEF； 故答案为： 【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，
24、属于中考常考题型 16 （3 分）如图，已知正方形 ABCD，P 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 APAB，CBE 由DAP 平移得到，若过点 E 作 EQAC，点 Q 为垂足，则有以下结论：四边形 PECD 为菱形； 无论点 P 运动到何处，DPQ 都为等腰直角三角形；若DQC60，则有 2BEDP；无论点 P 运动到何处，CQP 一定大于 135其中正确结论的序号为 【分析】由正方形的性质和平移的性质可得 ABCDADBC，DACCAB45，CDPE，AP BE， DPCE， 由直角三角形的性质可得 PDCD， 可得四边形 PECD 不是菱形， 可判断； 由 “SAS
25、” 可证PQEDQA 可得 PQDQ，DQAPQE，可判断；由外角性质和等腰直角三角形的性质 可求ADP30，由直角三角形的性质可得 DP2AP2BE，可判断；由外角的性质和平角的性质 可得CQP135，可判断；即可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABCDADBC，DACCAB45， CBE 由DAP 平移得到， CDPE，APBE，DPCE， 在 RtADP 中，DPAD， PDCD， 四边形 PECD 不是菱形，故错误； QEAC，CAB45， QAEQEA45， AQQE， 又CDPEAD，DAQPEQ45， PQEDQA（SAS） ， PQDQ，DQAPQE， DQPA
26、QE90， DPQ 为等腰直角三角形，故正确； DQC60ADQ+DAQ， ADQ15， DPQ 为等腰直角三角形， QDP45， ADP30， DP2AP， 2BEDP，故正确； CABAQP+APQ45， AQP45， AQP+CQP180， CQP135，故正确， 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定， 平移的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 三、 解答题 （本题有三、 解答题 （本题有 7 小题， 第小题， 第 17 至至 19 题每题题每题 6 分， 第分， 第 20 题至题至 22 题每题题每题 8 分
27、， 第分， 第 23 题题 10 分， 共分， 共 52 分）分） 17 （6 分）计算： （1）+5； （2） （+） （）+ 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和二次根式的除法法则运算 【解答】解： （1）原式2+25+ 2+35； （2）原式53+ 2+2 4 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除 运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰 当的解题途径，往往能事半功倍 18 （6 分） 图， 图均为 44 的正方形网格， 每个小正方形的顶点
28、称为格点 在图中已画出线段 AB， 在图中已画出线段 CD，其中 A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图： （1）在图中，以 AB 为对角线画一个菱形 AEBF，且 E，F 为格点； （2）在图中，以 CD 为对角线画一个对边不相等的四边形 CGDH，且 G，H 为格点，CGDCHD 90 【分析】 （1）根据菱形的判定：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，画出图形即可 （答案不唯一） （2）利用数形结合的思想解决问题即可 【解答】解： （1）如图，菱形 AEBF 即为所求 （2）如图，四边形 CGDH 即为所求（答案不唯一） 【点评】本题考查作图应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定
29、和性质等知识，解题的关 键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 19 （6 分）如图，CE 是ABC 外角ACD 的平分线，AFCD 交 CE 于点 F，FGAC 交 CD 于点 G求 证：四边形 ACGF 是菱形 【分析】 首先根据平行线的性质得到23， 从而根据角平分线的性质得到13， 得到 AFAC， 从而利用邻边相等的平行四边形是菱形证得结论 【解答】证明：AFCD，FGAC， 四边形 ACGF 是平行四边形，23， CE 平分ACD， 12， 13， ACAF， 四边形 ACGF 是菱形 【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的几种判定方法，难度不大 20 （8
30、分）已知长方形的长 a，宽 b （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长 【分析】 （1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值； （2）利用等量关系另一个正方形的面积该长方形的面积列出等式并计算 【解答】解：a2，b， （1）长方形的周长2（+）2（2）6； （2）长方形的面积26， 根据面积相等，则正方形的边长， 所以，正方形的周长4 【点评】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式 21 （8 分）数学老师在课堂上展示一矩形纸片，如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm他要将此 矩形做一个
31、梯形教具，现进行如下操作： 先将矩形 ABCD 的点 D 折叠到对角线 AC 上的点 F 处，折痕为 CE，再将折叠的部分裁掉； 问： （1）所裁部分 DE 的长； （2）所裁成的梯形 ABCE 的面积是多少？ 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是矩形，即可得DB90，CDAB6cm，ADBC8cm，由勾 股定理，即可得 AC 的长，设 DExcm，又由折叠的性质即可求得 AE，EF，AF 的长，根据勾股定理即 可得方程： （8x）216+x2，解此方程即可求得答案； （3）由梯形的面积公式，即可求得裁成的梯形 ABCE 的面积 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， DB90，CD
32、AB6cm，ADBC8cm， 在 RtABC 中，AC10（cm） ， 设 DExcm， 根据折叠的性质可得：EFDExcm，CFCD6cm，EFCD90， AFE90，AEADDE8x（cm） ，AFACCF1064（cm） ， 在 RtAEF 中，AE2AF2+EF2， 即（8x）216+x2， 解得：x3， DE3cm； （2）AEADDE83（5cm） ， S梯形ABCE（AE+BC） AB（5+8）639（cm2） 所裁成的梯形 ABCE 的面积是 39cm2 【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及梯形的性质此题难度适中，注意掌握折 叠前后图形的对应关系，注意掌握数形
33、结合思想与方程思想的应用 22 （8 分）阅读下面材料，并回答下列问题： 小明遇到这样一个问题，如图 1，在ABC 中，DEBC 分别交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，已知 CD BE，CD3，BE5，求 BC+DE 的值 小明发现，过点 E 作 EFDC，交 BC 延长线于点 F，构造BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决 （如图 2）请你解答： （1）证明：DECF； （2）求出 BC+DE 的值； （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，已知ABCD 和矩形 ABEF，AC 与 DF 交于点 G，ACBFDF，求AGF 的度数 【分析】 （1）由 DEBC，EFDC，
34、可证得四边形 DCFE 是平行四边形，从而问题得以解决； （2）由 DCBE，四边形 DCFE 是平行四边形，可得 RtBEF，求出 BF 的长，证明 BC+DEBF； （3）连接 AE，CE，由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABEF 是矩形，易证得四边形 DCEF 是平行 四边形，继而证得ACE 是等边三角形，问题得证 【解答】 （1）证明：DEBC，EFDC， 四边形 DCFE 是平行四边形 DECF （2）解：由于四边形 DCFE 是平行四边形， DECF，DCEF， BC+DEBC+CFBF DCBE，DCEF， BEF90在 RtBEF 中， BE5，CD3， BF BC+
35、DE （3）连接 AE，CE，如图 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC 四边形 ABEF 是矩形， ABFE，BFAE DCFE 四边形 DCEF 是平行四边形 CEDF ACBFDF， ACAECE ACE 是等边三角形 ACE60 CEDF， AGFACE60 【点评】 本题考查了平行四边形的判定与性质、 矩形的性质、 等边三角形的判定与性质以及勾股定理 连 接 AE、CE 构造等边三角形是关键 23 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB8，点 E、F 分别在 AD 和 AB 上，AE3，AF4 （1）点 P 在边 BC 上运动、四边形 EFPH 是平行四边形，连接 DH
36、 当四边形 FPHE 是菱形时，线段 BP 3 ； 当点 P 在边 BC 上运动时，DEH 的面积会不会变化？若变化，求其最大值；若不变，求出它的值； 当DEH 是等腰三角形时，求 BP 的长； （3）若点 E 沿 EDC 向终点 C 运动，点 F 沿 FBC 终点 C 运动，速度分别为每秒 3 个单位长度 和每秒 4 个单位长度，当其中一个点到达终点 C 时，另一个点也停止运动，求 EF 的中点 O 的运动路径 长（要求写出简略的计算过程） 【分析】 （1）证明AFEBFP（SAS）可得结论 结论：不变如图 2 中，过点 H 作 HKAD 于 K，延长 KH 交 FP 的延长线于 J证明FB
37、PHKE （AAS） ，推出 KHBF4 可得结论 分三种情形：如图 2 中，当 HEHD 时，如图 3 中，当 DEDH5 时，如图 4 中，当 EHDE5 时，分别求解即可 （2）如图 5 中，当点 F 运动到与 B 重合时，点 E 运动到 E，当点 F 运动到 C 时，点 E 一样的 E，M 是 CE的中点，点 O 的运动路径为 OPTM分别求出 OP，PT，TM 即可解决问题 【解答】 （1）如图 1 中， 四边形 EFPH 是菱形， FEFP， 四边形 ABCD 是正方形， AB90， AF4，AB8， AFFB， AFEBFP（SAS） ， AEBP3， 故答案为 3 结论：不变
38、理由：如图 2 中，过点 H 作 HKAD 于 K，延长 KH 交 FP 的延长线于 J 四边形 EFPH 是平行四边形， EHPF，EHFJ， EHKJ， ABKJ， BFPJ， BFPEHK， BEKH90， FBPHKE（AAS） ， KHBF4，BPEK， DEH 的面积DEHK5410 如图 2 中，当 HEHD 时，HKDE， EKDKBP 如图 3 中，当 DEDH5 时， HKBF4，DH5，HKD90， DK3， BPEKDEDK532 如图 4 中，当 EHDE5 时，同法可得 EK3， PBEK3， 综上所述，满足条件的 BP 的值为：3，2.5，2 （2）如图 5 中，
39、当点 F 运动到与 B 重合时，点 E 运动到 E；当点 F 运动到 C 时，点 E 一样的移动到 E，M 是 CE的中点，点 O 的运动路径为 OPTM t1 时，AJJB4，AKKE3， KJBE， 当 0t1 时，EF 的中点 O 的运动路径是线段 OP，OPOAJK， 当 1t时，EF 的中点 O 的运动路径是线段 PTDE2， 当t3 时，EF 的中点 O 的运动路径是线段 TM，TM， CF8（44），DTTF，DEEC， TECF，EMCE2， TM， 点 O 的运动路径+2+ 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知 识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题
