1、浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线,平面,且,则下列结论一定成立的是( )A. ,是异面直线B. C 内所有直线与平行D. ,没有公共点3. 设的内角A,所对的边分别为,若,则等于( )A. B. C. D. 4. 已知向量,且,则的值为( )A. B. C. 1D. 25. 如图,是斜二测画法画出的水平放置的的直观图,是的中点,且轴,轴,那么( )A. 长度大于的长度B. 的面积为2C. 的面积为4D
2、. 6. 在菱形中,则的值是( )A. B. C. D. 7. 已知点,则向量在方向上的投影向量为( )A B. C. D. 8. 在正方体中,为棱一个三等分点(靠近点),分别为棱,的中点,过三点作正方体的截面,则下列说法正确的是( )A. 所得截面是六边形B. 截面过棱的中点C. 截面不经过点D. 截面与线段相交,且交点是线段的一个五等分点二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错或不选的得0分9. 已知平面向量,满足,则下列结论正确的是( )A. 与的夹角为B. 向量是单位向量C. 与可以作为直角坐标
3、平面的一组基底D. 可以取到210. 设的内角,所对的边分别为,则下列结论正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则符合条件的有两个D. 若,则为等腰三角形或直角三角形11. 如图是底面半径为2圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕顶点逆时针滚动,当这个圆锥转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则下列结论正确的是( )A. 圆锥的母线长为12B. 圆锥的侧面积为C. 圆锥的侧面展开图扇形圆心角为D. 圆锥的体积为12. 已知复数,满足,(为虚数单位),则下列结论正确的是( )A. B. C. 的最小值为D. 的最小值为4非选择题部分三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
4、13. 若为虚数单位,则复数的虚部为_14. 设的内角,所对的边分别为,若,则_15. 长方体中,一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点,蚂蚁爬行的最短路线的长为_.16. 在直角坐标平面内,若对任意实数,点都满足,则的最小值为_四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设是虚数单位,复数满足(1)求复数;(2)若复数为纯虚数,求实数的值18. 设的内角,所对的边分别为,向量与平行(1)若,求的面积;(2)若,求角的大小19. 设的内角,所对的边分别为,已知(1)求角的值;(2)若,边上的两条中线,相交于点,求20. 鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥
5、的称呼如图,三棱锥是一鳖臑,其中,且高,(1)求三棱锥的体积和表面积;(2)求三棱锥外接球体积和内切球的半径21. 在直角梯形中,已知,动点、分别在线段和上,和交于点,且,(1)当时,求的值;(2)当时,求的值;(3)求的取值范围浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可判断.【详解】解:由题意知:,实部大于0,虚部小于0,故在复平面内对应的点位于第四象限.故选:D2. 已知直
6、线,平面,且,则下列结论一定成立的是( )A. ,是异面直线B. C. 内所有直线与平行D. ,没有公共点【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,举特例说明判断选项A,B,C;利用面面平行的定义判断D作答.【详解】在长方体中,平面平面,视平面为平面,平面为平面,如图,直线为直线a,满足,若直线为直线b,满足,显然有,A不正确;直线为直线a,满足,若直线为直线b,满足,显然,是异面直线,B不正确;直线为直线b,满足,直线,而直线AB与直线b是异面直线,C不正确;因,于是得平面与没有公共点,从而得,没有公共点,D正确.故选:D3. 设的内角A,所对的边分别为,若,则等于( )A. B. C. D.
7、 【答案】A【解析】【分析】根据,求得各角的大小,利用正弦定理求得答案.【详解】由于,故,故,故选:A4. 已知向量,且,则的值为( )A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】求出的坐标后可求的值.详解】,由可得,解得,故选:C5. 如图,是斜二测画法画出的水平放置的的直观图,是的中点,且轴,轴,那么( )A. 的长度大于的长度B. 的面积为2C. 的面积为4D. 【答案】C【解析】【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】依题意是的中点,且轴,轴,三角形中,三角形中,,,所以A选项错误.,C选项正确.,B选项错误.由于,所以三角形不是等腰直角三角形,
8、所以D选项错误.故选:C6. 在菱形中,则的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值,进而可求得的值.【详解】由题意可知,因此,.故选:A.7. 已知点,则向量在方向上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出,则在方向上的投影向量为,即可求解【详解】由,得,所以在方向上的投影向量为故选:B8. 在正方体中,为棱的一个三等分点(靠近点),分别为棱,的中点,过三点作正方体的截面,则下列说法正确的是( )A. 所得截面六边形B. 截面过棱的中点C. 截面不经过点D. 截面与线段相交,且交点是线段的一个五等分点
9、【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,作出过三点的正方体的截面,再逐项推理判断作答.【详解】在正方体中,依题意,直线FG与直线交于点P,显然,直线FE交DA延长线于点Q,则有,如图,连接,则有,而平面平面,平面平面,平面与平面有公共点,则平面与平面必有一条交线,此交线平行于,也平行于,连,因,则四边形是平行四边形,于是得,即平面平面,因此点是平面截正方体的截面的一个顶点,连交分别于点O,H,连接,则五边形是平面截正方体所得的截面,A不正确,C不正确;由知,即,B不正确;由得,即,则截面与线段相交,且交点是线段的一个五等分点,D正确.故选:D【点睛】方法点睛:作截面的常用三种方法:直接法,截面
10、的定点在几何体的棱上;平行线法,截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;延长交线得交点,截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错或不选的得0分9. 已知平面向量,满足,则下列结论正确的是( )A. 与的夹角为B. 向量是单位向量C. 与可以作为直角坐标平面的一组基底D. 可以取到2【答案】AC【解析】【分析】求出向量,夹角判断A;求向量的模判断B;由向量,是否共线判断C;利用数量积运算求出范围判断D作答.【详解】因,则,而,
11、解得,A正确;因,则,B不正确;由选项A知,向量,不共线,则与可以作为直角坐标平面的一组基底,C正确;因,则,又,即,令,于是有,即,而,因此有,解得,D不正确.故选:AC10. 设的内角,所对的边分别为,则下列结论正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则符合条件的有两个D. 若,则为等腰三角形或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】对于A,由余弦定理与数量积的定义计算,对于B,由正弦函数性质判断,对于C,由正弦定理判断三角形解的个数,对于D,由正弦定理与二倍角公式化简后判断【详解】对于A,而,故A错误,对于B,若,则,故,B正确,对于C,由正弦定理得,故,故A有两解,符合条件的有
12、两个,C正确对于D,若,则,即,得或,故或,为等腰三角形或直角三角形,D正确故选:BCD11. 如图是底面半径为2的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕顶点逆时针滚动,当这个圆锥转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则下列结论正确的是( )A. 圆锥的母线长为12B. 圆锥的侧面积为C. 圆锥的侧面展开图扇形圆心角为D. 圆锥的体积为【答案】BC【解析】【分析】设圆锥的母线长为,由侧面积公式结合题意,求出母线,即可判断选项,由扇形面积公式即可判断选项,求出底面周长,然后利用弧长公式求出圆心角,即可判断选项,利用圆锥的体积公式,即可判断选项【详解】解:设圆锥的母线长为,以为圆心,为半径的
13、圆的面积为,又圆锥的侧面积,因为圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了3周,所以,解得,所以圆锥的母线长为6,故选项错误;圆锥的侧面积,故选项正确;因为圆锥的底面周长为,设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为,则,解得,所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为,故选项正确;圆锥的高,所以圆锥的体积为,故选项错误故选:12. 已知复数,满足,(为虚数单位),则下列结论正确的是( )A. B. C. 的最小值为D. 的最小值为4【答案】ABC【解析】【分析】根据复数的几何意义作出复数对应的点所在的图形,数形结合,可判断A;根据复数以及其共轭复数的模的关系,判断B;数形结合判断C,D.【详解】由可知,表示的复数所
14、对应的点都落在两点连线的中垂线上,即如图直线m上,m与y轴交点为 ,由可知, 对应的点都在以点为圆心,半径为2的圆上,如图,则的最小值为 ,的最大值为 ,而 ,故,故A正确;由于,故,故B正确; 对应的点在直线上,如图,和直线m关于x轴对称,过点A作n的垂线,交圆于D,交n于E点,则的最小值即为的长,为 ,故C正确;设中对应的圆与x轴切于B点,过B作m的垂线,垂足为C,则的最小值即为BC的长,即为 ,故D错误,故选:ABC非选择题部分三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 若为虚数单位,则复数的虚部为_【答案】#【解析】【分析】根据复数的除法运算求出,进而可得其虚部.【详解】因
15、为,所以其虚部为,故答案为:.14. 设的内角,所对的边分别为,若,则_【答案】#【解析】【分析】由余弦定理与数量积定义求解【详解】由余弦定理得,而,化简得,解得,故故答案为:15. 长方体中,一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点,蚂蚁爬行的最短路线的长为_.【答案】【解析】【分析】长方体有三种侧面展开形式,利用勾股定理可以求出每种展开方式的长,最后比较大小得出最短路线的长.【详解】将长方体侧面展开有三种方式如下图:的长有以下三种可能:第种方式:;第方式:;第种方式:.所以蚂蚁爬行的最短路线的长为.故答案为:【点睛】本题考查了长方体侧面展开方式求长方体表面两点距离最短问题,考查了分类讨论思想,考查了
16、公股定理,考查了数学运算能力.16. 在直角坐标平面内,若对任意实数,点都满足,则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】设P为(x,y),根据对任意实数tR可求出的范围,从而可求的最小值【详解】设P为(x,y),则,对任意实数,当且仅当x0,时取等号故答案为:5四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设是虚数单位,复数满足(1)求复数;(2)若复数为纯虚数,求实数的值【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)利用复数乘法运算及复数模的运算求出即可求出.(2)利用复数乘法运算结合纯虚数定义计算作答.【小问1详解】依题意,所以.【小问2详解】由(1)
17、知,为纯虚数,解得,所以实数的值为.18. 设的内角,所对的边分别为,向量与平行(1)若,求的面积;(2)若,求角的大小【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)利用向量共线的坐标表示列式,再用正弦定理求出角A,利用余弦定理、面积定理计算作答.(2)用角C表示角B,再利用差角的正弦公式化简计算作答.【小问1详解】因为向量与,则,在中,由正弦定理得:,而,即,则有,即,又,解得,当,时,由余弦定理得:,即有,而,解得,所以的面积.【小问2详解】由(1)知,由得:,则有,即,整理得,而,解得,所以.19. 设的内角,所对的边分别为,已知(1)求角的值;(2)若,边上的两条中线,相交于点,求【
18、答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据,得到,再利用余弦定理求解;(2)法1:由,利用余弦定理求得边a,再利用中线长公式求得MC,BN,由是的重心,得到MP,NP,在中,利用余弦定理求解;法2:利用向量法,由,利用夹角公式求解;法3:以为坐标原点,所在直线为x轴,过点且垂直于的直线为y轴,建立直角坐标系,利用夹角公式求解.【小问1详解】解:因为,所以由正弦定理得:,整理得:,所以,又因,所以;【小问2详解】法1:因为,所以,由中线长公式知:,得,又因为是的重心,所以,连结,则,在中,;法2:(向量法),故,同理得,所以;法3:以为坐标原点,所在直线为x轴,过点且垂直于的直线为y轴,建立
19、直角坐标系,则, 所以,所以20. 鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼如图,三棱锥是一鳖臑,其中,且高,(1)求三棱锥的体积和表面积;(2)求三棱锥外接球体积和内切球的半径【答案】(1),表面积为 (2)外接球体积为,内切球半径为【解析】【分析】(1)利用公式可求体积及表面积.(2)利用补体法可求外接球的半径,从而可求外接球的体积,利用等积法可求内切球的半径.【小问1详解】由题设可得,而三棱锥的高为,三棱锥的体积,又,三棱锥的表面积.【小问2详解】由条件知,可将三棱锥补成一个长方体,则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点,因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球即为三棱锥外接球的直径.
20、因为,所以三棱锥外接球体积为.记内切球的球心为,连结,得到四个等高的三棱锥,且该高为内切球的半径,则, 得,所以,故三棱锥内切球的半径为.21. 在直角梯形中,已知,动点、分别在线段和上,和交于点,且,(1)当时,求的值;(2)当时,求的值;(3)求的取值范围【答案】(1); (2); (3)【解析】【分析】(1)在直角梯形ABCD中,根据几何关系求出ABC和BC长度,当AEBC时,求出BE长度,从而可得;(2)设,以为基底用两种形式表示出,从而可得关于x、y的方程组,解方程组可得;(3)以为基底表示出、,从而表示出,求出的范围即可求出的范围【小问1详解】在直角梯形中,易得,为等腰直角三角形,故;【小问2详解】,当时,设,则,不共线,解得,即;【小问3详解】,由题意知,当时,取到最小值,当时,取到最大值,的取值范围是