1、山东省威海市2022-2023学年高二上期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（）A. 30B. 60C. 120D. 1502. 在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点是（）A. B. C. D. 3. 已知实数x，y满足，则（）A. 2B. 4C. D. 84. 若是等差数列前n项和，则（）A. 10B. 18C. 20D. 245. 在平行六面体中，点E满足，则（）A. B. C. D. 6. 已知椭圆的焦距为2，则实数m（）A. B. C. 或D. 或17. 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么
2、会产生“乘数”效应如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（）A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，则（）A. B. 3C. 6D. 12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项
3、符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9. 已知复数，则（）A. B. 若，则的最大值为3C. D. 在复平面内对应的点在第四象限10已知直线，则（）A. 恒过定点B. 当时，不经过第二象限C. 与直线垂直D. 当时，点到的距离最大11. 费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：，1732年，数学家欧拉算出不是质数，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立现设，为数列的前n项和，则（）A. B. C. D. 的最大值为12. 在三棱锥中，底面是等边三角形，设二面角大小为，则（）A. 当时，直线与平面所成角的大小为30B. 当时，直线与平面所成角的大小为30C. 当的余弦值
4、为时，D. 当直线与平面所成角最大时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. _14. 在长方体中，为棱上一点，直线与所成角的大小为，若，则_15. 已知双曲线的右顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点（点为坐标原点），若，则双曲线的离心率为_16. 已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 如图，正方体棱长为1（1）求直线与平面所成角正弦值；（2）求平面与平面所成角的正弦值18. 已知等比数列的各项均为正数，10，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（
5、2）设，求数列的前n项和19. 如图，在正四棱锥PABCD中，点M，N分别在PA，BD上，且（1）求证：；（2）求证：平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离20. 已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为的外接圆（点O为坐标原点）（1）求证：线段MN为圆A的直径；（2）若圆A过点，求圆A的方程21. 设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）求，；（2）求证：数列为等差数列；（3）求数列的通项公式22. 已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，若，求直线的方程山东省威海市2022-2023学年高二上期末数学
6、试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】由斜率公式可得，故经过，两点的直线的倾斜角为60.故选：B.2. 在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】关于yOz平面的对称点纵坐标和竖坐标均不变可得答案.【详解】点关于yOz平面的对称点是.故选：A.3. 已知实数x，y满足，则（）A. 2B. 4C. D. 8【答案】C【解析】【分析】先通过条件求出，再代入求模即可.【详解
7、】由得，解得，.故选：C.4. 若是等差数列的前n项和，则（）A. 10B. 18C. 20D. 24【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的下角标性质求出，再利用等差数列求和公式求即可.【详解】由等差数列的下角标性质得，.故选：B.5. 在平行六面体中，点E满足，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可.【详解】由得，整理得.故选：A.6. 已知椭圆的焦距为2，则实数m（）A. B. C. 或D. 或1【答案】D【解析】【分析】分焦点在上和焦点在上讨论，利用列方程求.【详解】焦距2，即.当焦点在上时，得；当焦点
8、在上时，得；综合得或.故选：D.7. 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意写出30轮影响后，国内消费总额，利用等比数列求和公式求出答案.【
9、详解】1轮影响后，国内消费总额为，2轮影响后，国内消费总额为，30轮影响后，国内消费总额为.故选：D8. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，则（）A. B. 3C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，所以，.又，所以，设，则.因为，所以，所以，所以，即.所以，抛物线为，焦点为，准线为，由得，解得，所以，所以，直线的方程为所以，联立方程得，解得，所以，所
10、以，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9. 已知复数，则（）A. B. 若，则的最大值为3C. D. 在复平面内对应的点在第四象限【答案】AB【解析】【分析】对于A：分别求出来判断；对于B：设，通过条件求出关系，代入中求最值；对于C：求出来判断；对于D：求出来判断；【详解】对于A：复数，又，A正确；对于B：设，则，即，且，即的最大值为3，B正确；对于C：，故C错误；对于D：，其在复平面对应的点为，在第二象限，D错误.故选：AB.10. 已知直线，则（）A. 恒过定点B. 当时，不经过第
11、二象限C. 与直线垂直D. 当时，点到的距离最大【答案】BC【解析】【分析】根据点斜式方程判断A；结合当时，直线与轴的交点横坐标为判断B；根据直线一般式的垂直判断公式判断C；根据直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大求解判断D.【详解】解：将直线整理变形得，对于A选项，由点斜式方程得直线过定点，故A错误；对于B选项，当时，直线与轴的交点横坐标为，又直线过定点，所以直线不经过第二象限，故B选项正确；对于C选项，由于恒成立，所以与直线垂直，故C选项正确；对于D选项，当直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大，此时，又因为直线的斜率为，故当时，点到的距离最大，故错误；.故选：BC11. 费马数是以
12、数学家费马命名的一组自然数，具有形式：，1732年，数学家欧拉算出不是质数，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立现设，为数列的前n项和，则（）A. B. C. D. 的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】由题知，进而讨论AB即可得判断；再根据求和，并讨论其最大值即判断CD.【详解】对A，由题知，所以，即，故A选项正确；对B，即，故B选项错误；所以，对C，故C选项正确；对D，当为奇数时，当为偶数时，所以，当为偶数时，为单调递减数列，所以，的最大值为，故D选项正确.故选：ACD12. 在三棱锥中，底面是等边三角形，设二面角的大小为，则（）A. 当时，直线与平面所成角的大小为30B. 当时，直线与平
13、面所成角的大小为30C. 当的余弦值为时，D. 当直线与平面所成角最大时，【答案】ABD【解析】【分析】取中点，连接，由题知二面角的平面角，即，再令，结合线面角，余弦定理，二面角等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为，所以，即，所以为等腰直角三角形，取中点，连接，因为底面是等边三角形，所以，所以二面角的平面角，即，设，则，对于A选项，当时，此时平面，所以平面，故为直线与平面所成角，所以，即直线与平面所成角的大小为，故A选项正确；当时，即，所以，在中，由余弦定理得：，即，所以，即为等腰三角形，所以取中点，则因为，平面，所以平面，因为平面，所以因为平面，所以平面，所以，是直线与平面所成角，所
14、以，故B选项正确；对于C选项，当的余弦值为时，有，解得或所以，当时，由B选项的讨论过程可知；当时，由得，故，即，所以，当的余弦值为时，或，故错误；对于D选项，当直线与平面所成角最大时，则，此时，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据二面角的概念，结合等边三角形，等腰直角三角形的性质，寻找出二面角的平面角（中点为）.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. _【答案】【解析】【分析】直接用等差数列求和公式计算即可.【详解】明显数列为等差数列，.故答案为：.14. 在长方体中，为棱上一点，直线与所成角的大小为，若，则_【答案】【解析】【分析】设，利用空间
15、向量法即可求解.【详解】在长方体中，以为原点，为轴建立如图所示坐标系，设，则，所以，所以，解得，所以，解得，即，又，所以，故答案为：15. 已知双曲线的右顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点（点为坐标原点），若，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由结合图象可得点到渐近线的距离等于，利用点到直线的距离公式和双曲线的关系以及渐近线、离心率公式求解即可.【详解】如图所示，由于双曲线和圆的对称性，不妨取直线为，即，因为，所以到直线的距离等于，即，又因为双曲线中，解得，故答案为：16. 已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为_【答案】【解析】【
16、分析】设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】解：设，因为点满足，所以，整理得，所以，点在圆上，因，点也在圆上所以，圆与圆有公共点，因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，所以，的取值范围为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 如图，正方体的棱长为1（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值；（2）利用空间向量法求平面与平面所成角的正弦值.【小问1详解
17、】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设面的法向量为，取，得，即面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，即直线与平面所成角的正弦值；【小问2详解】由（1）知面的一个法向量为，又平面的一个法向量明显为，设平面与平面所成角为，即平面与平面所成角的正弦值为.18. 已知等比数列的各项均为正数，10，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）由（1）得，利用错位相减法可求数列的前n项和【小问1详解】设等比数列的公比为，且，由已知得，即，解得，负值舍去，数列的通项公式；【小问2详
18、解】由（1）得，两式相减得，.19. 如图，正四棱锥PABCD中，点M，N分别在PA，BD上，且（1）求证：；（2）求证：平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接AN并延长交BC于E，连接PE，先通过比例得到，再通过证明可得；（2）通过可得平面PBC，将求直线MN到平面PBC的距离转化为点N到平面PBC的距离，利用等体积法可得距离.【小问1详解】连接AN并延长交BC于E，连接PE，即，即，又，故E为BC中点，又在正四棱锥中PA=AB，则，即PEAD，；【小问2详解】由（1）得，且面PBC，面PBC，平面PBC，故直线MN到平面PBC的距
19、离即为点N到平面PBC的距离，设为，点P到面ABCD的距离，由，得，得.20. 已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为的外接圆（点O为坐标原点）（1）求证：线段MN为圆A的直径；（2）若圆A过点，求圆A的方程【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】（1）依题意可设直线l的方程为，联立抛物线C的方程整理可得，进而可得到，代入求得，即可得到结论；（2）结合（1）先设圆A的圆心为，再求得，根据，即可求得，进而可求得圆心和半径的平方，即可得到圆A的方程【小问1详解】依题意可设直线l的方程为，联立，消整理得，则，则，即，所以线段MN为圆A的直径；【小问2详解】结合（1）可
20、设圆A的圆心为，则，又，解得，所以圆半径的平方为，圆心为，故圆A的方程21. 设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）求，；（2）求证：数列为等差数列；（3）求数列的通项公式【答案】（1）；（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列等差数列；（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.【小问1详解】由，且，当时，得，当时，得；【小问2详解】对于，当时，得，即，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；【小问3详解】由（2）得，当时，又时，不符合，.22. 已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，若，求直线的方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案；（2）由题知，直线斜率存在，设方程为，故直线方程为，直线方程为，进而得的横坐标，再将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式计算即可.【小问1详解】解：因为椭圆过点，离心率为，所以，解得，所以，椭圆方程为.【小问2详解】解：当直线斜率不存在时，方程为，此时两点中有一点与重合，不满足题意；所以，直线斜率存在，设方程为，联立方程得，所以，因为直线方程为，直线方程为，所以，联立方程得，联立方程得，所以因为点在直线上，所以，整理得，解得或，所以，所求直线方程为或
